2017-2018学年天津市六校（静海一中、杨村一中、宝坻一中等）高二上学期期末联考数学（理）试题 Word版

2017-2018学年天津市六校（静海一中、杨村一中、宝坻一中等）高二上学期期末联考数学（理）试题 Word版

‎2017-2018学年天津市六校（静海一中、杨村一中、宝坻一中等）高二上学期期末联考数学（理）试卷 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。‎ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．‎ ‎（1）直线的倾斜角为（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）命题“，”的否定是（ ）．‎ ‎（A）， （B），‎ ‎（C）， 　 （D），‎ ‎（3）已知空间两点，，则两点间的距离为（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）抛物线（）上一点到焦点的距离为，若点的横坐标为，则抛物线方程为（ ）．‎ 第（5）题图 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）一个三棱柱的三视图如图所示，正视图为直角三角形，‎ 俯视图、侧视图均为矩形，若该三棱柱的各个顶点均 在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）． ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）设是空间一点，是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ）．‎ ‎（A）当且，时，若，，则 ‎（B）当且，时，若，，则 ‎（C）当时，若，则 ‎（D）当，且时，若，则 ‎（7）下列四个条件中，是的充分不必要条件的是（ ）．‎ ‎（A）有非零向量，，直线，直线，，‎ ‎（B），直线与平行 ‎ ‎（C），为双曲线 ‎（D）,曲线过原点 ‎（8）有如下3个命题； ‎ ‎①双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是定值 ‎②双曲线与的离心率分别是，则是定值 ‎③过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是，则直线过定点 其中正确的命题有（ ）．‎ ‎（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸相应位置上．‎ ‎（9）两条平行线与间的距离为______．‎ ‎（10）已知圆的方程是，过点的直线被该圆截得的弦长最短，则直线的方程是______．‎ ‎（11）直线关于直线对称的直线方程为____________． ‎ ‎（12）经过坐标原点和点，并且圆心在直线上的圆的方程为______．‎ 第（14）题图 ‎（13）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，‎ 则双曲线的方程为____________．‎ ‎（14）如图，直角梯形中，,,‎ 于点.已知,.若将直角梯形绕直 线旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为______． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 已知两点，，圆以线段为直径．‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线:， ‎ ‎①若直线与圆相切，求直线的方程；‎ ‎②若直线与圆相交于,不同的两点，是否存在横坐标为的点，使点恰好为线段的中点，若不存在说明理由，若存在求出值.‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ 已知椭圆．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的长轴和短轴的长，离心率，左焦点；‎ ‎（Ⅱ）经过椭圆的左焦点作直线，直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程．‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 如图，四棱锥中，底面为正方形，且，为中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线与所成角的正切值；‎ ‎（Ⅲ）求与底面所成角的余弦值.‎ ‎（18）（本小题满分13分）‎ 在长方体中，已知棱, ，连结，过点作的垂线，‎ 垂足为，交于．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的正弦值.‎ ‎（19）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆：过点，其上顶点与左右焦点构成等腰三角形，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）以点为焦点的抛物线：上有一动点，抛物线在点处的切线与椭圆交于两点，线段的中点为，直线(为坐标原点)与过点且垂直于轴的直线交于点，问：当时，面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在说明理由．‎ ‎（20）（本小题满分14分）‎ 如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且，为中点.‎ ‎（Ⅰ）求四棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离；‎ ‎（Ⅲ）在线段上，是否存在点，使得平面?若存在，求线段的长，若不存在，请说明理由．‎ ‎2017～2018学年度第一学期期末六校联考 高二数学（理）参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．