2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第22练

2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第22练

第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 22 练　 圆锥曲线中的范围 、 最值 、 证明 问题 [ 压轴大题突破练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，范围、最值问题是高考的热点；圆锥曲线中的证明问题是常见的题型 . 2 . 题目难度：中高档难度 . 栏目索引 核心考点突破练 模板答题规范练 考点一　直线与圆锥曲线 方法技巧 　对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理 . (1) 设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成 x ＝ my ＋ b ( 斜率不为 0) 的形式 . (2) 联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系 . (3) 一般涉及弦长的问题，要用到弦长公式 | AB | 核心考点突破练 解答 1. 已知动点 M ( x ， y ) 到点 F (2 ， 0) 的距离为 d 1 ，动点 M ( x ， y ) 到直线 x ＝ 3 的距离为 d 2 ， (1) 求动点 M ( x ， y ) 的轨迹 C 的方程 ； 解答 得 (1 ＋ 3 k 2 ) x 2 － 12 k 2 x ＋ 12 k 2 － 6 ＝ 0. 设点 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， 解得 k ＝ ±1 ，且满足 Δ >0 ，即 k ＝ ±1 符合题意 . 因此，所求直线的方程为 x － y － 2 ＝ 0 或 x ＋ y － 2 ＝ 0 . 解答 (1) 求椭圆 E 的标准方程； 解答 (2) 设点 O 为坐标原点，过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交于 M ， N 两点，若 OM ⊥ ON ，求直线 l 的方程 . 解　 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， ① 当 MN 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x ＝ 1 ， 此时 OM 不垂直于 ON ，不符合题意； ② 当 MN 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1). 消去 y 得 (1 ＋ 2 k 2 ) x 2 － 4 k 2 x ＋ 2( k 2 － 1) ＝ 0 ， Δ >0 显然成立 . (1) 求椭圆的方程和抛物线的方程； 解　 设点 F 的坐标为 ( － c ， 0) ， 解答 解答 (2) 设 l 上两点 P ， Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B ( 点 B 异于点 A ) ，直线 BQ 与 x 轴相交于点 D . 若 △ APD 的面积为 求直线 AP 的方程 . 考点二　圆锥曲线中的范围、最值问题 方法技巧 　求圆锥曲线中范围、最值的主要方法 (1) 几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解 . (2) 代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围 . 解答 4. 已知椭圆 E ： 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点，斜率为 k ( k >0) 的直线交 E 于 A ， M 两点，点 N 在 E 上， MA ⊥ NA . (1) 当 t ＝ 4 ， | AM | ＝ | AN | 时，求 △ AMN 的面积； 解　 设 M ( x 1 ， y 1 ) ，则由题意知 y 1 >0. 因此直线 AM 的方程为 y ＝ x ＋ 2. 解答 (2) 当 2| AM | ＝ | AN | 时，求 k 的取值范围 . 即 ( k 3 － 2) t ＝ 3 k (2 k － 1) ， 解答 (1) 求 E 的方程； 解答 (2) 设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P ， Q 两点，当 △ OPQ 的面积最大时，求 l 的方程 . 解　 当 l ⊥ x 轴时不合题意， 故设 l ： y ＝ kx － 2 ， P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ). 