人教版高中数学必修1全册
2021年2月11日
高中数学必修一课件全册 （人教A版）
高中数学课件
人教版必修一精品
ppt
数与形
,
本是相倚依
焉能分作两边飞
数无形时少直觉
形少数时难入微
数形结合百般好
隔离分家万事休
切莫忘
,
几何代数统一体
永远联系莫分离
——
华罗庚
第一章：集合与函数
第二章：基本初等函数
第三章：函数的应用
第一节：集合
第一章：集合与函数
二、集合的定义与表示
1
、通常，我们把研究的对象称为
元素
，而某些拥有共同特征的元素所组成的总体叫做
集合
。并用花括号
{}
括起来，用大写字母带表一个集合，其中的元素用逗号分割。
2
、集合有三个特征：
确定性
、
互异性
和
无序性
。就是根据这三个特征来判断是否为一个集合。
一、请关注我们的生活，会发现
………
1、高一（
9
）班的全体学生：
A={
高一（
9
）班的学生}
2、中国的直辖市：
B={
中国的直辖市}
3
、2，4，6，8，10，12，14：
C={ 2，4，6，8，10，12，14}
4、我国古代的四大发明：
D={
火药，印刷术，指南针，造纸术}
5、2004年雅典奥运会的比赛项目：
E={2008
年奥运会的球类项目}
如何用数学的语言描述这些对象？？
集合的含义与表示
讨论1：
下列对象能构成集合吗？为什么？
1、著名的科学家
2、1,2,2,3这四个数字
3、我们班上的高个子男生
讨论2：
集合{
a,b,c,d}
与{
b,c,d,a}
是同一个集合吗？
三、数集的介绍和集合与元素的关系表示
1、常见数集的表示
N：
自然数集（含0）即非负整数集
N+
或
N
*
：
正整数集（不含0)
Z:
整数集
Q：
有理数集
R：
实数集
若一个元素
m
在集合
A
中，则说
m∈A
，读作“元素
m
属于集合
A”
否则，称为
m
A,
读作“元素
m
不属于集合
A。
例如：1
N， -5 Z,
Q
∈
∈
2、集合与元素的关系（属于∈或不属于
）
1.5
N
四、
集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意
：1、元素间要用逗号隔开；
2、不管次序放在大括号内。
例如：
book
中的字母组成的集合表示为：
｛ｂ，ｏ，
o，
ｋ
｝
｛ｂ，ｏ，ｋ
｝
一次函数
y=x+3
与
y=-2x+6
的图像的交点组成的集合。
｛
1,4｝
｛（
1,4
）
｝
2
、描述法
就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。其一般形式为：
注意
：1、中间的“
|
”不能缺失；
2、不要忘记标明
x∈R
或者
k∈Z
，除非上下文明确表示
。
{
x | p(x)
}
例如：
book
中的字母的集合表示为：
A=
｛
x|x
是
book
中的字母
｝
所有奇数组成的集合：
A={x∈R|x=2k+1, k∈Z}
所有偶数组成的集合：
A={x∈R|x=2k, k∈Z}
思考：
1、比较这三个集合：
A={x ∈Z|x<10}
，
B={x ∈R|x<10}
，
C={x |x<10}
；
例题：
求由方程
x
2
-1=0
的实数解构成的集合。
解：
(1)列举法：{-1,1}或{1，-1}。
(2)描述法：{
x|x
2
-1=0，x∈R}
或{
X|X
为方程
x
2
-1=0
的实数解}
2
、两个集合相等
如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。
例：集合
A={x|x
为小于
5
的素数
}
，集合
A={x ∈ R|(x-1)(x-3)=0}
，这两个集合相等吗。
根据集合中元素
个数的多少
，我们将集合分为以下两大类：
1、有限集：含有有限个元素的集合称为
有限集
特别，不含任何元素的集合称为
空集,记为
，
注意
：
不能表示为{}。
2.无限集：若一个集合不是有限集，则该集合称为
无限集
五、集合的分类
练习题
1
、直线
y=x
上的点集如何表示？
2
、方程组 的解集如何表示？
x+y=2
x-y=1
3
、若{1，
a}
和{
a,a
2
}
表示同一个集合， 则
a
的值不能为多少？
集合间的基本关系
实数有相等关系、大小关系，如
5
＝
5
，
5
＜
7
，
5
＞
3
，等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？
观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
⑵
设
A
为新华中学高一
(2)
班女生的全体组成的集合
,
B
为这个班学生的全体组成的集合
;
⑶
设
C
＝
{x|x
是两条边相等的三角形
}
，
D={x|x
是等腰三角形
}.
