专题22+数学思想方法专项-解题思维大提升之2019年高考数学二轮复习训练手册
【训练目标】
1、 领会数形结合思想，函数与方程思想，转化与化归思想三种数学思想的本质，能灵活运用这三种数学思想解决问题；
2、 掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法；
【温馨小提示】
数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.
【名校试题荟萃】
1、函数与方程思想
一、函数与方程思想在不等式中的应用
函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.
1.若0
ln x2－ln x1
B.g(x2)，
∴，故选C.
2.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)<0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式>1的解集为________.
【答案】(－∞，0)
3.已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，则x的取值范围是__________________.
【答案】
(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【解析】
∵t∈[，8]，∴f(t)∈.
问题转化为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立，
当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2.
令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈.
问题转化为g(m)在上恒大于0，
则即
解得x>2或x<－1.
4.若x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是______.
【答案】[－6，－2]
故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，
此时有a≤f(x)min＝f(－1)＝＝－2.
当x＝0时，不等式恒成立.
当00，
设Sn＝f(n)，则f(n)为二次函数，
又由f(7)＝f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n＝12对称，
故Sn取最小值时n的值为12.
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S6＝3，则nSn的最小值为________.
【答案】 －9
【解析】
由解得a1＝－2，d＝1，
所以Sn＝ ，故nSn＝.
令f(x)＝，则f′(x)＝x2－5x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，
∴ f(x)在上单调递减，在上单调递增.
又∵n是正整数，故当n＝3时，nSn取得最小值－9.
三、函数与方程思想在解析几何中的应用
解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.
9.(2016·全国Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|
DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】B
【解析】
不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，
又可设A(x0，2)，D，
点A(x0，2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①
点A(x0，2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②
点D在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋2＝r2，③
联立①②③，解得p＝4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.
10.如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若∠PAQ＝60°，且＝3，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
所以点A到直线y＝x的距离d＝＝，
所以2＝(2R)2－R2＝3R2，
即a2b2＝3R2(a2＋b2)，
在△OQA中，由余弦定理得，
|OA|2＝|OQ|2＋|QA|2－2|OQ||QA|cos 60°＝(3R)2＋(2R)2－2×3R×2R×＝7R2＝a2.
由得
所以双曲线C的离心率为e＝＝＝＝＝＝.
11.设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.若＝6，则k的值为________.
【答案】 或
【解析】
依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB， EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1.
所以k的取值范围为.
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为________.
【答案】－7
【解析】
因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2.
又当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1＝f(x)与y2＝|cos πx|的图象如图所示.
由图象知关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的实数解有7个.
不妨设x10，所以m＝－1，故m的取值范围是[－1，＋∞).
7.若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】作出y1＝|x－2a|和y2＝x＋a－1的简图，如图所示.
依题意得故a≤.
8.已知函数f(x)＝若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围为________.
【答案】
[0，＋∞)
三、数形结合思想在解析几何中的应用
在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
9.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案】B
10.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
【答案】D
【解析】如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，
则OQ⊥PF2.
又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，
所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.
又|PF2|－|PF1|＝2a，
所以|PF2|＝4a.
在Rt△F1PF2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝＝.
11.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________.
【答案】
【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，
如图，设抛物线的准线为l，
12.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B
是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.
【答案】 2
【解析】
连接PC，由题意知圆的圆心C(1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt△PAC的面积S△PAC＝|PA||AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；
当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB有唯一的最小值，此时|PC|＝＝3，从而|PA|＝＝2，所以(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2.
【配套练习】
1.(2018·咸阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)>1，设a＝f(2)－1，b＝e[f(3)－1]，则a，b的大小关系为( )
A.ab
C.a＝b D.无法确定
【答案】A
2.(2018·宣城调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有( )
A.f 0，b>0)的右焦点F作直线y＝－x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若＝2，则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
【答案】C
5.记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【解析】在同一坐标系中作出三个函数y1＝x2＋1，y2＝x＋3，y3＝13－x的图象如图.
由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3，13－x}为y2＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC与直线y3＝13－x在点C下方的部分的组合体.显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大值.
解方程组得点C(5，8).
所以f(x)max＝8.
6.已知函数f(x)＝|lg(x－1)|，若1＜a＜b且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围为( )
A.(3＋2，＋∞) B.[3＋2，＋∞)
C.(6，＋∞) D.[6，＋∞)
【答案】C
由对勾函数的性质知，当b∈时，f(b)＝2(b－1)＋＋3单调递增，
∵b＞2，
∴a＋2b＝＋2b＞6.
7.(2018·东莞模拟)已知函数f(x)＝若不等式f(x)≥mx恒成立，则实数m的取值范围为( )
A.[－3－2，－3＋2]
B.[－3＋2，0]
C.[－3－2，0]
D.(－∞，－3－2]∪[－3＋2，＋∞)
【答案】C
8.(2018·德阳诊断)已知函数f(x)＝＋x＋sin x，若存在x∈[－2，1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，则实数k的取值范围是( )
A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)
【答案】A
【解析】
由题意知函数f(x)＝＋x＋sin x的定义域为R，f(－x)＝＋(－x)＋sin(－x)＝－＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，且f′(x)＝＋1＋cos x>0在R上恒成立，即函数f(x)在R上单调递增.
若∃x0∈[－2，1]，使得f(x＋x0)＋f(x0－k)<0成立，
即f(x＋x0)<－f(x0－k)，
所以f(x＋x0)x＋2x0，令g(x)＝x2＋2x，x∈[－2，1].
则k>g(x)min＝g(－1)＝－1故实数k的取值范围是(－1，＋∞).
9.已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.
【答案】2
【解析】如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积V＝a2h＝，
故a2h＝32，即a2＝.
则其侧棱长为l＝＝.
10.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
【答案】(0，2)
【解析】由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，
可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，
从而可得函数y1＝|2x－2|的图象与函数y2＝b的图象有两个交点，如图所示.
结合函数的图象，可得00)，若两条曲线没有公共点，则r的取值范围是______________.
【答案】(0，1)∪
因此，求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合，等价于在定义域为y∈[－2，2]的情况下，求函数r2＝f(y)＝－y2＋2y＋10的值域.
由f(－2)＝1，f(2)＝9，f ＝，
可得f(y)的值域为，即r∈，
它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合，因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0，1)∪.
方法二 联立C1和C2的方程消去x，得到关于y的方程－y2＋2y＋10－r2＝0.①
两条曲线没有公共点，等价于方程－y2＋2y＋10－r2＝0要么没有实数根，要么有两个根y1，y2∉[－2，2].
若没有实数根，则Δ＝4－4××(10－r2)<0，
解得r>或r<－.
若两个根y1，y2∉[－2，2]，设φ(y)＝－y2＋2y＋10－r2，
其图象的对称轴方程为y＝∈[－2，2].
则又r>0，解得0
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