得 (1 ＋ 4 k 2 ) x 2 － 16 kx ＋ 12 ＝ 0. 当 Δ ＝ 16(4 k 2 － 3)>0 ， 解答 (1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程； 得 ( x ， y ) ＝ ( x 1 ， y 1 ) ＋ 2( x 2 ， y 2 ) ， 即 x ＝ x 1 ＋ 2 x 2 ， y ＝ y 1 ＋ 2 y 2 . 又因为 x 1 x 2 ＋ 2 y 1 y 2 ＝ 0 ，所以 x 2 ＋ 2 y 2 ＝ 20 ， 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x 2 ＋ 2 y 2 ＝ 20 . 解答 (2) 若直线 l ： y ＝ x ＋ m ( m ≠ 0) 与曲线 C 交于 A ， B 两点，求 △ OAB 面积的最大值 . 消去 y 得 3 x 2 ＋ 4 mx ＋ 2 m 2 － 20 ＝ 0. 因为直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，设 A ( x 3 ， y 3 ) ， B ( x 4 ， y 4 ) ， 所以 Δ ＝ 16 m 2 － 4 × 3 × (2 m 2 － 20) ＞ 0. 又 m ≠ 0 ， 所以 0 ＜ m 2 ＜ 30 ， 当且仅当 m 2 ＝ 30 － m 2 ，即 m 2 ＝ 15 时取等号，且满足 Δ >0. 考点三　圆锥曲线中的证明问题 方法技巧 　圆锥曲线中的证明问题是转化与化归思想的充分体现 . 无论证明什么结论，要对已知条件进行化简，同时对要证结论合理转化，寻求条件和结论间的联系，从而确定解题思路及转化方向 . 解答 7.(2018· 全国 Ⅰ ) 设椭圆 C ： ＋ y 2 ＝ 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，点 M 的坐标为 (2 ， 0). (1) 当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； 解　 由已知得 F (1 ， 0) ， l 的方程为 x ＝ 1. 又 M (2 ， 0) ， 证明 (2) 设 O 为坐标原点，证明： ∠ OMA ＝ ∠ OMB . 证明 　当 l 与 x 轴重合时， ∠ OMA ＝ ∠ OMB ＝ 0°. 当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线， 所以 ∠ OMA ＝ ∠ OMB . 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程 为 y ＝ k ( x － 1)( k ≠ 0) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 由题意知 Δ ＞ 0 恒成立， 从而 k MA ＋ k MB ＝ 0 ， 故 MA ， MB 的倾斜角互补 . 所以 ∠ OMA ＝ ∠ OMB . 综上， ∠ OMA ＝ ∠ OMB . 解答 (1) 求椭圆 C 的方程； 因为 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ，解得 a ＝ 2 ， b ＝ 1 ， 证明 (2) 设 B 1 ， B 2 分别是椭圆 C 的下顶点和上顶点， P 是椭圆上异于 B 1 ， B 2 的任意一点，过点 P 作 PM ⊥ y 轴于 M ， N 为线段 PM 的中点，直线 B 2 N 与直线 y ＝－ 1 交于点 D ， E 为线段 B 1 D 的中点， O 为坐标原点，求证： ON ⊥ EN . 又 B 1 (0 ，－ 1) ， E 为线段 B 1 D 的中点， 9.(2018· 咸阳模拟 ) 已知 A ( － 2 ， 0) ， B (2 ， 0) ，点 C 是动点，且直线 AC 和直线 BC 的斜率之积为 (1) 求动点 C 的轨迹方程； 解答 又 A ( － 2 ， 0) ， B (2 ， 0) ， 即为所求轨迹方程 . (2) 设直线 l 与 (1) 中轨迹相切于点 P ，与直线 x ＝ 4 相交于点 Q ，且 F (1 ， 0) ，求证： ∠ PFQ ＝ 90°. 证明 证明 　方法一　由题意知，直线 l 的斜率存在 ， 设 直线 l ： y ＝ kx ＋ m ，与 3 x 2 ＋ 4 y 2 ＝ 12 联立得， 3 x 2 ＋ 4( kx ＋ m ) 2 ＝ 12 ， 即 (3 ＋ 4 k 2 ) x 2 ＋ 8 kmx ＋ 4 m 2 － 12 ＝ 0 ， 依题意得 Δ ＝ (8 km ) 2 － 4(3 ＋ 4 k 2 )(4 m 2 － 12) ＝ 0 ， 即 3 ＋ 4 k 2 ＝ m 2 ， 又 Q (4 ， 4 k ＋ m ) ， F (1 ， 0) ， 方法 二　设 P ( x 0 ， y 0 ) ， 则 曲线 C 在点 P 处切线 PQ ： 模板答题规范练 模 板体验 审题路线图 规范解答 · 评分标准 解得 a 2 ＝ 4 ， b 2 ＝ 1. ② 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). 