一、子集和真子集的概念
1
、子集：一般地，对于两个集合
A
、
B
， 如果集合
A
中
任意一个元素
都是集合
B
中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合
A
为集合
B
的
子集
.
B
A
读作：
A
包含于
B
，或者
B
包含
A
可以联系数与数之间的“
≤
”
2
、真子集：
3
、空集：
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作
Φ
，
并规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
4
、补集与全集
设
A
S，
由
S
中不属于集合
A
的所有元素组成的集合称为
S
的子集
A
的补集，记作
C
S
A
，
即
C
S
A
＝｛x|x
∈
S,
且
x
A}
如图，阴影部分即
C
S
A
.
S
A
如果集合
S
包含我们所要研究的各个集合，这时集合
S
看作一个全集，通常记作
U。
例题、不等式组 的解集为
A，U＝R，
试求
A
及
C
U
A，
并把它们
分别表示在数轴上。
1、
C
U
A
在
U
中的补集是什么？
2、
U＝Z，A=｛x|x=2k,k∈Z},
B={x|x=2k+1,K∈Z},
则
C
U
A＝＿＿＿， C
U
B＝＿＿＿＿。
思考
:
练习题
重点考察对空集的理解！
4
、设集合
A={x|1≤x≤3}
，
B={x|x-a≥0}
，若
A
是
B
的真子集，求实数
a
的取值范围。
5
、设
A={1
，
2}
，
B={x|x
A}
，问
A
与
B
有什么关系？并用列举法写出
B
？
7
、判断下列表示是否正确:
(1)a
{a}; (2) {a} ∈{a,b};
(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1} {-1,0,1}
(5)0; (6) {-1,1}.
4
、补集与全集
集合与集合的运算
一
般地，由所有属于集合
A
且属于集合
B
的元素构成的集合，称为
A
与
B
的交集，记作
A∩B，
即
A∩B={x|x
∈
A，
且
x∈B}
A∩B
可用右图中的阴影部分来表示。
U
A
B
A∩B
1
、交集
其实，交集用通俗的语言来说，就是找两个集中中共同存在的元素。
例题：
1、
A={-1,1,2,3},B={-1,-2,1},C={-1,1};
2,3
-2
-1,1
A
B
C
交集的运算性质：
思考题：如何用集合语言描述？
2
、并集
一般地，由所有属于集合
A
或者属于集合
B
的所构成的集合，称为
A
与
B
的并集，记作
A∪B，
即
A∪B
=
{x|x
∈
A，
或
x∈B}
A
∪
B
可用右图中的阴影部分来表示
U
A
B
其实，并集用通俗的语言来说，就是把两个集合的元素合并到一起。所以交集是“求同”，并集是存异。
例题：
设集合
A={
x|-1
单调区间
O
x
y
x
1
x
2
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
二、函数单调性考察的主要问题
3
、证明一个函数具有单调性的证明方法：从定义出发，设定任意的两个
x1
和
x2
，且
x2>x1
，通过计算
f(x2)—f(x1)>0
或者
<0
恒成立。里面通常都是用因式分解的办法，把
f(x2)—f(x1)
转化成（
x2-x1
）的表达式。最后判断
f(x2)—f(x1)
是大于
0
还是小于
0
。
2
、
x
1
,
x
2
取值的
任意
性
.
x
x
1
x
2
I
y
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
O
M
N
例
1
、下图为函数
y=f(x), x
∈[-4,7]
的图像，指出它的单调区间。
[-1.5
，
3]
，
[5
，
6]
[-4
，
-1.5]
，
[3
，
5]
，
[6
，
7]
解：单调增区间为
单调减区间为
1
2
3
-2
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
o
-4
-1
y
-1.5
例
2.
画出下列函数图像，并写出单调区间：
数缺形时少直观
x
y
_____________
,
讨论
1
：
根据函数单调性的定义，
讨论
2
：
在
(-∞
，
0
）和（
0
，
+∞)
上 的单调性
？
例
3.
