新课标版高考数学复习题库考点6 导数、定积分
考点6 导数、定积分
1.（2010 ·海南高考理科·T3）曲线在点处的切线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A.因为 ，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.
2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
(A) 13万件 (B) 11万件
(C) 9万件 (D) 7万件
【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.
【思路点拨】利用导数求函数的最值.
【规范解答】选C.,令得或（舍去），当时；当时，
故当时函数有极大值，也是最大值，故选C.
3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为（ ）
（A） (B) (C) (D)
【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】先求出曲线y=,y=的交点坐标，再利用定积分求面积.
【规范解答】选A.由题意得: 曲线y=,y=的交点坐标为(0,0)，(1,1)，故所求封闭图形的面积为
,故选A.
4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
(A)[0,) (B) (C) (D)
【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率.
【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围.
【规范解答】选D.
，，，，，，，，，，，，，，，
5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
【命题立意】考查积分的概念和基本运算.
【思路点拨】记住的原函数.
【规范解答】选D .=(lnx+c) =(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.
【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.
6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标
为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是___________.
【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容.
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由，即可求得切线与x轴交点的横坐标.
【规范解答】由y=x2(x>0)得，，
所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：
当时，解得，
所以.
【答案】21
7.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是____ ____.
【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想.
【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为，然后用分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示出来，利用函数的观点解决.
【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为，
则：
方法一：利用导数的方法求最小值.
，
，
当时，递减；当时，递增；
故当时，S取最小值是.
方法二：利用函数的方法求最小值
令，则：
故当时，S取最小值是.
【答案】
【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的综合解答题中考查.高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法.
8.（2010·陕西高考理科·Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 .
【命题立意】本题考查积分、几何概型概率的简单运算，属送分题.
【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可求解.
【规范解答】阴影部分的面积为所以点M取自阴影部分的概率为.
【答案】
9．（2010 ·海南高考理科·T13）设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数,…,和,…,,由此得到N个点（i=1,2,…,N）,再数出其中满足（i=1,2,…,N）的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 .
【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.
【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.
【规范解答】由题意可知，所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足≤的点落在y=f(x)、以及、围成的区域内，由几何概型的计算公式可知的近似值为.
【答案】
10.（2010·北京高考理科·Ｔ１8）已知函数()=ln(1+)-+， (≥0).
(1)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(2)求()的单调区间.
【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间.解决本题时一个易错点是忽视定义域.
【思路点拨】（1）求出，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由讨论的正负，从而确定单调区间.
【规范解答】（1）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为
,
即 .
（2），.
当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故的单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，，
所以，在区间和上，；在区间上，，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
故的单调递增区间是.
当时，，得，.
所以在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是
【方法技巧】
（1）过的切线方程为.
（2）求单调区间时要在定义域内讨论的正负.
11.（2010·安徽高考文科·Ｔ20）设函数，，求函数
的单调区间与极值.
【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算
能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力.
【思路点拨】对函数求导，分析导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值.
【规范解答】,
+
-
0
+
极大值
极小值
,
.
【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法，
简单易行，具体操作流程如下：
（1）求导数；
（2）求方程的全部实根；
（3）列表，检查在方程的根左、右的值的符号；
（4）判断单调区间和极值.
12.（2010·北京高考文科·Ｔ１8） 设函数，，且方程的两个根分别为1，4.
（1）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；
（2）若在无极值点，求a的取值范围.
【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识.
【思路点拨】(1)由的两个根及过原点，可解出；
（2）是开口向上的二次函数，无极值点，则恒成立.
【规范解答】由 得 ,
因为的两个根分别为1,4，所以（*）
（1）当时，（*）式为
解得,
又因为曲线过原点，所以,
故.
（2）由于a>0,所以在（-∞，+∞）内无极值点等价于在（-∞，+∞）内恒成立.
由（*）式得.
又,
解 得
即的取值范围为
【方法技巧】（1）当在的左侧为正，右侧为负时，为极大值点；当在的左侧为负，右侧为正时，为极小值点.
（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决. （ɑ≠0）恒大于0，则；（ɑ≠0）恒小于0，则；
13.（2010·安徽高考理科·Ｔ17）设为实数，函数.
(1)求的单调区间与极值；
(2)求证：当且时，.
【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明不等式，
考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力.
【思路点拨】(1)先分析的导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值；
(2) 设，把问题转化为：求证：当且时，.
【规范解答】（1），,
令，得，
极小值
在上单调递减，在上单调递增；
当时，取得极小值为.
（2）设，,
由（1）问可知，恒成立，
当时，则0恒成立，所以在上单调递增，
所以当时，，
即当且时，.
【方法技巧】1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行；
2、证明不等式问题，如证，通常令，转化为证明：.
14.（2010·天津高考文科·Ｔ20）已知函数f（x）=，其中a>0.
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.
【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值.
【规范解答】（1）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f′(x)=, f′(2)=6.
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（2）f′(x)=.令f′(x)=0，解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论：
（1） 若，当x变化时，f′(x)，f（x）的变化情况如下表：
x
0
f′(x)
+
0
-
f(x)
极大值
当等价于
解不等式组得-5
2，则.当x变化时，f′(x),f（x）的变化情况如下表：
x
0
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
当时，f（x）>0等价于即
解不等式组得或.因此20，此时，函数单调递减；
当时，<0，此时，函数单调递增.
（2） 当时，由，
即 ，解得.
① 当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;
② 当时， ，
时，,此时,函数单调递减，
时，<0,此时,函数单调递增，
时，，此时，函数单调递减，
③ 当时，由于,
时，,此时,函数单调递减，
时，<0,此时,函数单调递增.
