2018《单元滚动检测卷》高考数学（理）（苏教版）精练检测十三 推理与证明

2018《单元滚动检测卷》高考数学（理）（苏教版）精练检测十三 推理与证明

单元滚动检测十三　推理与证明、算法、复数 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．‎ ‎2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．‎ ‎3．本次考试时间120分钟，满分160分．‎ ‎4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．‎ 第Ⅰ卷 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)‎ ‎1．(2016·青岛质检)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为________．‎ ‎2．观察下列各式：71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，…，则72 016的末两位数字为________．‎ ‎3．(2016·黄岗质检)已知某流程图如图所示，则执行该程序后输出的结果是________．‎ ‎4．(2016·连云港模拟)已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是________．‎ ‎5．(2016·安徽“江淮十校”第三次联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定x＝2，则1＋＝__________.‎ ‎6．(2016·宝鸡质检)定义某种运算s＝ab，运算原理如流程图所示，则2ln＋2‎ ‎()－1的值为______________．‎ ‎7．(2016·泰州模拟)某算法的伪代码如下：‎ S←0‎ i←1‎ While　i≤100‎ ‎ S←S＋ ‎ i←i＋2‎ End　While Print　S 则输出的结果是________．‎ ‎8．(2016·沈阳质检二)用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋> (n∈N*)成立，其初始值至少应取________．‎ ‎9．(2016·陕西第三次质检)已知整数按如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是__________．‎ ‎10．(2016·南京质检)小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)．小明依次共答了10道题，设正确率依次相应为a1，a2，a3，…，a10.现有三种说法：‎ ‎①若a1＜a2＜a3＜…＜a10，则必是第一题答错，其余题均答对；‎ ‎②若a1＞a2＞a3＞…＞a10，则必是第一题答对，其余题均答错；‎ ‎③有可能a5＝2a10.‎ 其中正确的个数是________．‎ ‎11．(2016·江苏天一中学模拟)已知i为虚数单位，a∈R.若a2－1＋(a＋1)i为纯虚数，则复数z＝a＋(a－2)i在复平面内对应的点位于第________象限．‎ ‎12．(2016·济南一模)执行如图所示的流程图，如果输出的函数值在区间[，]内，则输入的实数x的取值范围是________．‎ ‎13．(2016·湖南长郡中学月考)对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：‎ 依此，若m3的“分裂数”中有一个是2 015，则m＝________.‎ ‎14．(2016·上海十三校联考)《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数(shù)，三三数(shǔ)之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？________.(只写出一个答案即可)第Ⅱ卷 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(14分)(2016·徐州模拟)(1)已知复数z＝，是z的共轭复数，求z·的值；‎ ‎(2)求满足＝i(i为虚数单位)的复数z；　(3)计算()2 016＋()6(i是虚数单位)．‎ ‎16.