专题22+数学思想方法专项-解题思维大提升之2019年高考数学二轮复习训练手册
【训练目标】
1、 领会数形结合思想,函数与方程思想,转化与化归思想三种数学思想的本质,能灵活运用这三种数学思想解决问题;
2、 掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法;
【温馨小提示】
数学教学的最终目标,是要让学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力,数学核心素养高于具体的数学知识技能,具有综合性、整体性和持久性,反映数学本质与数学思想,数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想,加强个人数学素养的培养,就会在复习中高屋建瓴,对整体复习起到引领和导向作用.
【名校试题荟萃】
1、函数与方程思想
一、函数与方程思想在不等式中的应用
函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题,常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解.
1.若0
ln x2-ln x1
B.g(x2),
∴,故选C.
2.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x),满足g′(x)-g(x)<0,若函数g(x)的图象关于直线x=2对称,且g(4)=1,则不等式>1的解集为________.
【答案】(-∞,0)
3.已知f(t)=log2t,t∈[,8],对于f(t)值域内的所有实数m,不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立,则x的取值范围是__________________.
【答案】
(-∞,-1)∪(2,+∞)
【解析】
∵t∈[,8],∴f(t)∈.
问题转化为m(x-2)+(x-2)2>0恒成立,
当x=2时,不等式不成立,∴x≠2.
令g(m)=m(x-2)+(x-2)2,m∈.
问题转化为g(m)在上恒大于0,
则即
解得x>2或x<-1.
4.若x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是______.
【答案】[-6,-2]
故f(x)在[-2,-1]上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
此时有a≤f(x)min=f(-1)==-2.
当x=0时,不等式恒成立.
当00,
设Sn=f(n),则f(n)为二次函数,
又由f(7)=f(17)知,f(n)的图象开口向上,关于直线n=12对称,
故Sn取最小值时n的值为12.
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=-2,S6=3,则nSn的最小值为________.
【答案】 -9
【解析】
由解得a1=-2,d=1,
所以Sn= ,故nSn=.
令f(x)=,则f′(x)=x2-5x,
令f′(x)=0,得x=0或x=,
∴ f(x)在上单调递减,在上单调递增.
又∵n是正整数,故当n=3时,nSn取得最小值-9.
三、函数与方程思想在解析几何中的应用
解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想;直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以通过转化为一元二次方程,利用判别式进行解决;求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值,用函数的思想分析解答.
9.(2016·全国Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|
DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】B
【解析】
不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),圆的方程设为x2+y2=r2(r>0),如图,
又可设A(x0,2),D,
点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,∴8=2px0,①
点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上,∴x+8=r2,②
点D在圆x2+y2=r2上,∴5+2=r2,③
联立①②③,解得p=4(负值舍去),即C的焦点到准线的距离为p=4,故选B.
10.如图,已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P,Q两点,若∠PAQ=60°,且=3,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
所以点A到直线y=x的距离d==,
所以2=(2R)2-R2=3R2,
即a2b2=3R2(a2+b2),
在△OQA中,由余弦定理得,
|OA|2=|OQ|2+|QA|2-2|OQ||QA|cos 60°=(3R)2+(2R)2-2×3R×2R×=7R2=a2.
由得
所以双曲线C的离心率为e======.
11.设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.若=6,则k的值为________.
【答案】 或
【解析】
依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB, EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1.
所以k的取值范围为.
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(-x-1)=f(x-1),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x3,则关于x的方程f(x)=|cos πx|在上的所有实数解之和为________.
【答案】-7
【解析】
因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x-1)=f(x+1)=f(x-1),所以函数f(x)的周期为2.
又当x∈[-1,0]时,f(x)=-x3,由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1=f(x)与y2=|cos πx|的图象如图所示.
由图象知关于x的方程f(x)=|cos πx|在上的实数解有7个.
不妨设x10,所以m=-1,故m的取值范围是[-1,+∞).
7.若不等式|x-2a|≥x+a-1对x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】作出y1=|x-2a|和y2=x+a-1的简图,如图所示.
依题意得故a≤.
8.已知函数f(x)=若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围为________.
【答案】
[0,+∞)
三、数形结合思想在解析几何中的应用
在解析几何的解题过程中,通常要数形结合,挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式,构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围; 常见的几何结构的代数形式主要有:①比值——可考虑直线的斜率;②二元一次式——可考虑直线的截距;③根式分式——可考虑点到直线的距离;④根式——可考虑两点间的距离.
9.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案】B
10.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
【答案】D
【解析】如图所示,设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q,连接OQ,
则OQ⊥PF2.
又PF1⊥PF2,O为F1F2的中点,
所以|PF1|=2|OQ|=2a.
又|PF2|-|PF1|=2a,
所以|PF2|=4a.