判断函数 在定义域
[1
，
+
∞）上的单调性，并给出证明：
1.
任取
x
1
，
x
2
∈
D
，且
x
1
<
x
2
；
2.
作差
f
(
x
1
)
－
f
(
x
2
)
；
3.
变形（通常是因式分解和配方）；
4.
定号（即判断差
f
(
x
1
)
－
f
(
x
2
)
的正负）；
5.
下结论
主要步骤
形少数时难入微
证明：在区间
[1
，
+∞
）
上任取两个值
x1
和
x2
，
且
x10
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
x
y
0
a<0
x
y
0
a<0
x
y
0
c
x
y
0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
数缺形时少直观
四、平移问题
对一个已知函数进行平移，如函数的表达式可以统一表示为
y=f(x)
，则平移后的方程遵循右上减，左下加的原则，具体如下：
向右平移
k
个单位，则平移后的表达式为
y=f(x-k)
；
向左平移
k
个单位，则平移后的表达式为
y=f(x+k)
；
向上平移
h
个单位，则平移后的表达式为
y-h=f(x)
；
想下平移
h
个单位，则平移后的表达式为
y+h=f(x);
如果在横向和纵向上都有移动，则同时根据上述原则变化
y
和
f(x)
，各变各的，再进行整理。如：向左平移
k
个单位，向上平移
h
个单位，则平移后的表达式为
y-h=f(x+k)
注意：
1
、在替换的时候要替换
所有的
，尤其是
x
，替换时候最好带上括号，避免出错。
2
、平移的
先后次序不影响平移结果
，即无所谓先向左右，还是先向上下。只要是向坐标轴的正向移动，就用负号，只要是向坐标轴的负向移动就用正号。
(3)
④
连线
①
画对称轴
②
确定顶点
③
确定与坐标轴的交点
及对称点
0
x
y
x=-1
•
M(-1,-2)
•
•
•
A(-3,0)
B(1,0)
D
(5)
当
x≤-1
时，
y
随
x
的增大而减小
;
当
x=-1
时，
y
有最小值为
y
最小值
=-2
由图象可知
(6)
当
x
<
-3
或
x
>
1
时，
y
>
0
当
-3
<
x
<
1
时，
y
<
0
1.
抛物线 的顶点坐标是
( ).
(A)(-1,-3) (B)(1,3) (C)(-1,8) (D)(1,-8)
2.
在同一直角坐标系中，
抛物线
与坐标轴的交点个数是
( )
(A)0
个
(B)1
个
(C)2
个
(D)3
个
3.
已知二次函数ｙ＝ａｘ
２
＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，则有（ ）
(
Ａ
)
a
＜
0,b
＜
0,c
＞
0 (
Ｂ
)
a
＜
0,b
＜
0,c
＜
0
(C) a
＜
0,b
＞
0,c
＞
0 (D) a
＞
0,b
＜
0,c
＞
0
四、巩固练习
4
、二次函数
y=x
2
-x-6
的图象顶点坐标是
___________
对称轴是
_________
。
5
、
抛物线
y=-2x
2
+4x
与
x
轴的交点坐标是
___________
6
、已知函数
y=—x
2
-x-4
，当函数值
y
随
x
的增大而减小时，
x
的取值范围是
___________
7
、二次函数
y=mx
2
-3x+2m-m
2
的图象经过原点，则
m=
____
。
8
、二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是
__________
1
-1
0
x
y
①abc
<
0
②a+b+c
<
0
③a+c
>
b
④2a+b=0
⑤
Δ=
b-4ac
>
0
9
、二次函数
f(x)
满足
f(3+x)=f(3-x)
且
f(x)=0
有两个实根
x
1
,
x
2
，
则
x
1
+x
2
等于_________.
10
、数
f(x)=2x
2
-mx+3
，
当
x
∈(-∞,-1]
时是减函数，当
x∈(-1,+∞)
时是增函数，则
f(2)=
_______.
11
、关于
x
的方程
x
2
+(a
2
-1)x+(a-2)=0
的一根比1大，另一根比1小，则有(
)
(A)
-1＜a＜1
(B)
a＜-2
或
a＞1
(C)
-2＜a＜1
(D)
a＜-1
或
a＞2
12
、设
x,y
是关于
m
的方程
m
2
-2am+a+6=0
的两个实根，则
(
x-1)
2
+(y-1)
2
的最小值是(
C
)
(A)-12 (B)18 (C)8 (D)34
13
、设函数
f(x)=|x|·x+bx+c
，
给出下列命题：
①
b=0,c＞0
时，
f(x)=0
只有一个实数根；
②
c=0
时，
y=f(x)
是奇函数；
③
y=f(x)
的图象关于点(0，
c
)
对称；
④方程
f(x)=0
至多有2个实数根.
