2019-2020学年湖南省高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖南省高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据集合运算法则计算．‎ ‎【详解】‎ 因为集合，所以，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交补综合运算，掌握集合的运算法则是解题基础．‎ ‎2．函数的定义域是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由可得．‎ ‎【详解】‎ 由得所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数定义域．函数定义域是使函数式有意义的自变量的集合，特别要注意对数的真数大于0.‎ ‎3．已知，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】与0比较，与1比较，与0和1都比较一下．可得．‎ ‎【详解】‎ 因为，，，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂和对数的比较大小，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键．注意不同底的幂、对数、不同类型的数可借助中间值如0，1比较大小．‎ ‎4．函数的零点所在的区间是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数单调递增和,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 是单调递增函数,且,,‎ 所以的零点所在的区间为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.‎ ‎5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择.‎ ‎【详解】‎ 选项A,C直线可能在平面内，故不正确；选项B, 若，，则，或在平面内，而，故与可能平行，相交或异面，故不正确；对于选项D：由 ， ，结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理，可得出直线，故为正确.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，注意定理成立的条件，属于基础题.‎ ‎6．若直线被圆截得的弦长为，则( )‎ A．5 B．10 C．15 D．25‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理列式，从而可求得．‎ ‎【详解】‎ 圆的圆心坐标为，半径，由直线被圆截得的弦长为，可得圆心到直线的距离为，则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法是用几何方法，即由垂径定理得垂直后由勾股定理求解．‎ ‎7．已知圆柱的底面圆的面积为，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出圆柱底面半径，然后可得球的半径，再求球表面积．‎ ‎【详解】‎ 因为圆柱的底面圆的面积为，所以圆柱的底面圆的半径为，又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱高为2，所以该球的半径，则该球的表面积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的表面积，解题关键是求出球半径．利用圆柱的轴截面是球大圆的内接矩形可得．‎ ‎8．函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数在R上单调递增,可得不等式组,求解即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由函数在R上单调递增,‎ 则,得，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.‎ ‎9．已知，，点是圆上的动点，则的最小值为( )‎ A．9 B．14 C．26 D．28‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，直接计算，再利用的几何意义可得．‎ ‎【详解】‎ 设为坐标原点，设，圆圆心为，‎ 则，‎ 又，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查与圆有关的最值问题，利用几何意义求解是解题关键，本题还考查了点与圆的位置关系．属于中档题．‎ ‎10．设,,分别是方程,,‎ 的实根,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 ‎【详解】‎ 由题,对于,由与的图像,如图所示,‎ 可得；‎ 对于,由与的图像,如图所示,‎ 可得；‎ 对于,由与的图像,如图所示,‎ 可得或 故 ‎【点睛】‎ 本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想 二、填空题 ‎11．若直线与平行，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由两直线平行的充要条件求解．‎ ‎【详解】‎ 因为直线与平行，所以，解得.‎ 此时直线方程为与直线平行．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两直线平行的充要条件．解题时要注意如果只由的系数之间的关系求得参数值不一定保证两直线平行，还可能是重合的，因此需要进行检验．‎ ‎12．已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出圆心坐标和半径可得．‎ ‎【详解】‎ 因为圆心的坐标为，，所以该圆的标准方程为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求圆的标准方程，属于基础题．‎ ‎13．若幂函数在上为减函数，则__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由幂函数定义求得，再由减函数确定最终取值．‎ ‎【详解】‎ 由已知，解得或.‎ 当时，在上为增函数，不符合题意;‎ 当时，在上为减函数，符合题意.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的定义，考查幂函数的单调性．属于基础题．‎ ‎14．已知圆与圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】两圆方程相减消去平方项即得公共弦所在直线方程．‎ ‎【详解】‎ 将圆化为，‎ 联立两圆方程两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两圆的位置关系，考查相交两圆公共弦所在直线话中，由两点确定一条直线可得两圆公共弦所在直线方程就是由两圆方程相减所得．‎ ‎15．如图，在中，，，分别为，边上的中点，且，.现将沿折起，使得到达的位置，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于折叠过程中与和的垂直关系保持不变，因此可得平面，结合平行的性质可得，然后在直角三角形中可求得.‎ ‎【详解】‎ 易知，，，所以平面，因为，，所以.又，所以平面，所以，从而.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间图形折叠问题，考查线面垂直的判定定理和性质定理．属于中档题．‎ 三、解答题 ‎16．已知直线的方程为，与垂直且过点.‎ ‎(1)求直线的方程;‎ ‎(2)若直线经过与的交点，且垂直于轴，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】（1）由垂直可设，代入点的坐标可得；‎ ‎（2）求出交点坐标，可得垂直于的直线方程．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由与垂直，则可设， ‎ 过，， ‎ 解得，. ‎ ‎(2)由，得，∴与的交点坐标为， ‎ 又垂直于轴，则直线的方程为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求直线方程，考查两直线垂直的关系，考查求直线交点坐标，属于基础题．在求垂直直线方程时可用待定系数法．‎ ‎17．(1)求值;‎ ‎(2)求值.‎ ‎【答案】(1)8;(2)12‎ ‎【解析】（1）由幂的运算法则和根式的定义计算；‎ ‎（2）由对数运算法则计算．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)原式 ‎ ‎(2)原式 ‎【点睛】‎ 本题考查幂的运算法则和对数运算法则，掌握幂的运算法则和对数运算法则是解题基础．‎ ‎18．已知圆的圆心在轴正半轴上，且圆与轴相切，点在圆上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若直线：与圆交于，两点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】（1）设出圆心坐标为，得圆标准方程，利用在圆上求出参数；‎ ‎（2）求出圆心到直线的距离，然后通过勾股定理列式求得．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设圆心，则圆的方程可设为.‎ 因为点在圆上，所以，解得.‎ 故圆的方程为.‎ ‎（2）由（1）可知圆的圆心，半径.‎ 因为，所以圆心到直线的距离，‎ 即，解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．圆的弦长可通过圆心到直线的距离，圆的半径由勾股定理求得：弦长（为弦心距）．‎ ‎19．如图，在三棱锥中，，，，，平面，过作于，过作于，连接.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：.‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由平面，得，从而得平面，即得，于是有平面，从而，得出平面.最后得证线线垂直；‎ ‎（2）由（1）得是三棱锥的高，求出高和底面面积即可得体积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为平面，所以.‎ 又，，‎ 所以平面，‎ 所以，‎ 又，，‎ 所以平面，从而.‎ 又，，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ ‎（2）解：由（1）知是三棱锥的高，所以.‎ 由已知，‎ 又，‎ ‎，‎ 由（1）知平面，则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查证明线线垂直，考查求三棱锥体积．在证线线垂直时用的是线面垂直的性质定理，而要证线面垂直就要证线线垂直，本题利用线面垂直判定定理和性质定理进行线线垂直与线面垂直的多次转换，务必注意．‎ ‎20．已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎(1)证明:在上单调递增；‎ ‎(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）用增函数定义证明；‎ ‎（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，‎ 则 ‎，‎ ‎∵，∴，，∴，即，‎ ‎∴在上单调递增；‎ ‎（2）总存在，对任意都成立，即，‎ 的最大值为，‎ 是偶函数，在是增函数，∴当时，，‎ ‎∴，整理得，，‎ ‎∵，∴，即，∴，∴．即的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，‎ 如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，‎ 如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，‎ 如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．‎