北京市大兴区2020届高三上学期期末考试检测数学试题

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北京市大兴区2019_2020学年度第一学期期末检测试题高三数学 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x∈N|x＜4}，则A∩B＝（　　）‎ A. {﹣1，0} B. {0，1} C. {﹣1，0，1} D. {0，1，2}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案.‎ ‎【详解】因为集合B＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}‎ 集合A＝{﹣1，0，1，2}，‎ 则A∩B＝{0，1，2}，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.‎ ‎2.已知一组数据：1，2，2，3，3，3，则这组数据的中位数是（　　）‎ A. 2 B. C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将数据从小到大排列，然后计算中间两个数的平均数，得到答案.‎ ‎【详解】数据从小到大排列为1，2，2，3，3，3，‎ 则这组数据的中位数是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查求一组数据的中位数，属于简单题.‎ ‎3.若向量，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. ． C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 本题考查向量的坐标运算．‎ 解答：选项A、．‎ 选项B、‎ 选项C、，正确．‎ 选项D、因为所以两向量不平行．‎ ‎4.已知复数z在复平面上对应的点为（m，1），若iz为实数，则m的值为（　　）‎ A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 1或﹣1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数z在复平面上对应的点，得到，根据为实数，得到的值.‎ ‎【详解】因为复数z在复平面上对应的点为，‎ ‎，‎ 因为为实数，‎ 得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据复数的坐标写出对应的复数，根据复数的类型求参数的值，属于简单题.‎ ‎5.下列函数中，值域为（1，+∞）的是（　　）‎ A. y=2x+1 B. C. y=log2|x| D. y=x2+1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个选项分别求值域，从而得到答案.‎ ‎【详解】选项A中，，‎ 因为，所以，‎ 即的值域为.‎ 选项B中，，是由函数向左平移个单位得到的 所以的值域为，‎ 选项C中，函数，值域为，‎ 选项D中，函数，值域.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数解析式求函数的值域，属于简单题.‎ ‎6.若数列{an}满足：a1＝1，2an+1＝2an+1（n∈N*），则a1与a5的等比中项为（　　）‎ A. ±2 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件判断出是等差数列，得到的值，然后计算出与的等比中项.‎ ‎【详解】由，得，‎ 又，‎ 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，‎ 则.‎ 所以与的等比中项为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查判断等差数列，求等差数列中的项，求等比中项，属于简单题.‎ ‎7.某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥体积为（　　）‎ A. 4 B. 10 C. 12 D. 30‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原出几何体，然后根据三视图中的数据，得到几何体的体积.‎ ‎【详解】根据三视图得到几何体，如图所示，‎ 为底面是上底为，下底为的直角梯形，高为的四棱锥，‎ 所以其体积为：.‎ 故选：B.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查三视图还原几何体，根据三视图求几何体的体积，属于简单题.‎ ‎8.设为非零向量，则“”是“与不共线”（　　）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与不共线，得到，由不能得到与不共线，从而做出判断，得到答案.‎ ‎【详解】与不共线，则“”，‎ 当与反向时，满足，但不能得到与不共线 ‎∴“”是“与不共线”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查向量的加法法则，必要不充分条件，属于简单题 ‎9.动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为（　　）‎ A. 7 B. 9 C. 11 D. 13‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分为动点M①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四种情况进行讨论，得到相应的位置，从而得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，分4种情况讨论：‎ ‎①，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，‎ ‎②，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，‎ ‎③，动点M向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2，‎ ‎④，动点M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，‎ 故M在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查分类计数原理，考查了分类讨论的思想，属于中档题.‎ ‎10.某种新产品的社会需求量y是时间t的函数，记作：y＝f（t）.