数学理卷·2018届甘肃省武威第二中学高二下学期第一阶段（期中）考试（2017-04）

数学理卷·2018届甘肃省武威第二中学高二下学期第一阶段（期中）考试（2017-04）

‎2016-2017学年第2学期第一次段考 高二数学（理科）‎ ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，共60分．‎ ‎1．已知i是虚数单位，则＝(　　)‎ A．1－2i　　　　　　　 B．2－i C．2＋i D．1＋2i ‎2．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)‎ A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但大前提错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 ‎3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设(　　)‎ A．三角形的三个内角都不大于60°‎ B．三角形的三个内角都大于60°‎ C．三角形的三个内角至多有一个大于60°‎ D．三角形的三个内角至少有两个大于60°‎ ‎4．设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(　　)‎ ‎5.函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝(　　)‎ A．2　　　B．3 C．4　　　D．5‎ ‎6．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎7．由函数y＝－x的图象，直线x＝1、x＝0、y＝0所围成的图形的面积可表示为(　　)‎ A.(－x)dx B．xdx C. |－x|dx D．－xdx ‎8．设z＝(t2-2t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是(　　)‎ A．z对应的点在第一象限 B．z一定不为纯虚数 C. z一定为实数 D．对应的点在实轴的下方 ‎9．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为(　　)‎ A．2(2k＋1) B．2k＋1‎ C. D． ‎10．设函数f(x)＝(x3－1)2，下列结论中正确的是(　　)‎ A．x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝0是极大值点 B．x＝1及x＝0均是f(x)的极大值点 C．x＝1是函数f(x)的极小值点，函数f(x)无极大值 D．函数f(x)无极值 ‎11．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)‎ A．199 B．123‎ C．76 D．28‎ ‎12．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)‎ A．(－3,0)∪(3，＋∞)‎ B．(－3,0)∪(0,3)‎ C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)‎ D．(－∞，－3)∪(0,3)‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．对于平面几何中的命题 “正三角形的内切圆切于三边的中点”， 在立体几何中，类比上述命题猜想出与正四面体相关的命题_________ _．‎ ‎14．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为________．‎ ‎15．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为__________．‎ ‎16．f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上单调递减，则b的取值范围为________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．‎ ‎17.(10分)计算:‎ ‎； ‎ ‎18.(12分)已知复数z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)为纯虚数，求实数m的值．‎ ‎19．(12分)已知曲线y＝x3＋.‎ ‎(1)求曲线在x＝2处的切线方程；‎ ‎(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．‎ ‎20．(12分)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.‎ ‎(1)求y＝f(x)的表达式；‎ ‎(2)求y＝f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积．‎ ‎21．（12分）已知数列{an}中，a1＝- ，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明。‎ ‎22．(12分) 设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f ′(x)．‎ ‎(1)求g(x)的单调区间和最小值；‎ ‎(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．‎ ‎2016-2017学年第2学期第一次段考 高二数学（理科）答题卡 一． 选择题（共12小题， 60分）‎ ‎（略）‎ 二．填空题（4小题，共20分）‎ ‎13. ‎ ‎14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（10分）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎18.（12分）‎ ‎19.(12分)‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎20.（12分）‎ ‎21.（12分）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎22.（12分）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎2016-2017学年第2学期第一次段考高二数学（理科）答案 一．选择题（12小题，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C B ‎ C D A C D A C ‎ B D 二．填空题（4小题，共20分）‎ ‎13. 正四面体的内切球切于四面体四个面各正三角形的中心 ‎14. π 15. 2ln2 16. (－∞，－1]‎ 三、解答题 ‎17.（10分）‎ 答案：2. ‎ ‎18.（12分）‎ z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)＝(m2－m－6)＋(2m2－5m－3)i，依题意，m2－m－6＝0，解得m＝3或－2.‎ ‎∵2m2－5m－3≠0.∴m≠3.∴m＝－2.‎ ‎19.（12分） ‎ ‎(1)∵y′＝x2，‎ ‎∴在点P(2,4)处的切线斜率k＝y′|x＝2＝4.‎ 又x＝2时y＝4，‎ ‎∴在点P(2,4)处的切线方程：4x－y－4＝0.4分 ‎(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，‎ 则切线斜率k＝y′|x＝x0＝x，‎ ‎∴切线方程为y－＝x(x－x0)，‎ 即y＝x·x－x＋.8分 ‎∵点P(2,4)在切线上，‎ ‎∴x－3x＋4＝0，‎ ‎∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，x0＝2.‎ 故所求的切线方程为y＝x＋2或y＝4x－4，即4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.12分 ‎20.　（12分）‎ ‎(1)∵y＝f(x)是二次函数且f′(x)＝2x＋2，‎ ‎∴设f(x)＝x2＋2x＋c.‎ 又f(x)＝0有两个等根，‎ ‎∴4－4c＝0，∴c＝1，∴f(x)＝x2＋2x＋1.‎ ‎(2)y＝f(x)的图像与两坐标所围成的图形的面积 S＝＝.‎ ‎21.（12分）‎ 解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.‎ ‎∴Sn＝－(n≥2)．‎ 则有S1＝a1＝－，S2＝－＝－，‎ S3＝－＝－，S4＝－＝－.‎ 由此猜想：Sn＝－(n∈N*)．‎ 用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．‎ ‎②假设n＝k(k∈N*)猜想成立，即Sk＝－成立，‎ 那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－＝－＝－＝－.‎ 即n＝k＋1时猜想成立．‎ 由①②可知，对任意自然数n，猜想结论均成立．‎ ‎22.（12分）‎ ‎ (1)由题设知g(x)＝lnx＋，‎ ‎∴g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1.‎ 当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调递减区间．‎ 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间，‎ 因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.‎ ‎ (2)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)－g(x)<对任意x>0成立⇔g(a)－1<，‎ 即lna<1，从而得0

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