上述命题中的所有正确命题序号是_______
①②③
函数的基本性质
——
奇偶性
1
、已知函数
f(x)=x
2
,
求
f(-2),f(2), f(-1),f(1),
及
f(-x) ,
并画出它的图象。
解
:
f(-2)=(-2)
2
=4 f(2)=4
f(-1)=(-1)
2
=1 f(1)=1
f(-x)=(-x)
2
=x
2
x
y
o
( x,y)
(-x,y)
f(-x)
f(x)
-x
x
f(-2)=f(2)
f(-1)=f(1)
f(-x)=f(x)
说明
:
当自变量任取定义域中的两个相反数时
,
对应的函数值相等即
f(-x)=f(x)
如果对于
f(x)
定义域内的
任意一个
x
,
都有
f(-x)=f(x),
那么函数
f(x)
就叫
偶函数
.
偶函数定义
:
2.
已知
f(x)=x
3
,
画出它的图象
,
并求出
f(-2)
，
f(2)
，
f(-1)
，
f(1)
及
f(-x)
解
:
f(-2)=(-2)
3
=-8 f (2)=8
f(-1)=(-1)
3
=-1 f(1)=1
f(-x)=(-x)
3
=-x
3
x
y
o
-x
x
f(-x)
f(x)
(-x,-y)
(x,y)
f(-2)= - f(2)
f(-1)= - f(1)
f(-x)= - f(x)
说明
:
当自变量任取定义域中的两个相反数时
,
对应的函数值也互为相反数
,
即
f(-x)=-f(x)
奇函数定义
:
如果对于
f(x)
定义域内的
任意一个
x
,
都有
f(-x)=-f(x) ,
那么函数
f(x)
就叫
奇函数
.
★
对奇函数、偶函数定义的说明
:
（
1
）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。如，
f(x)=x
2
(x>0)
是偶函数吗
O
x
[-b,-a]
[a,b]
（
2
）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：
若
f(x)
为偶函数
,
则
f(-x)= f(x)
成立。
若
f(x)
为奇函数
,
则
f(-x)=
－
f(x)
成立。
（
3
） 如果一个函数
f(x)
是奇函数或偶函数
,
那么我们就说函 数
f(x)
具有奇偶性。
例
1.
判断下列函数的奇偶性
解
:
定义域为
R
∵f(-x)=(-x)
3
+2(-x)
= -x
3
-2x
= -(x
3
+2x)
即
f(-x)= - f(x)
∴f(x)
为奇函数
解
:
定义域为
R
∵f(-x)=2(-x)
4
+3(-x)
2
=2x
4
+3x
2
即
f(-x)= f(x)
∴f(x)
为偶函数
(1) f(x)=x
3
+2x (2) f(x)=2x
4
+3x
2
（
2
）奇函数的图象关于原点对称
.
反过来
,
如果一个函数的图象关于原点对称
,
那么这个函数为奇函数
.
（
1
）偶函数的图象关于
y
轴对称
.
反过来
,
如果一个函数的图象关于
y
轴对称
,
那么这个函数为偶函数
.
注：奇偶函数图象的性质可用于：
①
.
简化函数图象的画法。
②
.
判断函数的奇偶性。
★
奇偶函数图象的性质
:
★
两个定义
:
对于
f(x)
定义域内的任意一个
x ,
如果都有
f(-x)=-f(x) f(x)
为奇函数。
如果都有
f(-x)= f(x) f(x)
为偶函数。
★
两个性质
:
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。
一个函数为偶函数 它的图象关于
y
轴对称。
(2) f(x)= - x
2
+1
(3). f(x)=5 (4) f(x)=0
练习题
(5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x
2
x∈[- 1 , 3]
第二章：基本初等函数
第一节：指数函数
指数与指数幂的运算
根式
探究
a
，
a≥0
–a
，
a
≤
0
分数指数幂
指数运算法则
结合具体的理解进行记忆
引例
1
：
某种细胞分裂时，由
1
个分裂成
2
个，
2
个分裂成
4
个，
……. 1
个这样的细胞分裂
x
次后，得到的细胞个数
y
与
x
的函数关系是什么？
分裂次数：
1
，
2
，
3
，
4
，
…
，
x
细胞个数：
2
，
4
，
8
，
16
，
…
，
y
由上面的对应关系可知，函数关系是
引例
2
：
某种商品的价格从今年起每年降低
15%
，设原来的价格为
1
，
x
年后的价格为
y
，则
y
与
x
的函数关系式为
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于
0
且不等于
1
的常量的函数叫做指数函数
.
