高考数学人教A版（理）一轮复习：第十一篇 第1讲　抽样方法与总体分布的估计

高考数学人教A版（理）一轮复习：第十一篇 第1讲　抽样方法与总体分布的估计

第十一篇 ‎ 统计与概率 第1讲　抽样方法与总体分布的估计 A级　基础演练 ‎(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1.(2013·西安质检)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计， 得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是 (　　)．　　　　　　　　‎ A．46,45,56 　　 B．46,45,53‎ C．47,45,56 　　 D．45,47,53‎ 解析　样本共30个，中位数为＝46；显然样本数据出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56，故选A.‎ 答案　A ‎2．(2013·南昌模拟)小波一星期的总开支分布如图(a)所示，一星期的食品开支如图(b)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 (　　)．‎ A．30% B．10% C．3% D．不能确定 解析　由题图(b)可知小波一星期的食品开支共计300元，其中鸡蛋开支30元．又由题图(a)知，一周的食品开支占总开支的30%，则可知一周总开支为 ‎1 000元，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为×100%＝3%.‎ 答案　C ‎3．(2013·成都模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)．‎ A．101 B．808 C．1 212 D．2 012‎ 解析　甲社区驾驶员的抽样比例为＝，四个社区驾驶员总人数的抽样比例为＝，由＝，得N＝808.‎ 答案　B ‎4．(2012·安徽)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 (　　)．‎ A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 解析　由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．‎ 答案　C 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．(2013·武夷模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．‎ 解析　设第1组抽取的号码为b，则第n组抽取的号码为8(n－1)＋b，∴8×(16－1)＋b＝126，∴b＝6，故第1组抽取的号码为6.‎ 答案　6‎ ‎6．(2013·苏州一中月考)某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图可估计这1 000名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生人数是________．‎ 解析　低于60分学生所占频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故低于60分的学生人数为1 000×0.2＝200，所以不低于60分的学生人数为1‎ ‎ 000－200＝800.‎ 答案　800‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．‎ 解　用分层抽样方法抽取．‎ 具体实施抽取如下：‎ ‎(1)∵20∶100＝1∶5，∴＝2，＝14，＝4，‎ ‎∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．‎ ‎(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．‎ ‎(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．‎ ‎8．(13分)(2012·揭阳调研)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：‎ ‎(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；‎ ‎(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．‎ 解　(1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.‎ 由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为＝25.‎ ‎(2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为÷10＝0.016.‎ B级　能力突破 ‎(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．(2013·哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是 (　　)．‎ A．13,12 B．13,13‎ C．12,13 D．13,14‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝(a3)2＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，(4－d)(2＋d)＝8,2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为＝13，中位数为＝13，故选B.‎ 答案　B ‎2．(2012·江西)样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为(≠)．若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数＝α＋(1－α)，其中0<α<，则n，m的大小关系为 (　　)．‎ A．nm C．n＝m D．不能确定 解析　依题意得x1＋x2＋…＋xn＝n，y1＋y2＋…＋ym＝m，‎ x1＋x2＋…＋xn＋y1＋y2＋…＋ym＝(m＋n)＝(m＋n)α＋(m＋n)(1－α)，‎ ‎∴n＋m＝(m＋n)α＋(m＋n)(1－α)，‎ ‎∴ 于是有n－m＝(m＋n)[α－(1－α)]＝(m＋n)(2α－1)，‎ ‎∵0<α<，∴2α－1<0，∴n－m<0，即m>n.‎ 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎3．(2013·沈阳质检)沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于________．‎ 解析　由＝，得n＝33(人)．‎ 答案　33‎ ‎4．(2013·北京西城一模)某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩在[16,18]的学生人数是__________________________________________________________________．‎ 解析　成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为＝，所以成绩在[16,18]的学生人数为120×＝54.‎ 答案　54‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎5．(12分)汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，对CO2排放量超过130 g/km的MI型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2‎ 排放量检测，记录如下(单位：g/km)：‎ 甲 ‎80‎ ‎110‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎150‎ 乙 ‎100‎ ‎120‎ x y ‎160‎ 经测算发现，乙类品牌车CO2排放量的均值为乙＝120 g/km.‎ ‎(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；‎ ‎(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，求x的取值范围．‎ 解　(1)甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值甲＝＝120(g/km)，‎ 甲类品牌汽车的CO2排放量的方差 s＝ ‎＝600.‎ ‎(2)由题意知乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值乙＝＝120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙类品牌汽车的CO2排放量的方差 s＝，‎ 因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以s1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁RA)∩B＝ (　　)．‎ A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}‎ C．{x|0≤x≤1} D．∅‎ 解析　∁RA＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，‎ ‎∴(∁RA)∩B＝{x|0≤x≤1}．‎ 答案　C 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．(2013·湘潭模拟)设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________．‎ 解析　∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.‎ 答案　1‎ ‎6．(2012·天津)集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．‎ 解析　由|x－2|≤5，得－5≤x－2≤5，即－3≤x≤7，所以集合A中的最小整数为－3.‎ 答案　－3‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)若集合A＝{－1，3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.‎ 解　∵A＝B，∴B＝{x|x2＋ax＋b＝0}＝{－1，3}．‎ ‎∴∴a＝－2，b＝－3.‎ ‎8．(13分)已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a的值．‎ ‎(1)9∈(A∩B)；‎ ‎(2){9}＝A∩B.‎ 解　(1)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B.‎ ‎∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝－3或a＝3.‎ 经检验a＝5或a＝－3符合题意．∴a＝5或a＝－3.‎ ‎(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A且9∈B，‎ 由(1)知a＝5或a＝－3.‎ 当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，‎ 此时A∩B＝{9}；‎ 当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，‎ 此时A∩B＝{－4，9}，不合题意．‎ 综上知a＝－3.‎ B级　能力突破 ‎(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．(2012·南昌一模)已知全集U＝R，函数y＝的定义域为M，N＝{x|log2(x－1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．[－2，1) B．[－2，2]‎ C．(－∞，－2)∪[3，＋∞) D．(－∞，2)‎ 解析　图中阴影表示的集合是(∁UN)∩M，又M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，N＝(1，3)，(∁UN)＝(－∞，1]∪[3，＋∞)，故(∁UN)∩M＝(－∞，－2)∪[3，＋∞)．‎ 答案　C ‎2．(2012·潍坊二模)设集合A＝，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝(　　)．‎ A．[－2，2] B．[0，2]‎ C．[0，＋∞) D．{(－1，1)，(1，1)}‎ 解析　A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0，2]．‎ 答案　B 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎3．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：‎ ‎①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；‎ ‎②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；‎ ‎③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．‎ 其中正确结论的序号是________．‎ 解析　①中－4＋(－2)＝－6∉A，所以不正确．②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确．③令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，3∈A1，2∈A2，但是，3＋2∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．‎ 答案　②‎ ‎4．已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－m<0}，若A∩B＝{x|－15－a，∴a>3；‎ 当B＝{2}时，解得a＝3.‎ 综上所述，所求a的取值范围是{a|a≥3}．‎