(14分)有一种密英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母(不分大小写)，依次对应1,2,3，…，26这26个自然数，见如下表格：‎ a b c d e f g h i j k l m ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ n o p q r s t u v w x y z ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ 给出如下变换公式：x′＝ 将明文转换成密文，如8→＋13＝17，即h变成q；如5→＝3，即e变成c.‎ ‎(1)按上述规定，将明文good译成的密文是什么？‎ ‎(2)按上述规定，若将某明文译成的英文是shxc，那么原来的明文是什么？‎ ‎17．(14分)(2016·盐城模拟)如图的程序可产生一系列随机数，其工作原理如下：①从集合D中随机抽取1个数作为自变量x输入；②从函数f(x)与g(x)中随机选择一个作为H(x)进行计算；③输出函数值y.若D＝{1,2,3,4,5}，f(x)＝3x＋1，g(x)＝x2.‎ ‎(1)求y＝4的概率；　(2)将程序运行一次，求输出的结果是奇数的概率.‎ ‎18.(16分)用数学归纳法证明不等式··…·＞(n∈N*).‎ ‎19.(16分)在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于点D，则＝＋.类比上述结论，在四面体ABCD中，你能得到怎样的猜想，并予以证明.‎ ‎20.(16分)已知a＝(cos x＋sin x，sin x)，b＝(cos x－sin x，2cos x)．‎ ‎(1)求证：向量a与向量b不可能平行；　‎ ‎(2)若f(x)＝a·b，且x∈[－，]，求函数f(x)的最大值及最小值.‎ 答案解析 ‎1．2‎ 解析　∵＝＝＋i，‎ ‎∴＝0，≠0，∴a＝2.‎ ‎2．01‎ 解析　71,72,73,74,75，…的末两位数字分别为07,49,43,01,07，…，周期性出现(周期为4)，而2 016＝4×504，所以72 016的末两位数字必定和74的末两位数字相同，故为01.‎ ‎3. 解析　由于a＝2，i＝1；a＝，i＝2；a＝－1，i＝3；a＝2，i＝4；…，由此规律可知，a＝2，i＝3k＋1；a＝，i＝3k＋2；a＝－1，i＝3k＋3，其中k∈N*.从而可知当i＝20时，退出循环，此时a＝.‎ ‎4．4‎ 解析　因为＋＋2≥2 ＋2 ‎＝2( ＋)≥4.‎ 当且仅当＝且 ＝，‎ 即a＝b＝1时，取“＝”．‎ ‎5. 解析　设1＋＝x，则1＋＝x，即x2－x－1＝0，‎ 解得x＝(x＝舍)．故1＋＝.‎ ‎6．12‎ 解析　由流程图知s＝ab＝ ‎∴2ln ＝2＝3,2()－1＝23＝9，‎ ‎∴2ln ＋2()－1＝12.‎ ‎7. 解析　由题干图中伪代码所示的算法是一个求和运算：‎ ＋＋＋…＋ ‎＝[＋＋＋…＋]×＝×＝.‎ ‎8．8‎ 解析　据已知可转化为＞，整理得2n＞128，解得n＞7，故原不等式的初始值为n＝8.‎ ‎9．(5,7)‎ 解析　由已知数对得数对中两个数的和为2的有1对，和为3的有2对，和为4的有3对，…，和为n的有n－1对，且和相等的数对的第一个数以1为公差递增，从n＝2到n＝11共有数对1＋2＋3＋…＋10＝55，n＝12时有11个数对，分别是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，故第60个数对是(5,7)．‎ ‎10．3‎ 解析　对于①，若第一题答对，则a1＝1，a1≥a2，与题意不符，所以第一题答错，若剩余的9道题有答错的，不妨设第k(k≥2)道题答错，则ak≤ak－1，与题意不符，所以剩余的题均答对，①正确；对于②，若第一道题答错，则a1＝0，a1≤a2，与题意不符，所以第一题答对，若剩余的9道题有答对的，不妨设第k(k≥2)道题答对，则ak≤ak－1，与题意不符，所以剩余的题均答错，②正确；对于③，设前5道题答对x道题，后5道题答对y道题，则由a5＝2a10得＝2·，解得y＝0，即当后5道题均答错时，a5＝2a10，③正确．综上所述，正确结论的个数为3.‎ ‎11．四 解析　因为a2－1＋(a＋1)i为纯虚数，所以a＝1.所以z＝1－i对应的点在第四象限．‎ ‎12．[－2，－1]‎ 解析　若x∉[－2,2]，则f(x)＝2∉[，]，不合题意；‎ 当x∈[－2,2]时，f(x)＝2x∈[，]，得x∈[－2，－1]．‎ ‎13．45‎ 解析　由题意不难找出规律，23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，m增加1，累加的奇数个数便多1，我们不难计算2 015是第1 008个奇数，若它是m的分解，则1至m－1的分解中，累加的奇数一定不能超过1 008个．