江西省南康中学、于都中学2019届高三下学期第二次联考 数学（理）

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HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 南康中学高三第二次大考（于都中学联考）‎ 数学（理科）试卷 ‎ ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.设( )‎ ‎ ‎ ‎2.( )‎ ‎ ‎ ‎3.下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ ‎，使得成立．‎ 命题：任意，都有，则：存在，使得．‎ 命题“若且，则且”的逆命题为真命题．‎ 若数列是等比数列，则是必要不充分条件．‎ ‎4. 函数的大致图像为（ ） ‎ ‎ ‎ A B C D ‎5. 在中，点为的中点，点在上,，点在上，，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. ‎ ‎·9·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4．若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（　　）‎ A．16 B．16 C． D．‎ ‎7. 若等差数列的前项和为，且，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.已知函数，，，若，且，则的单调递增区间为（　　）‎ A． B．．‎ C． D．‎ ‎9. 若则的最小值是（ ） ‎ A． B. C. D. ‎ ‎10. 椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一点，且满足则椭圆离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知是球的球面上两点，且球的半径为，，为该球面上的动点．当三棱锥的体积取得最大值时，则过三点的截面的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知函数，若成立，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）‎ ‎13. 若函数为偶函数，则的值为 ‎ ‎·9·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎14. 已知实数满足，则的最大值为 ．‎ ‎15. 点是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点,，则的值是 ‎ ‎16. 已知定义在上的函数满足，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时，解不等式；‎ ‎(2)当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 在数列中，已知.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设数列满足，的前n项和.求证 ‎·9·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 已知分别为三个内角的对边，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若为边上的中线，，，求的面积．‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）为直线的中点，且，求二面角的正弦值．‎ ‎21. （本题满分12分）‎ 设抛物线的准线与轴交于,抛物线的焦点为，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.‎ ‎（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求的取值范围. ‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 函数为常数）‎ ‎(1)讨论函数的单凋性；‎ ‎(2)若存在使得对任意的不等式（其中为自然对数的底数）都成立，求实数的取值范围．‎ ‎·9·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 南康中学2019届高三寒假数学（理科）测试参考答案 一、选择题：‎ ‎1-12：CBDA DCDB DDAA ‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 【详解】（1）当时，，有 所以或或，‎ 所以或或， 综上，不等式解集为 ‎（2）当时，恒成立，有。‎ 恒成立. 或恒成立.‎ 或恒成立当时，① 或 ② 恒成立，‎ 解①得不存在；解②得：. ‎ 综上知，. ‎ ‎18. 解：（Ⅰ）∵‎ ‎∴数列｛｝是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴.…………………………………………………………………………3分 ‎∵………………………………………………………………… 4分 ‎∴.∴，公差d=3‎ ‎∴数列是首项，公差的等差数列.…………………………………………7分 ‎·9·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，（n）‎ ‎∴.………………………………………………………………8分 ‎∴， ①‎ 于是 ②……… 9分 两式①-②相减得 ‎=.………………………………………………………………………10分 ‎ ‎∴ .………………………………………12分 ‎19.（本题满分12分）（Ⅰ）∵，由正弦定理得：‎ ‎，即 ‎，化简得：，∴．在中，，∴，得．‎ ‎（Ⅱ）在中，，得，‎ 则，由正弦定理得．‎ 设，在中，由余弦定理得：，‎ 则，解得，即， ‎ 故．‎ ‎20. （Ⅰ）证明：为矩形，，‎ 平面平面，平面平面，‎ 平面，则，‎ 又，，‎ ‎·9·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 平面，而平面，‎ 平面平面；‎ ‎（Ⅱ）取中点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，‎ 由，是以为直角的等腰直角三角形，‎ 得：，，，，，，，，，，，，‎ ‎，，．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，取，得；‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，取，得．‎ ‎．‎ 二面角的正弦值为．‎ ‎21. 【解析】：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，‎ 由题意得，解得，∴椭圆的方程为，‎ ‎∴点的坐标为,∴,∴抛物线的方程是.‎ ‎（Ⅱ）由题意得直线的斜率存在，设其方程为，‎ ‎·9·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 由消去x整理得（*）‎ ‎∵直线与抛物线交于两点，∴．‎ 设， ，则①，②．‎ ‎∵， ,∴∴．③‎ 由①②③消去得： ．‎ ‎∴‎ ‎，即，‎ 将代入上式得 ‎，‎ ‎∵单调递减，∴，即，‎ ‎∴，∴，即的取值范围为．‎ ‎22. 解析：（1），记 ‎（i）当时，因为，所以，函数在上单调递增；‎ ‎（ii）当时，因为，‎ 所以，函数在上单调递增；‎ ‎（iii）当时，由，解得，‎ ‎·9·‎ HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ 所以函数在区间上单调递减，‎ 在区间上单调递增 ‎（II）由（1）知当时，函数在区间上单调递增，‎ 所以当时，函数的最大值是，对任意的，‎ 都存在，使得不等式成立，‎ 等价于对任意的，不等式都成立，‎ 即对任意的，不等式都成立，‎ 记，由，‎ ‎，‎ 由得或,因为，所以，‎ ‎①当时，，且时，，‎ 时，，所以，‎ 所以时，恒成立；‎ ‎②当时，，因为，所以，‎ 此时单调递增，且，‎ 所以时，成立；‎ ‎③当时，，，‎ 所以存在使得，因此不恒成立．‎ 综上，的取值范围是．‎ 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org ‎·9·‎