2017-2018学年安徽省蚌埠一中高二上学期期中考试数学理试题

2017-2018学年安徽省蚌埠一中高二上学期期中考试数学理试题

蚌埠一中2017-2018学年度第一学期期中考试 高二数学（理）‎ 考试时间：120分钟 试卷分值：150 命题人：朱克莲 一、选择题(每小题5分,共12小题60分)‎ ‎1、下列命题中正确的是（  ）‎ ‎（1）在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；‎ ‎（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；‎ ‎（3）在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；‎ ‎（4）圆柱的任意两条母线相互平行.‎ A.（1）（2）‎ B.（2）（3）‎ C.（1）（3）‎ D.（2）（4）‎ ‎2、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（  ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎3、如图，用斜二测画法作水平放置的直观图形得，其中=，是边上的中线，由图形可知在中，下列四个结论中正确的是(  )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎4、长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 (  )‎ A. B. C. D.都不对 ‎5、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问： 积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎6、已知P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，这四个点不共面的一个图是（　　）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎7、如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是 （ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎8、下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是(  )‎ ‎      ‎ A.①、③‎ B.①、④‎ C.②、③‎ D.②、④‎ ‎9、空间四边形中，若，，那么有(　　)‎ A.平面平面 B.平面平面 C.平面平面 D.平面平面 ‎10、以下命题正确的有（   ）‎ ‎①；②；③；④．‎ A.①② ‎ B.①②③‎ C.②③④ ‎ D.①②④‎ ‎11、过三棱柱的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有(　　)‎ A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 ‎12、如图，正方体中，点P在四边形的内部及其边界上运动，并且总保持，则动点P的轨迹是(　　)‎ A.线段 B.线段 C.的中点与的中点的连线 D.的中点与的中点的连线 二、填空题(每小题5分,共4小题20分)‎ ‎13、已知正方形ABCD的边长是1，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：‎ ‎①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC＝，‎ 则其中的真命题的序号是__________．‎ ‎14、如图，在三棱锥中，，且，则与底面所成的角为__________．‎ ‎15、已知分别是平面，的法向量，且，则的值是__________.‎ ‎16、在平行四边形中，，. 将沿折起，使得平面平面，如图所示. 若为中点，则二面角的余弦值为__________.‎ 三、解答题(第17题14分,第18题14分,第19题14分,第20题14分,第21题14分,共5小题70分)‎ ‎17、如图，分别是空间四边形的边的中点，求证：‎ ‎（1）四点共面；‎ ‎（2）平面．‎ ‎ ‎ ‎(第17题图) (第18题图) ‎ ‎18、如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6．‎ ‎(1)判断MN与BD的位置关系；‎ ‎(2)求MN的长．‎ ‎19、如图4所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：.‎ ‎（2）若平面，则侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由．‎ ‎20、如图，在直三棱柱中，，，是的中点．‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎ （第20题图） ‎ ‎21、在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点．M是PD的中点，AB＝2，∠BAD＝． (1)求证：OM∥平面PAB； ‎ ‎(2)求证：平面PBD⊥平面PAC； (3)当四棱锥P—ABCD的体积等于时，求PB的长．‎ ‎ ‎ 高二期中理科数学答案解析 选择题答案：DACBBDCBDABA 第1题答案D ‎（1）所取的两点与圆柱的轴的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符；（3）所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义；（2）（4）符合圆锥，圆柱母线的定义及性质.