【推荐】试题君之课时同步君2016-2017学年高二数学人教版选修1-1（第3-4 生活中的优化问题举例）

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绝密★启用前 人教版选修1-1 课时3.4生活中的优化问题举例 一、选择题 ‎1.【题文】某箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为(　　)‎ A．30 B．40 C．50 D．35‎ ‎ ‎ ‎2．【题文】已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)‎ A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 ‎ ‎ ‎3．【题文】路灯距地平面8 m，一个身高为1.6 m的人以2 m/s的速度在地平面上，从路灯在地平面上的射影点C开始沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速度v为（）‎ A.m/s B.m/s C.m/s D.m/s ‎ ‎ ‎4．【题文】现有一段长为18 m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（）‎ A．1 m B．1.5 m C．0.75 m D．0.5 m ‎ ‎ ‎5．【题文】某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，则使公司的收益最大时应该订购的合同件数是（    ）‎ A. 150 B. 175 C. 200 D. 225‎ ‎ ‎ ‎6．【题文】用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，焊接成水箱，则水箱的最大容积为(　　)‎ A．120 000 cm3 B．128 000 cm3‎ C．150 000 cm3 D．158 000 cm3‎ ‎ ‎ ‎7．【题型】某产品的销售收入y1(万元)关于产量x(千台)的函数为y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)关于产量x(千台)的函数为y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产(　　)‎ A．6千台　　B．7千台　　C．8千台 　D．9千台 ‎ ‎ ‎８．【题文】某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，要使砌墙所用材料最省，堆料场的长和宽分别为(　　)‎ A．16 m,16 m B．32 m,16 m C．32 m,8 m D．16 m,8 m ‎ ‎ 二、填空题 ‎9．【题文】要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为______，宽为______，高为______时，可使表面积最小．‎ ‎ ‎ ‎10．【题文】某商品一件的成本为30元，在某段时间内以每件x 元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大，每件定价为_______元．‎ ‎ ‎ ‎11．【题文】已知某厂生产（百件）某种商品的总成本为（万元），总收益为（万元），则生产这种商品所获利润的最大值为__________万元，此时生产这种商品____________百件.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎12．【题文】已知某厂生产件产品的成本为（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？‎ ‎（2）若产品以每件元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？‎ ‎ ‎ ‎13．【题文】为了美化城市，某市将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，如图所示.要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|＝3米，|AD|＝2米．‎ ‎（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？‎ ‎（2）若AN的长度不小于6米，则当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．‎ ‎ ‎ ‎14．【题文】某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人.某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人.该兴趣小组想找一个函数 来拟合该景点对外开放的第年与当年的游客人数（单位：万人）之间的关系.‎ ‎（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数所具有的性质；‎ ‎（2）若=，试确定的值，并说明该函数是否符合上述两点预测；‎ ‎（3）若=，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定的取值范围．‎ ‎ ‎ 人教版选修1-1 课时3.4生活中的优化问题举例 参考答案与解析 一、选择题 ‎1. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，x∈(0,60)．令V′(x)＝0，‎ 得x＝40. ∴当x＝40时，箱子的容积有最大值．‎ 考点：体积最大问题.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎2． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)．当00；当x>9时，y′<0，故当x＝9时，函数有极大值，也是最大值．‎ 考点：利润最大问题.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎3． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，设人从C点运动到B处路程为x m，时间为t s，AB为人影长度，AB 长为y m.