综上所述：
当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增，
当时,函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减；函数 在上单调递增；
函数在上单调递减.
【方法技巧】1、分类讨论的原因
(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；
(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；
(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能.
2、分类讨论的原则
(1)要有明确的分类标准；
(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；
(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.
3、分类讨论的一般步骤
(1)明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；
(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；
(4)归纳总结，得出结论.
16. （2010·陕西高考文科·Ｔ2１）已知函数
（1）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；
（2）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；
（3）对（2）中的，证明：当时，
【命题立意】本题将导数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】曲线与在交点处有相同的切线交点坐标的值及该切线的方程；利用导数法求的最小值的解析式利用单调性证明（3）.
【规范解答】（1）
两条曲线交点的坐标为（e2,e），切线的斜率为
所以切线的方程为
（2）由已知条件知
①当>0时，令,解得=,
所以当0 < < 时，，h(x)在（0，）上递减；
当x>时，，在上递增.
所以x=是在（0， +∞ ）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.
②当a ≤ 0时，在（0，+∞）递增，无最小值.
故
（3）由（2）知
由
由
所以
所以
又
所以当时，
17.（2010·陕西高考理科·Ｔ2１）已知函数
（1）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；
（2）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；
（3）对（2）中的和任意的，证明：
【命题立意】本题将导数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】曲线与在交点处有相同的切线交点坐标的值及该切线的方程；由利用导数法求的最小值的解析式利用基本不等式证明（3）.
【规范解答】（1）
两条曲线交点的坐标为（e2,e），切线的斜率为
所以切线的方程为
（2）由已知条件知
①当>0时，令,解得=,
所以当0 < < 时，，h(x)在（0，）上递减；
当x>时，，在上递增.
所以x=是在（0， +∞ ）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.
②当a≤0时，在（0，+∞）递增，无最小值.
故
（3）由（2）知
综上可得：
【方法技巧】不等式的证明方法
1．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
2．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析法综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．
18.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）已知函数对任意的，恒有.
（1）证明：当时，；
（2）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.
【命题立意】以二次函数为载体，考查导数，不等式的证明，消元等知识.考查了等价转化的思想.
【思路点拨】（1）在对任意的，恒有下可以得到b,c的关系，目标是证明当时，，其实是寻找条件和目标的关系，连接的纽带是b和c的关系.（2）恒成立，转化为求函数的最值，而且是二元函数的最值的求法，没有等式的条件下常常用整体消元.
【规范解答】（1）易知f′(x)=2x+b.由题设，对任意的x恒成立，所以(b-2)2-4(c-b)≤0,从而c≥
于是c≥1，且c≥|b|,因此2c-b=c+(c-b)>0.
故当x≥0时，有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0.
即当x≥0时，.
(2)由（1）知，c＞|b|时，有M≥
当c=|b|时，由（1）知，b=±2,c=2.此时f(c)-f(b)=-8或0，c2-b2=0,
从而f(c)-f(b)≤0，M无最小值.综上所述，M的最小值为.
【方法技巧】求最值是高考中重点也是难点.解题的思路是，首先看变量的个数，如果是三个变量常有三条路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元转化为二元再转化为一元，三是有时利用几何背景解题.如果是两个变量常常有三条路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元转化为一元函数，三是如果条件是不等式，常常也可以用数学规划.如果是一个变量，常用方法：基本函数模型，单调性法和导数法.
19.（2010·辽宁高考文科·Ｔ21） 已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设a≤-2，证明：对任意x1,x2(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.
【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算推理能力.
【思路点拨】（1）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，
（2）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,通过g(x)的单调性证明.
【规范解答】
【方法技巧】1.讨论函数的单调性要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏.
2、直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题.
20.（2010·辽宁高考理科·Ｔ21）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设.如果对任意，，求的取值范围.
【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算能力.
【思路点拨】（1）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性，
（2）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,分离参数，求a的范围.
【规范解答】
【方法技巧】
1、 讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏.
2、 求参数的取值范围往往要分离变量，分离时一定要使分离后的式子有意义，如分母不为0等.
3、 直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题.
21.（2010·天津高考理科·Ｔ2１）已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，.
（3）如果，且，证明.
【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.
【思路点拨】利用导数及函数的性质解题.
【规范解答】（1）f′，令f′(x)=0,解得x=1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x
()
1
()
f′(x)
+
0
-
f(x)
极大值
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数.
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=.
（2）由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x),
令F(x)=f(x)-g(x),即,
于是,
当x>1时，2x-2>0,从而′(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数.
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
(3)①
若
②若
根据①②得
由（2）可知，>,又=，所以>,从而>.因为，所以，又由（1）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以>,即>2.
22.（2010·江苏高考·Ｔ20）设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.
(1)设函数，其中为实数.
(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间.
(2)已知函数具有性质，给定设为实数，
，，且，
若||<||，求的取值范围.
【命题立意】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.
【思路点拨】(1)求出，并将其表示为的形式，注意.
(2)利用(1)的结论求解.
【规范解答】
（1）(i)，
∵时，恒成立，
∴函数具有性质.
(ii)（方法一）设，与的符号相同.
当时，，，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，所以当x>1时，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增.
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增.
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而,
当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增.
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增.
(2)（方法一）由题意，得：
又对任意的都有>0，
所以对任意的都有，在上递增.
又.
当时，，且，
若，∴，（不合题意）.
综合以上讨论，得所求的取值范围是（0，1）.
（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立.所以，当时，，从而在区间上单调递增.
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||<||，符合题设.
②当时，，
，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符.
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符.
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）
23.（2010·浙江高考文科·Ｔ21）已知函数（-b）
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