‎ 第2题答案A 解：依题意得 三视图复原的几何体是棱长为2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为2，底面半径为1； ‎ ‎ 所以几何体的体积是：，故选A． ‎ 第3题答案C 解：依题意得 还原平面图如下： ‎ 答案为C 第4题答案B 如图所示，设球的半径为R，则球的直径，所以球的表面积,故选B.‎ ‎  ‎ 第5题答案B ‎，则，，．‎ 第6题答案D 在A图中：分别连接PS，QR，‎ 则PS∥QR，‎ ‎∴P，S，R，Q共面．‎ 在B图中：过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面．‎ 在C图中：分别连接PQ，RS，‎ 则PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．‎ D图中：PS与RQ为异面直线，‎ ‎∴P，Q，R，S四点不共面．‎ 故选：D．‎ 第7题答案C 连结，由∥可得异面直线所成角为，在中，由余弦定理可得 第8题答案B ‎①中取上边的点为点，连结，则易证面平面，如图（2）．‎ ‎  ‎ 第9题答案D ‎∵，，∴平面．又平面，∴平面平面，故选D．‎ 第10题答案A ‎①由线面垂直的判定定理可知结论正确；②由线面垂直的性质可知结论正确；③中的关系可以线面平行或直线在平面内；④中直线可以与平面平行或直线在平面内.‎ 第11题答案B 解：作出如图的图形，H，G，F，I是相应直线的中点，‎ 故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，‎ 由此四点可以组成6条直线，故选B.‎ 第12题答案A 解：如图，先找到一个平面总是保持与垂直，连接，，，在正方体中，易得⊥，⊥；则⊥面，又点P在侧面及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面与面的交线段．‎ 故答案为A.‎ 第13题答案①③④‎ 由于BD⊥AO，BD⊥CO，所以BD⊥平面AOC，于是AC⊥BD，所以①正确；因为折成60°的二面角，所以∠AOC＝60°，又OA＝OC，因此△AOC为正三角形，故③正确；cos∠ADC＝‎ ‎，故④也正确．故选①③④.‎ 第14题答案 解：，在底面的射影是的外心，‎ 又，故是的中点，所以与底面所成角为，等边三角形中，设边长为1，，直角三角形中，，三角形中，‎ ‎，，则与底面所成角为.‎ 第15题答案 ‎∵，∴，则，∴. ‎ 第16题答案 过点在平面内作，‎ 因为平面平面， 所以平面，平面，平面，所以，. 以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图空间直角坐标系.‎ 依题意，，，，，，‎ 则，，‎ 设平面的法向量，则，即，‎ 取，得到平面的一个法向量，‎ 又平面的一个法向量为，‎ 所以，‎ 由图可知二面角为锐角，‎ 从而二面角的余弦值为.‎ 第17题答案 证明：（1）∵分别是空间四边形的边的中点 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴与确定唯一平面 ‎∴四点共面.‎ ‎（2）因为E,H分别为AB,AD的中点，,‎ 又∵EH平面EFGH,BD平面EFGH ‎∴BD∥平面EFGH 第18题答案 ‎(1)∥；‎ ‎(2).‎ 第18题解析 ‎(1)延长交于点，延长交于点，‎ 则分别为，的中点，∥，‎ 又,∴∥,∴∥．‎ ‎(2)由（1)知，，∴. ‎ 第19题答案 ‎（1）略 ‎（2）‎ 第19题解析 ‎（1）连接，设交于，则.‎ 由题意知平面，以为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系如图，‎ 设底面边长为，则高，于是，，，，‎ ‎，，则，故,从而.‎ ‎（2）棱SC上存在一点E，使BE//平面PAC.‎ 理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，‎ 且，，，‎ 设，则，‎ 而，解得，‎ 即当时,，而不在平面PAC内，故BE//平面PAC.‎ 第20题答案 ‎（1）连结，交于点，连结.‎ 由 是直三棱柱，‎ 得四边形为矩形，为的中点.‎ 又为中点，所以为中位线，‎ 所以 ∥，‎ 因为 平面，平面，‎ 所以 ∥平面.‎ ‎（2）由是直三棱柱，且，故两两垂直.‎ 如图建立空间直角坐标系.‎ 设，则.‎ 所以 ， ‎ 设平面的法向量为，则有 ‎ 所以 取，得.‎ 易知平面的法向量为.‎ 由二面角是锐角，得 .‎ 所以二面角的余弦值为.‎ 第21题解析 ‎（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，‎ ‎∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，‎ ‎∴OM∥平面PAB．‎ ‎（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．‎ ‎∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，‎ ‎∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．‎ ‎（3）∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为S ‎∵四棱锥P-ABCD的高为PA，∴得 ‎∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB． ‎ 在Rt△PAB中， ‎