数学（兰天班）卷·2018届甘肃省天水市一中高二下学期第一阶段考试（2017-03）

数学（兰天班）卷·2018届甘肃省天水市一中高二下学期第一阶段考试（2017-03）

天水一中2015级2016—2017学年度第二学期第一学段考试题 数 学（兰天班）‎ 一．选择题（共10小题,每小题4分,共40分）‎ ‎1．复数的虚部是（　　）‎ A．i B．﹣i C．1 D．﹣1‎ ‎2．若有一段演绎推理：“大前提：对任意实数a，都有（）n=a．小前提：已知a=﹣2为实数．结论：（）4=﹣2．”这个结论显然错误，是因为（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 ‎3．事件A，B是相互独立的，P（A）=0.4，P（B）=0.3，下列四个式子：①P（AB）=0.12；②P（B）=0.18；③P（A）=0.28；④P（）=0.42．其中正确的有（　　）‎ A．4个 B．2个 C．3个 D．1个 ‎4．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的．”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（　　）‎ A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40‎ ‎6．已知p＞0，q＞0，随机变量ξ的分布列如下：‎ ‎ ξ ‎ p ‎ q ‎ P ‎ q p 若E（ξ）=．则p2+q2=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P（X），则P（X=4）的值为 A． B． C． D．‎ ‎8．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ=（　　）‎ A．3 B． C． D．4‎ ‎9．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且函数f（x）=x2+2x﹣ξ+1不存在零点的概率为0.08，则随机变量P（0＜ξ＜2）=（　　）‎ A．0.08 B．0.42 C．0.84 D．0.16‎ ‎10．如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是（　　）‎ A．10 B．11 C．10或11 D．12‎ ‎　二．填空题（共4小题, 每小题4分,共16分）‎ ‎11．设随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=0，1，2，3，则c=　　．‎ ‎12．已知正整数m的3次幂有如下分解规律：13=1；23=3+5；33=7+9+11； 43=13+15+17+19；…若m3（m∈N+）的分解中最小的数为91，则m的值为　　．‎ ‎13．若（）a的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是　　．‎ ‎14．将1、2、3、…、9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中的位置时，填写空格的办法有　　种．‎ ‎　三．解答题（共5小题）‎ ‎ 15(10分)．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=﹣，Sn+=an﹣2（n≥2，n∈N）‎ ‎（1）求S2，S3，S4的值；‎ ‎（2）猜想Sn的表达式；并用数学归纳法加以证明．‎ ‎ 16(10分)．已知恒等式（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．‎ ‎（1）求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n﹣2a2n的值；‎ ‎（2）当n≥6时，求证：a2+2Aa3+…+22n﹣2a2n＜49n﹣2．‎ ‎ 17(12分)．一个盒子中装有2个红球，4个白球，除颜色外，它们的形状、大小、质量等完全相同 ‎ （1）采用不放回抽样，先后取两次，每次随机取一个球，求恰好取到1个红球，1个白球的概率；‎ ‎ （2）采用放回抽样，每次随机取一球，连续取5次，求恰有两次取到红球的概率．‎ ‎　 18(分)．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．‎ ‎ （1）问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？‎ ‎ （2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．‎ 参考答案（兰天）‎ 一．选择题（共10小题）‎ ‎8． 解：由题意知ξ的可能取值为2，3，4，‎ P（ξ=2）==，P（ξ=3）=（）×=，‎ P（ξ=4）=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=1﹣=，∴Eξ==．‎ ‎9.解：∵f（x）=x2+2x﹣ξ+1不存在零点，∴△=4﹣4（﹣ξ+1）＜0，‎ ‎∴ξ＜0，∵f（x）=x2+2x﹣ξ+1不存在零点的概率为0.08，‎ ‎∴P（ξ＜0）=0.08，∵随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），‎ ‎∴曲线关于直线x=2对称 ∴P（0＜ξ＜2）=0.5﹣0.08=0.42‎ ‎10．解：假设最可能击中目标的次数为k，‎ 根据某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，‎ 则他击中k次的概率为•0.7k•0.315﹣k，‎ 再由 ，求得0.2≤k≤11.2，‎ 再根据击中目标次数为正整数，可得击中目标次数为11，‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎16.解：∵由题意知，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，∴1只能在3左边，2只能在4的左边，9只能在第三行第三列．余下的有6种，‎ 故答案为：6．‎ 三．解答题（共4小题）‎ ‎16．解：（1）S1=a1=﹣，∵Sn+=an﹣2（n≥2，n∈N），令n=2可得，‎ S2+=a2﹣2=S2﹣a1﹣2，∴=﹣2，∴S2=﹣． 同理可求得 S3=﹣，S4=﹣．‎ ‎（2）猜想Sn =﹣，n∈N+，下边用数学归纳法证明：‎ ‎①当n=2时，S2=a1+a2=﹣，猜想成立． ②假设当n=k时猜想成立，即SK=﹣．‎ 则当n=k+1时，∵Sn+=an﹣2，∴，‎ ‎∴，∴=﹣2=， ∴SK+1=﹣，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．‎ 综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 Sn =﹣，n∈N+成立．‎ ‎17． 【解答】（1）解：令x=0，则a0=1．‎ 令x=1，则a0+a1+a2+…+a2n=3n，∴a1+a2+…+a2n=3n﹣1． ∵（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．‎ ‎∴两边对x求导可得：n（1+x+x2）n﹣1=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1．‎ 令x=0，则n=a1， 由（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．‎ 令x=2，则×7n=++a2+2a3+…+22n﹣2a2n． ∴a2+2a3+…+22n﹣2a2n=﹣﹣．‎ ‎（2）证明：∵（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．‎ ‎∴两边对x求导可得：n（1+x+x2）n﹣1（1+2x）=a1+2a2x+…+2na2nx2n﹣1，‎ 再一次求导可得：n[（n﹣1）（1+2x）2+2]（1+x+x2）n﹣2=2a2+3×2a3x+…+2n（2n﹣1）a2nx2n﹣2，‎ ‎=k（k﹣1）， 令x=2可得：a2+2Aa3+…+22n﹣2a2n=n[25（n﹣1）+2]×7n﹣2，‎ n≥6时，n[25（n﹣1）+2]＜7n﹣2， ∴a2+2Aa3+…+22n﹣2a2n=n[25（n﹣1）+2]×7n﹣2＜49n﹣2．‎ ‎18．解：（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，‎ 在一次试验中，机器出现故障设为事件A，则事件A的概率为；‎ 该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验， 可设出现故障的机器台数为X，则，‎ ‎， ，‎ ‎， ，‎ 则X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，‎ 则X=0，X=1，X=2，…，X=n，这n+1个互斥事件的和事件，则 n ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P（X≤n）‎ ‎1‎ ‎∵，‎ ‎∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%；‎ ‎（2）设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为：18，13，8，‎ P（Y=18）=P（X=0）， ，‎ ‎； 则Y的分布列为：‎ Y ‎18‎ ‎13‎ ‎8‎ P 则； 故该厂获利的均值为．‎ ‎17．解：（1）记“第i次取到红球”为Ai（i=1，2），‎ 则先后取一球，恰好摸到一个红球和一个白球可表示为+，‎ 其概率为P（+）=P（）+P（）=，‎ ‎∴恰好取到1个红球，1个白球的概率为…（6分）‎ ‎（2）采用放回抽样，每次取到红球的概率． 连续取5次，可看作5次独立重复试验，…（9分）‎ ‎∴恰有两次取到红球的概率为．…（12分）‎