即：
，其中
x
是自变量，函数定义域是
R
定义
指数函数及其性质
探究
1
：为什么要规定
a>0,
且
a ≠1
呢？
①若
a=0
，则当
x>0
时，
=0
；当
x 0
时， 无意义
.
②
若
a<0
，则对于
x
的某些数值，可使 无意义
.
如 ，这时对于
x=
，
x=
，
…
等等，在实数范围内函数值不存在
.
③
若
a=1
，则对于任何
x
∈
R
，
=1
，是一个常量，没有研究的必要性
.
为了避免上述各种情况，所以规定
a>0
且
a≠1
在规定以后，对于任何
x R
， 都有意义，且
>0.
因此指数函数的定义域是
R
，值域是
(0,+∞).
引例：
x
…
-3
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
2
3
…
…
0.13
0.25
0.5
0.71
1
1.4
2
4
8
…
…
8
4
2
1.4
1
0.71
0.5
0.25
0.13
…
x
…
-1.5
-1
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
1
1.5
…
…
0.03
0.1
0.32
0.56
1
1.78
3.16
10
31.62
…
…
31.62
10
3.16
1.78
1
0.56
0.32
0.1
0.03
…
例题讲解：
课本
P56
、
57
中的例
6
、例
7
和例
8
课堂练习：
课本
P58
的练习
1
、
2
进一步拓展
进一步拓展
复合函数求单调区间
综合练习
课本
P59
页习题
2.1
第二章：基本初等函数
第二节：对数函数
对数及其运算
前节内容回顾：
引导：
定义：
X
x
X
x
两种特殊的底：
10
和
e
探究：
结论：
负数和零没有对数。
练习：
课本
P64
页
对数运算法则
探究：
换底公式的证明与应用
例题讲解：
课堂练习：
1
、课本
P65
页，例
2—
例
6
：
1
、课本
P68
页
对数函数及其性质
我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由
1
个分裂成
2
个，
2
个分裂成
4
个
……1
个这样的细胞分裂成
x
次后，得到细胞个数
y
是分裂次数
x
的函数，这个函数可以用指数函数
___________
表示。
反过来，
1
个细胞经过多少次分裂，大约可以等于
1
万个、
10
万个
……
细胞？已知细胞个数
y
，如何求分裂次数
x
？得到怎样一个新的函数？
1
2
4
y=2
x
……
y
x=?
复习引入
y=2
x
,x∈N
1
、对数函数的定义：
2
、指数函数与对数函数两者图像之间的关系
x
…
-3
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
2
3
…
…
0.13
0.25
0.5
0.71
1
1.4
2
4
8
…
x
…
0.13
0.25
0.5
0.71
1
1.4
2
4
8
…
…
-3
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
2
3
…
-1
X
Y
O
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
7
Y=log
2
x
Y=x
Y=2
x
-1
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
图 象 性 质
a
＞
1
0
＜
a
＜
1
定义域
:
值 域
:
过定点：
在
( 0 ,+∞)
上
是 函数
在
( 0 ,+∞)
上
是 函数
y
x
0
x
＝
1
y=log
a
x
(a
＞
1)
y
x
0
y=log
a
x
(0
＜
a
＜
1)
(1,0)
(1,0)
( 0 ,+∞)
R
( 1 , 0 )
增
减
对数函数的图像和性质
例
1
：求下列函数的定义域：
（
1
） ； （
2
） ； （
3
）
反函数
1
、定义：
2
、求法：
已知某个函数的表达式，
y=f(x)
，求其反函数的方法和步骤如下：
（
1
）通过表达式
y=f(x)
，把函数表示成
x=g(y)
的形式
（
2
）把求得的
x=g(y)
的位置对调，即
y=g(x)
的形式
3
、注意：
只有是严格一一对应的函数才能求其反函数，即存在多对一的情况的函数是没有反函数的。有反函数不一定有单调性，如
y=1/x
？
练习
课本
P73,74
页
第二章：基本初等函数
第三节：幂函数
幂函数定义
注意：
第三章：函数的应用
第一节：函数与方程
要点梳理
1.