由于DC∥BE，则，即.‎ ‎∴y=x=t，∴v=y′=m/s.‎ 考点：速度问题.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎4． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设长方体底面较短边的长为x m，则较长边的长为2x m，高为=m，它的体积为（其中0＜x＜）.对V求导，并令V′=0，得18x−18x2=0，解得x=0，或x=1.当0＜x＜1时，函数V单调递增，当1＜x＜时，函数V单调递减，所以当x=1时，函数V有最大值．因此底面的较短边长是1 m，故选A.‎ 考点：体积最大问题.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎5． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设x表示订购的件数，R表示公司的收益，则R等于每件的售价×订购的件数x，当x≤150时，R＝200x，最大收益为200×150=30 000元；当x>150时，R＝200－(x－150)]x＝350x－x2，R′＝350－2x，令R′＝0，得x＝175，当时，，当时，，则当x＝175时，R有最大值，最大收益为350×175－1752＝30 625元，故选B.‎ 考点：利润最大问题.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎6． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设水箱的高为x cm(00；当200)，y′＝36x－6x2，令y′>0，得06，∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，应生产6千台．‎ 考点：利润最大问题.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎８． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，设场地垂直于墙的一边长为x m，则其邻边长为m.‎ 因此新墙总长度，.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．可知当x＝16时，L取得最小值，当x＝16时，.故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省．‎ 考点：材料最省问题.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 二、填空题 ‎9． ‎ ‎【答案】6 cm；3 cm；4cm ‎【解析】设底面相邻两边长分别为x cm、2x cm，高为y cm.‎ 则V＝2x2y＝72，y＝＝，S＝2(2x2＋2xy＋xy)＝4x2＋6xy＝4x2＋.‎ S′＝8x－，令S′＝0，解得x＝3.‎ 则长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm时，表面积最小.‎ 考点：表面积最小问题.‎ ‎【题型】填空题 ‎【难度】一般 ‎10． ‎ ‎【答案】115‎ ‎【解析】依题意可得利润为L＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000(0＜x＜200)．‎ L′＝－2x＋230，令L′＝－2x＋230＝0，解得.‎ 因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件115元出售时利润最大．‎ 考点：利润最大问题.‎ ‎【题型】填空题 ‎【难度】一般 ‎11． ‎ ‎【答案】66；9‎ ‎【解析】设利润为（万元），‎ 则，‎ ‎∴，由得，‎ ‎∴时，单调递增，时，单调递减，∴时，有最大值 考点：利润最大问题.‎ ‎【题型】填空题 ‎【难度】一般 三、解答题 ‎12． ‎ ‎【答案】（1）件（2）件 ‎【解析】（1）设平均每件的成本为元，‎ 则，∴.令，得或（舍去），可知当时，函数取得极小值且为最小值，所以要使平均成本最小，应生产件产品.‎ ‎（2）设利润为元，则，，令，得，可知当时取得极大值且为最大值，因此要使利润最大，应生产件产品.‎ 考点：利润最大问题.‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】一般 ‎13． ‎ ‎【答案】(1)（单位：米） (2) |AN|＝6米，|AM|＝4.5米，最小面积为27平方米 ‎【解析】设AN的长为x米(x>2)，易得，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（1）由得，∵，∴，‎ 即，∴或，即AN长的取值范围是（单位：米）.‎ ‎　　（2）令，则，‎ ‎∴当时，，即函数在上单调递增，‎ ‎∴函数上单调递增，‎ ‎∴当x＝6时，取得最小值，即取得最小值，为27（平方米）.此时|AN|＝6米，|AM|＝4.5米.故当AM、AN的长度分别是4.5米，6米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积是27平方米．‎ 考点：面积最小问题.‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】一般 ‎14． ‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）‎ ‎【解析】（1）根据题中两点预测可知在上单调递增，对恒成立.‎ ‎（2）将（1，100），（2，120）代入中，得解得 所以，所以，‎ 故在上单调递增，符合预测①；‎ 又当时，，所以此时不符合预测②. ‎ ‎（3）由解得 ‎，要想符合预测①，则有，‎ 即，从而或 当时，，此时符合预测①.由，解得，‎ 即当时，，所以此时不符合预测②；‎ 当，，此时符合预测①，又由，知，所以，从而.‎ 欲使也符合预测②，则，即，又，解得.综上所述，的取值范围是. ‎ 考点：函数在实际问题中的应用，导数的应用.‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】较难