‎ ‎（1）C 提示：，故 ‎（2）D ‎（3）B 提示：，,‎ ‎（4）B 提示：，得. ，‎ ‎（5）A 提示：可将三棱柱补成一个长、宽、高分别是12,8,6的长方体，则该长方体的外接球的直径，于是球的表面积等于 ‎（6）C ‎（7）B 提示：选项A,C中是的必要不充分条件；选项中是的充分必要条件；选项B满足条件 ‎（8）D 提示：①中的两个距离的乘积是；②；③直线过定点，三个命题都正确．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎（9） 提示：．‎ ‎（10）‎ 提示：已知圆的圆心为原点，所求直线与垂直，，于是．‎ ‎（11）提示：直线上任意一点关于的对称点一定在对称直线上.‎ ‎（12） 提示：原点和点的垂直平分线为，由方程组解得圆心，.‎ ‎（13） 提示：离心率为,则过，‎ 两点的直线斜率为，得.‎ ‎（14） 提示：圆台体积减去圆柱体积.也可利用割补法将圆台补成一个大圆锥，大圆锥的体积，小圆锥的体积，圆柱的体积，则所求的旋转体的体积.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（15）（本小题满分13 分）‎ 解：（Ⅰ）圆的直径，故半径为．‎ 圆心坐标为，的中点，‎ 所以圆的方程为. ……………………………5分 ‎（Ⅱ）①直线:，若直线与圆相切，‎ 则圆心到直线的距离，解得或，…………………8分 所以直线的方程为或. …………………9分 ‎②由方程组 消去，整理得 ‎. ………………………10分 若直线与圆相交于,不同的两点，则，‎ 得或. …………………………………………11分 设,，则.‎ 若，解得. …………………………………12分 所以存在横坐标为的点，使点恰好为线段的中点，此时.……13分 ‎（16）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由椭圆知，则，故. …………2分 所以椭圆的长轴，短轴，离心率，‎ 左焦点. …………………………5分 ‎（Ⅱ）设直线方程，由方程组消去，整理得 ‎. ……………………………………6分 设，‎ 则，. ……………………………8分 又因为，且已知， ‎ 所以．‎ 整理化简后得．‎ 解得，， ……………………………11分 所以直线的方程：或．‎ 即或．…………………………………………13分 ‎（17）（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为底面为正方形,连结交于点，‎ 则为的中点.连结,…………………………2分 因为为的中点，故.…………………3分 又平面，平面,‎ 所以平面. ……………………4分 ‎（Ⅱ）由于，故为异面直线与所成角.…………………5分 因为，故.又,，‎ 所以平面.又平面，故.………………………6分 所以三角形为直角三角形，，，………………7分 ‎.‎ 即异面直线与所成角的正切值为. ……………………………8分 ‎（Ⅲ）取中点,则，且.‎ 又由，可得平面，所以平面.‎ 故为与底面所成的角. …………………………………12分 又，，‎ ‎，‎ 所以与底面所成角的余弦值为. ……………………………13分 ‎（18）（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）因为长方体，,,‎ 故，平面,又平面,所以，.………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由已知,,‎ 所以平面． ……………………………6分 又平面，所以，平面平面.………………………8分 ‎（Ⅲ）因为平面，故,,‎ 所以，为二面角的平面角.……………………………11分 因为, ，,故．‎ 即二面角的正弦值为. ………………………………13分 ‎（19）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由已知得①和②，解得，．‎ 故椭圆的方程为. ……………………………………4分 ‎（Ⅱ）抛物线的焦点,则其方程为. ………………………5分 于是抛物线上点的坐标是，设在点处的切线的斜率为，则切线方程为代入，得．‎ 因为与抛物线相切，故，得 …………………6分 故切线的方程为，即.‎ 由方程组消去， ‎ 整理后得． ………………………………7分 由已知直线与椭圆交于两点，则． ‎ 解得，其中是不合题意的．‎ 所以 或． ………………………8分 设，则. …………………………9分 代入的方程得.‎ 故直线的方程为，即. …………………………10分 当时，，即点. …………………………11分 面积. ……………………12分 显然是关于单调递增， 又，‎ 所以当时，面积最大值为. ………………………………14分 ‎（20）（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）因为平面，平面,‎ 故平面平面．‎ 连接，使与交于点，四边形是正方形，所以．‎ 则平面. ………………………………2分 所以，四棱锥的体积.‎ 又,.‎ 由平面，平面，得,‎ 故平行四边形为矩形，且．‎ 所以四棱锥的体积为. ………………………4分 ‎（Ⅱ）如图以点为坐标原点，以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 依题意.………6分 设平面的一个法向量为，,，，‎ 于是 即 取， ………………………7分 则到平面的距离 ‎ ‎． ……………………………8分 方法2：，，‎ 则．又，所以．‎ ‎（也可补形成正方体，．）‎ 方法3：取的中点，连接，．‎ 在中作，垂足为．‎ 由，，‎ 解得．‎ 因为，所以平面．‎ 则．又，故平面．‎ 为到平面的距离．‎ ‎（Ⅲ）假设在线段上存在点,使得平面.‎ 设,又,故． ………10分 由（Ⅱ）知平面的一个法向量为，‎ 则，得，． ……………………………12分 此时,.‎ 故在上存在点中点,使得平面，. ……………14分 方法2：假设在线段上存在点,使得平面.‎ 设,又,故, ‎ 由平面得即 解得 ，此时,.‎ 故在上存在点中点,使得平面，.‎ 方法3：假设在线段上存在点,使得平面.显然应有.于是连接 ‎，是等腰三角形，应是其底边的高线，故点是的中点.‎ 此时，取线段的中点，，连接，得四边形，可证它是平行四边形.所以.利用证明的思路，可证，于是．这样就有平面．．‎