将 y ＝ kx ＋ m 代入椭圆 E 的方程， 可得 (1 ＋ 4 k 2 ) x 2 ＋ 8 kmx ＋ 4 m 2 － 16 ＝ 0 ， 由 Δ ＞ 0 ，可得 m 2 ＜ 4 ＋ 16 k 2 ， (*) 因为直线 y ＝ kx ＋ m 与 y 轴交点的坐标为 (0 ， m ) ， 可得 (1 ＋ 4 k 2 ) x 2 ＋ 8 kmx ＋ 4 m 2 － 4 ＝ 0 ， 由 Δ ≥ 0 ，可得 m 2 ≤ 1 ＋ 4 k 2 . (**) 由 (*) 和 (**) 可知 0 ＜ t ≤ 1 ， 构建答题模板 [ 第一步 ] 　 求曲线方程 ：根据基本量法确定圆锥曲线的方程； [ 第二步 ] 　 联立消元 ：将直线方程和圆锥曲线方程联立，得到方程 Ax 2 ＋ Bx ＋ C ＝ 0 ，然后研究判别式，利用根与系数的关系； [ 第三步 ] 　 找关系 ：从题设中寻求变量的等量或不等关系； [ 第四步 ] 　 建函数 ：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的 函数 关系 ； [ 第五步 ] 　 得范围 ：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件 . 1.(2018· 全国 Ⅱ ) 设抛物线 C ： y 2 ＝ 4 x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k ( k ＞ 0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， | AB | ＝ 8. (1) 求 l 的方程； 规范演练 解答 解　 由题意得 F (1 ， 0) ， l 的方程为 y ＝ k ( x － 1)( k ＞ 0). 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 因此 l 的方程为 x － y － 1 ＝ 0. (2) 求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程 . 解答 解　 由 (1) 得 AB 的中点坐标为 (3 ， 2) ， 所以 AB 的垂直平分线方程为 y － 2 ＝－ ( x － 3) ， 即 y ＝－ x ＋ 5. 设所求圆的圆心坐标为 ( x 0 ， y 0 ) ， 因此所求圆的方程为 ( x － 3) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 16 或 ( x － 11) 2 ＋ ( y ＋ 6) 2 ＝ 144. (1) 求椭圆的方程； 解答 解答 解　 由 (1) 可知 F ( － 1 ， 0) ， 则直线 CD 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 1). 消去 y 得 (2 ＋ 3 k 2 ) x 2 ＋ 6 k 2 x ＋ 3 k 2 － 6 ＝ 0. 设 C ( x 1 ， y 1 ) ， D ( x 2 ， y 2 ) ， ＝ 6 － (2 ＋ 2 k 2 ) x 1 x 2 － 2 k 2 ( x 1 ＋ x 2 ) － 2 k 2 证明 证明 　设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 解答 解　 由题意得 F (1 ， 0 ). 设 P ( x 3 ， y 3 ) ， 则 ( x 3 － 1 ， y 3 ) ＋ ( x 1 － 1 ， y 1 ) ＋ ( x 2 － 1 ， y 2 ) ＝ (0 ， 0). 由 (1) 及题设得 x 3 ＝ 3 － ( x 1 ＋ x 2 ) ＝ 1 ， y 3 ＝－ ( y 1 ＋ y 2 ) ＝－ 2 m ＜ 0. (1) 求椭圆 C 的方程； 解答 (2) 若不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，与直线 OM 相交于点 N ，且 N 是线段 AB 的中点，求 △ OAB 面积的最大值 . 解答 故直线 l 的斜率存在 . 得 (3 ＋ 4 k 2 ) x 2 ＋ 8 kmx ＋ 4 m 2 － 12 ＝ 0 ， 所以 Δ ＝ 64 k 2 m 2 － 4(3 ＋ 4 k 2 )(4 m 2 － 12 ) ＝ 48(3 ＋ 4 k 2 － m 2 )>0. 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，