若f（0）＝y0，社会需求量y 的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，f（t）的导函数f'（t）满足：f'（t）＝kf（t）（500﹣f（t））（k为正的常数），则函数f（t）的图象可能为（　　）‎ A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则或，即当或时，曲线的切线斜率接近，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 令，则或，‎ 即当或时，曲线的切线斜率接近，‎ 由选项可知，只有①③符合题意，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的实际应用，考查导数的几何意义，根据导数的值求函数图像切线的斜率，属于中档题.‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎11.抛物线 的焦点到准线的距离为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ，所以 ，所以抛物线的焦点到准线的距离为 .‎ ‎12.已知为偶函数，当时，，则_____.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为偶函数，得到，从而得到答案.‎ ‎【详解】∵为偶函数，且时，，‎ ‎∴.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求函数值，属于简单题.‎ ‎13.在中，若，，的面积为1，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的值，然后根据的面积求出，再利用余弦定理，得到的值.‎ ‎【详解】因为，且为内角，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 由余弦定理，‎ 得，‎ 解得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，余弦定理解三角形，属于简单题.‎ ‎14.圆心在x轴上，且与双曲线的渐近线相切的一个圆的方程可以是_____.‎ ‎【答案】满足方程：的任意均可 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出双曲线的渐近线，然后根据对称性设出圆的圆心，再利用圆与直线相切，得到半径，从而得到所求圆的方程.‎ ‎【详解】双曲线的渐近线方程为：，‎ 要使圆与两条渐近线相切，‎ 设圆的圆心为，，‎ 则圆的半径为：，‎ 所以所求圆的方程为：，，‎ 故答案为：满足方程：任意均可.‎ ‎【点睛】本题考查求双曲线的渐近线，根据直线与圆相切求圆的方程，属于中档题.‎ ‎15.已知，函数若，则的值域为_____；若方程恰有一个实根，则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，确定的解析式，然后分别求出和时解析式，从而得到值域；‎ ‎【详解】当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 故时，的值域为；‎ 当方程恰有一个实根即函数与图象只有一个交点，‎ 的图像如图所示 由图可知，，解之得，‎ 故的取值范围是，‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求分段函数的值域，函数与方程，根据方程根的个数求参数的范围，属于中档题.‎ ‎16.小明用数列{an}记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1，当第k天没下过雨时，记ak＝﹣1（1≤k≤31）；他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk＝1，当预报第k天没有雨时，记bk＝﹣1（1≤k≤31）；记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为_____；若a1b1+a2b2+…+akbk＝m，则气象台预报准确的天数为_____（用m，k表示）.‎ ‎【答案】 (1). 28 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到akbk＝1表示第k天预报正确，akbk＝﹣1表示第k天预报错误，从而得到，根据得到该月气象台预报准确的的总天数.‎ ‎【详解】依题意，若（），则表示第天预报正确，‎ 若（），则表示第天预报错误，‎ 若，‎ 假设其中有天预报正确，即等式的左边有个，个，‎ 则，解得，‎ 即气象台预报准确的天数为；‎ 于是若，‎ 则气象台预报准确的天数为.‎ 故答案为：，.‎ ‎【点睛】本题考查数列的实际应用，考查化归与转化的能力，属于中档题.‎ 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数 ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用诱导公式、二倍角公式、辅助角公式对进行化简，然后利用，得到的周期；‎ ‎（2）利用正弦型函数的性质，得到的最大值，以及此时的取值.‎ ‎【详解】（1）因为 ‎，‎ 所以的最小正周期为，‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 所以，当即时，‎ 函数取得最大值1.‎ ‎【点睛】本题考查求正弦型函数的周期和最值，属于简单题.‎ ‎18.如图是2019年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图.‎ ‎（1）从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；‎ ‎（2）从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天，用X表示新增确诊的人数超过140的天数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（3）根据这20天统计数据，预测今后该地区甲流疫情的发展趋势.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据走势图新增确诊和新增疑似人数超过100人的有3天，从而根据随机事件的概率公式，得到答案；‎ ‎（2）根据题意得到X的所有可能值为0，1，2，从而得到相应的概率；‎ ‎（3）基于图表的数据，预测今后该地区甲流疫情的发展趋势.‎ ‎【详解】（1）由图知，在统计出的20天中，‎ 新增确诊和新增疑似人数超过100人的有3天，‎ 设事件为“从这20天中任取1天，新增确诊和新增疑似的人数都超过100”，‎ 则.