‎ ‎∴1＋2＋3＋…＋(m－1)<1 008,1＋2＋3＋…＋(m－1)＋m≥1 008，即<1 008，≥1 008，解得m＝45.‎ ‎14．23(23＋105(n－1)，n∈N*均可)‎ 解析　由题意可得物体的个数为3m＋2＝5n＋3＝7k＋2，m，n，k∈N*，所以物体的个数可以是23.‎ ‎15．解　(1)∵z＝＝＝ ‎＝＝＝－＋i，‎ ‎∴＝－－i，‎ ‎∴z·＝(－＋i)(－－i)＝＋＝.‎ ‎(2)由已知得，z＋i＝zi，则z(1－i)＝－i，‎ 即z＝＝＝＝－.‎ ‎(3)原式＝[()2]1 008＋()6＝()1 008＋i6‎ ‎＝i1 008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1－1＝0.‎ ‎16．解　(1)g→7→＝4→d；‎ o→15→＝8→h；‎ d→4→＋13＝15→o.‎ 则明文good的密文为dhho.‎ ‎(2)逆变换公式为 x＝ 则有s→19→2×19－26＝12→l；‎ h→8→2×8－1＝15→o；‎ x→24→2×24－26＝22→v；‎ c→3→2×3－1＝5→e.‎ 故密文shxc的明文为love.‎ ‎17．解　(1)∵D＝{1,2,3,4,5}，f(x)＝3x＋1，g(x)＝x2.‎ ‎∴第一步：从集合D中随机抽取1个数作为自变量x输入，共有5种方法，‎ 第二步：从函数f(x)与g(x)中随机选择一个作为H(x)进行计算，共有2种方法，‎ ‎∴该运算共有f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，g(1)，g(2)，g(3)，g(4)，g(5)，10种方法，‎ 而满足y＝4的有f(1)，g(2)两种情况，‎ ‎∴由古典概型概率公式得y＝4的概率P＝＝.‎ ‎(2)输出结果是奇数有以下几种情况：f(2)，f(4)，g(1)，g(3)，g(5)，共5种，‎ ‎∴由古典概型概率公式得输出的结果是奇数的概率 P＝＝.‎ ‎18．证明　①当n＝1时，左式＝，右式＝，左式＞右式，所以不等式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，‎ 即··…·＞成立，‎ 则当n＝k＋1时，··…··＞·＝，要证当n＝k＋1时不等式成立，‎ 只需证≥，即证≥，‎ 由基本不等式＝≥成立，‎ 得≥成立，所以，当n＝k＋1时，不等式成立．‎ 由①②可知，当n∈N*时，‎ 不等式··…·＞成立．‎ ‎19．解　猜想：在四面体ABCD中，若AB，AC，AD两两垂直，‎ AE⊥平面BCD，则＝＋＋.‎ 证明：如图所示，连结并延长BE，交CD于点F，连结AF.‎ ‎∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，AC⊂平面ACD，‎ AD⊂平面ACD，‎ ‎∴AB⊥平面ACD，‎ 又AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.‎ 在Rt△ABF中，AE⊥BF，‎ ‎∴＝＋.∵CD⊂平面ACD，‎ ‎∴AB⊥CD，‎ 又AE⊥CD，AB∩AE＝A，‎ AB⊂平面ABF，AE⊂平面ABF，‎ ‎∴CD⊥平面ABF，又AF⊂平面ABF，‎ ‎∴在Rt△ACD中，AF⊥CD，‎ ‎∴＝＋，‎ ‎∴＝＋＋.‎ ‎20．(1)证明　假设a∥b，则a＝kb(k≠0，k∈R)，‎ 有 将②代入①，整理得cos x(1＋2k)＝kcos x(1－2k)，‎ 即cos x(－2k2－k－1)＝0，‎ ‎∵－2k2－k－1＜0恒成立，‎ ‎∴cos x＝0，代入②得sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾．‎ ‎∴向量a与向量b不可能平行．‎ ‎(2)解　由题知f(x)＝a·b＝(cos x＋sin x)·(cos x－sin x)＋sin x·2cos x ‎＝cos2x－sin2x＋2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x ‎＝(cos 2x＋sin 2x)＝sin(2x＋)，‎ ‎∵－≤x≤，‎ ‎∴－≤2x＋≤，‎ ‎∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值；‎ 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1.‎