2017-2018学年河北省石家庄市第一中学学年高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年河北省石家庄市第一中学学年高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

石家庄市第一中学 ‎2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级数学(理)试题 命题人：亓晶 审核人：孟庆善 ‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C．A D．B ‎2．若复数的值为 A． B．0 C．1 　 D．－1‎ ‎3．设等差数列的前项和为 、是方程的两个根，则 ‎ A． B． C． 　 D． ‎ ‎4．已知，，，则在方向上的投影为 A． 　　　　B． 　　　　 C． 　　　　　 D． ‎ ‎5．已知函数，且，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某单位有名职工， 现采用系统抽样方法抽取人做问卷调查， 将人按随机编号， 则抽取的人中， 编号落入区间的人数为 A．17 B．18 C．19 D．20‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　‎ A． 　　　　 B． ‎ ‎ C． 　　　　 D． ‎ ‎8．程序框图如下：‎ 如果上述程序运行的结果的值比2018小，若使输出的最大，那么判断框中应填入 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知正方体的棱长为1，为的中点，则点到平面的距离为 A． B． C． D． ‎ ‎10．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设 为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是 A．2015 B．2016 C.2017 D．2018‎ ‎11．已知，函数在上单调减，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎12．已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是 A． B． C. D．‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、选择题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知数列的前项和为，，，　　 　　．‎ ‎14．已知实数满足，则最小值是 ．‎ ‎15．设△的内角 ， ，所对的边长分别为，，，若 ‎，则 的值为　　 　　．‎ ‎16．已知， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且为直角，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则的值为___ ____． ‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知向量，，，且 ， ，分别为△的三边所对的角． ‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，成等比数列，且， 求边c的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ B M E ‎ D C A 如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．‎ ‎(Ⅰ)求证：平面；‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 某地区年至年农村居民家庭纯收入（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入 ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（Ⅰ）求关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析年至 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区年农村居民家庭人均纯收入．‎ 注：，‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 已知椭圆经过点，且离心率为．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎ (Ⅱ) 过椭圆的右顶点做相互垂直的两条直线，，分别交椭圆于、（、异于点 ），问直线是否通过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. ‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数在处的切线与轴平行．‎ ‎（Ⅰ）试讨论在上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）设，求的最小值；‎ ‎（ⅱ）证明： ．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则 按所做的第一题计分．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），再以原点为极点，以正半轴为极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆的方程为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的值.‎ ‎23．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）当函数的定义域为时，求实数的取值范围．‎ 数学（理）答案 一、选择题： ‎ ‎1．C 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C ‎ ‎7．A 8．C 9．A 10．C 11．D 12．D 二、选择题： ‎ ‎13． 14． 15．4 16．‎ 三、解答题： ‎ ‎17．解： (Ⅰ) ∵，，，‎ ‎ ∴sinAcosB+cosAsinB=sin2C ‎ 即 ，‎ 又因为，所以sinC=sin2C ‎ ‎ ∴ cosC= ‎ 又C为三角形的内角， ∴ . ‎ ‎ (Ⅱ) ∵sinA,sinC,sinB成等比数列，‎ ‎ ∴ sin2C=sinAsinB ‎ 由正弦定理可得 c2=ab ‎ 又,即 ‎ ‎∴ abcosC=18‎ ‎∴ ab=36 故 c2=36 ∴ c=6. ‎ ‎18． 解：∵四边形是正方形 ，‎ ‎，∵平面平面，‎ 平面，‎ ‎∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设，则，‎ ‎∵是正方形的对角线的交点，．‎ ‎ (Ⅰ)，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ 平面． ‎ ‎(Ⅱ)设平面的法向量为，‎ 则且，‎ 且．‎ ‎ 即 ‎ 取，则， 则． ‎ 又∵为平面的一个法向量，且， ‎ ‎，‎ 设二面角的平面角为，则，．‎ ‎∴二面角等于．‎ ‎19．解：（Ⅰ）由已知可知，故 ‎ ‎ ‎，所以所求的线性回归方程为．‎ ‎（Ⅱ）有（Ⅰ）可知，故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加0.5千元；当时，，‎ 所以预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为6.3千元．‎ ‎20． 解：（Ⅰ）由题意，得，解得，．‎ ‎ 所以椭圆的方程是． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 当直线的斜率不存在时，直线的方程设为． ‎ 由得，，解得或（舍去）.‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程设为，设， ‎ 联立消去得 则有， ‎ 又 由得，‎ ‎ ‎ 即或 ‎ 若则直线的方程设为，过点，不在椭圆内，与题意不符.‎ 若，代入到判别式中，判别式恒大于0，则满足有两个交点.‎ 则直线的方程设为，过点得.‎ 综上，直线通过定点．‎ ‎21． 解：解析：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，时时，‎ ‎ 在上单调递减，在上单调递增． ‎ 当时，时时，‎ 在上单调递增，在上单调递减． ‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）∵‎ ‎∴当时，，当时，‎ ‎∴在单调递减，在单调递增∴．‎ ‎（ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎∴由，可得 ‎ 即 ，‎ ‎ ‎ 即 ‎ 设 ‎ ‎ ，在单调递减，在单调递增． ‎ 又∵在时，‎ ‎∴成立．‎ 即成立． ‎ ‎ ‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则 按所做的第一题计分．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程 ‎（Ⅰ）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为． ‎ ‎（Ⅱ）直线的普通方程为，点在直线上，‎ 过点的直线的参数方程为（为参数），‎ 代入圆方程得： ．设对应的参数方程分别为，则， ．‎ 于是． ‎ ‎23．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当时，要使函数有意义，‎ 有不等式①成立，‎ 当时，不等式①等价于，即，；‎ 当时，不等式①等价于，无解；‎ 当时，不等式①等价于，即，；‎ ‎ 综上，函数的定义域为.‎ ‎（Ⅱ）∵函数的定义域为，∴不等式恒成立，‎ ‎∴只要即可，‎ 又∵（当且仅当时取等号）‎ 即. 的取值范围是.‎ ‎ ‎