‎ ‎（2）由图知，新增确诊的日期中人数超过100的有6天中，有2天人数超过140，‎ 所以X的所有可能值为0，1，2.‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以的数学期望为.‎ ‎（3）预测一：新增确诊和新增疑似的人数逐渐减少.‎ 预测二：新增确诊和新增疑似的人数每天大致相当.‎ 预测三：该地区甲流疫情趋于减缓.‎ 预测四：该地区甲流疫情持续走低，不会爆发.‎ ‎（答案不唯一，只要结论是基于图表的数据得出的，都给分）.‎ ‎【点睛】本题考查求随机事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查根据数据走势图进行预测，属于中档题.‎ ‎19.已知数列为等比数列，且，数列满足，若，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列前项和为，若当且仅当时，取得最大值，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，，得到和的值，从而得到公比，写出的通项；‎ ‎（2）由（1）得到的通项，根据，的前项和取得最大值，得到，从而解得的范围.‎ ‎【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为，则 ‎，即.‎ ‎，即.‎ ‎∴.‎ ‎∴数列的通项公式为，.‎ ‎（2）由（1）知，.‎ 故.‎ ‎∴数列是等差数列.‎ ‎∵当且仅当时，数列的前项和取得最大值，‎ ‎∴，即.‎ 解得.‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项的基本量计算，根据等差数列前项和最大，求参数的范围，属于中档题.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，，点为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，连结，，可证明出，，得到为平行四边形，通过，证明出平面；‎ ‎（2）取中点，连结，，由平面平面，得到平面，从而以为原点，建立空间直角坐标系，得到，的坐标，然后通过，证明；‎ ‎（3）证明出是平面的法向量，求出平面的法向量，通过法向量的夹角公式，得到二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：取中点，连结，，‎ 在等边三角形中，且，‎ 又因为，‎ 所以，又因为，‎ 所以，‎ 所以为平行四边形，‎ 所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面；‎ ‎（2）证明：取中点，连结，，‎ 因为三角形是等边三角形 所以，，‎ 因为四边形满足，，，‎ 所以，，‎ 又因为平面平面，平面平面，‎ 平面，‎ 所以平面，‎ 以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 所以，‎ 所以 所以；‎ ‎（3）由（2）知，，‎ 因为等边三角形中，为的中点，所以，‎ 平面，‎ 所以平面，‎ 所以是平面的法向量，‎ 又，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令，得，‎ 由，‎ 又因为二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查证明线面平行，通过空间向量证明线线垂直，通过空间向量求二面角的大小，属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆C：的离心率为，过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知点，，过点的任意一条直线与椭圆交于，两点，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，得到，根据离心率得到，结合，得到，的值，从而得到椭圆方程；‎ ‎（2）将问题转化为证明证明，易得直线的斜率不存在时结论成立，直线的斜率存在时，直线的方程为，与椭圆联立，得到，，表示出，，再进行计算，得到，从而证明.‎ ‎【详解】（1）因为，令，得，‎ 因为过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，‎ 所以，‎ 根据离心率为，得，‎ 结合，‎ 解得，，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）要证明，只需证明，‎ 过，分别作轴的垂线段，，易得：，‎ 所以只需证明，‎ 所以只需证明，只需证明.‎ 当直线的斜率不存在时，易得.‎ 当直线的斜率存在时，不妨设其为，则直线的方程为，‎ 联立消去y，得，‎ 设，，则，，‎ 直线的斜率，直线的斜率，‎ ‎.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的关系，椭圆中的定值问题，考查化归与转化的思想和计算能力，属于中档题.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）过点存在几条直线与曲线相切，并说明理由；‎ ‎（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）增区间为，，单调减区间为；（2）三条切线，理由见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导，分别令，，得到的单调区间；‎ ‎（2）设切点坐标为，利用导数得切线斜率，表示出切线方程，代入过点，得到的方程，解出的值，从而得到结论；‎ ‎（3）设，分为，，进行讨论，易得，时的情况，当时，易得时成立，时，令，利用导数，得到，从而得到的范围.‎ ‎【详解】（1），‎ 得，或；‎ 得，； ‎ 所以的单调增区间为，；单调减区间为； ‎ ‎（2）过点可做的三条切线；理由如下：‎ 设切点坐标为，‎ 所以切线斜率 所以过切点的切线方程为：，‎ 切线过点，代入得，‎ 化简得，‎ 方程有三个解，，，，即三个切点横坐标，‎ 所以过点可做三条切线.‎ ‎（3）设，‎ ‎①时，因为，，所以显然对任意恒成立；‎ ‎②时，若，则不成立，‎ 所以不合题意. ‎ ‎③时，时，显然成立，‎ 只需考虑时情况；‎ 转化为对任意恒成立 令（），‎ 则，‎ ‎，‎ 当时，，单调减；‎ 当时，，单调增；‎ 所以，‎ 所以.‎ 综上所述，的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数的几何意义求函数的切线，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.‎