在Rt△F1PF2中,由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,得4a2+16a2=20a2=4c2,即e==.
11.已知抛物线的方程为x2=8y,F是其焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使△APF的周长最小,此时点P的坐标为________.
【答案】
【解析】因为(-2)2<8×4,所以点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部,
如图,设抛物线的准线为l,
12.已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B
是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为________.
【答案】 2
【解析】
连接PC,由题意知圆的圆心C(1,1),半径为1,从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,Rt△PAC的面积S△PAC=|PA||AC|=|PA|越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;
当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直于直线l时,S四边形PACB有唯一的最小值,此时|PC|==3,从而|PA|==2,所以(S四边形PACB)min=2××|PA|×|AC|=2.
【配套练习】
1.(2018·咸阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),且f(x)+f′(x)>1,设a=f(2)-1,b=e[f(3)-1],则a,b的大小关系为( )
A.ab
C.a=b D.无法确定
【答案】A
2.(2018·宣城调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在[0,1]上是减函数,则有( )
A.f 0,b>0)的右焦点F作直线y=-x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
【答案】C
5.记实数x1,x2,…,xn中最小数为min{x1,x2,…,xn},则定义在区间[0,+∞)上的函数f(x)=min{x2+1,x+3,13-x}的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【解析】在同一坐标系中作出三个函数y1=x2+1,y2=x+3,y3=13-x的图象如图.
由图可知,在实数集R上,min{x2+1,x+3,13-x}为y2=x+3上A点下方的射线,抛物线AB之间的部分,线段BC与直线y3=13-x在点C下方的部分的组合体.显然,在区间[0,+∞)上,在C点时,y=min{x2+1,x+3,13-x}取得最大值.
解方程组得点C(5,8).
所以f(x)max=8.
6.已知函数f(x)=|lg(x-1)|,若1<a<b且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围为( )
A.(3+2,+∞) B.[3+2,+∞)
C.(6,+∞) D.[6,+∞)
【答案】C
由对勾函数的性质知,当b∈时,f(b)=2(b-1)++3单调递增,
∵b>2,
∴a+2b=+2b>6.
7.(2018·东莞模拟)已知函数f(x)=若不等式f(x)≥mx恒成立,则实数m的取值范围为( )
A.[-3-2,-3+2]
B.[-3+2,0]
C.[-3-2,0]
D.(-∞,-3-2]∪[-3+2,+∞)
【答案】C
8.(2018·德阳诊断)已知函数f(x)=+x+sin x,若存在x∈[-2,1],使得f(x2+x)+f(x-k)<0成立,则实数k的取值范围是( )
A.(-1,+∞) B.(3,+∞)
C.(0,+∞) D.(-∞,-1)
【答案】A
【解析】
由题意知函数f(x)=+x+sin x的定义域为R,f(-x)=+(-x)+sin(-x)=-=-f(x),即函数f(x)为奇函数,且f′(x)=+1+cos x>0在R上恒成立,即函数f(x)在R上单调递增.
若∃x0∈[-2,1],使得f(x+x0)+f(x0-k)<0成立,
即f(x+x0)<-f(x0-k),
所以f(x+x0)x+2x0,令g(x)=x2+2x,x∈[-2,1].
则k>g(x)min=g(-1)=-1故实数k的取值范围是(-1,+∞).
9.已知正四棱锥的体积为,则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.
【答案】2
【解析】如图所示,设正四棱锥的底面边长为a,高为h.则该正四棱锥的体积V=a2h=,
故a2h=32,即a2=.
则其侧棱长为l==.
10.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.
【答案】(0,2)
【解析】由f(x)=|2x-2|-b有两个零点,
可得|2x-2|=b有两个不等的实根,
从而可得函数y1=|2x-2|的图象与函数y2=b的图象有两个交点,如图所示.
结合函数的图象,可得00),若两条曲线没有公共点,则r的取值范围是______________.
【答案】(0,1)∪
因此,求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合,等价于在定义域为y∈[-2,2]的情况下,求函数r2=f(y)=-y2+2y+10的值域.
由f(-2)=1,f(2)=9,f =,
可得f(y)的值域为,即r∈,
它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合,因此,两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0,1)∪.
方法二 联立C1和C2的方程消去x,得到关于y的方程-y2+2y+10-r2=0.①
两条曲线没有公共点,等价于方程-y2+2y+10-r2=0要么没有实数根,要么有两个根y1,y2∉[-2,2].
若没有实数根,则Δ=4-4××(10-r2)<0,
解得r>或r<-.
若两个根y1,y2∉[-2,2],设φ(y)=-y2+2y+10-r2,
其图象的对称轴方程为y=∈[-2,2].
则又r>0,解得0
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