函数的零点
（
1
）函数零点的定义
对于函数
y
=
f
(
x
)(
x
∈
D
),
把使
_______
成立的实数
x
叫
做函数
y
=
f
(
x
)(
x
∈
D
)
的零点
.
f
(
x
)=0
基础知识 自主学习
（
2
）几个等价关系
方程
f
(
x
)=0
有实数根 函数
y
=
f
(
x
)
的图象与
_____
有
交点 函数
y
=
f
(
x
)
有
_______.
(3)
函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数
y
=
f
(
x
)
在区间［
a
，
b
］上的图象是连续不
断的一条曲线，并且有
_________________,
那么函
数
y
=
f
(
x
)
在区间
________
内有零点
,
即存在
c
∈(
a
,
b
),
使得
_________
，这个
____
也就是
f
(
x
)=0
的根
.
f
（
a
）
·
f
（
b
）
<0
(
a
，
b
)
f
(
c
)=0
c
x
轴
零点
2.
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
>0)
的图象与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
>0)
的图象
与
x
轴的交点
__________________
________
无交点
零点个数
______
_____
___
(
x
1
,0),
(
x
2
,0)
(
x
1
,0)
无
一个
两个
3.
二分法
（
1
）二分法的定义
对于在区间［
a
，
b
］上连续不断且
_____________
的
函数
y
=
f
(
x
)
，通过不断地把函数
f
(
x
)
的零点所在的区
间
__________,
使区间的两个端点逐步逼近
_____,
进
而得到零点近似值的方法叫做二分法
.
（
2
）用二分法求函数
f
(
x
)
零点近似值的步骤
第一步，确定区间［
a
，
b
］，验证
______________,
给定精确度 ；
第二步，求区间（
a
，
b
）的中点
x
1
；
f
(
a
)·
f
(
b
)<0
一分为二
零点
f
(
a
)·
f
(
b
)<0
第三步，计算
_______
：
①若
_______
，则
x
1
就是函数的零点；
②若
_____________
，则令
b
=
x
1
(
此时零点
x
0
∈(
a
,
x
1
));
③
若
______________
，则令
a
=
x
1
(
此时零点
x
0
∈(
x
1
,
b
));
第四步，判断是否达到精确度 ：即若
|
a
-
b
|< ,
则
得到零点近似值
a
（或
b
）
;
否则重复第二、三、四步
.
f
(
x
1
)
f
(
a
)·
f
(
x
1
)<0
f
(
x
1
)·
f
(
b
)<0
f
(
x
1
)=0
基础自测
1.
若函数
f
(
x
)=
ax
+
b
有一个零点为
2,
则
g
(
x
)=
bx
2
-
ax
的
零点是 （ ）
A.0
，
2 B.0
，
C.0
，
D.2,
解析
由
f
(2)=2
a
+
b
=0,
得
b
=-2
a
,
∴
g
(
x
)=-2
ax
2
-
ax
=-
ax
(2
x
+1).
令
g
(
x
)=0
，得
x
=0,
x
=
∴
g
（
x
）的零点为
0
，
C
2.
函数
f
(
x
)=3
ax
-2
a
+1
在［
-1
，
1
］上存在一个零点，
则
a
的取值范围是 （ ）
A. B.
a
≤1
C. D.
解析
f
(
x
)=3
ax
-2
a
+1
在
[-1
，
1]
上存在一个零点，
则
f
(-1)·
f
(1)≤0,
即
D
3.
函数图象与
x
轴均有公共点，但不能用二分法求公
共点横坐标的是 （ ）
解析
图
B
不存在包含公共点的闭区间［
a
，
b
］使函
数
f
（
a
）
·
f
（
b
）
<0.
B
4.
下列函数中在区间
[1,2]
上一定有零点的是（ ）
A.
f
(
x
)=3
x
2
-4
x
+5
B.
f
(
x
)=
x
3
-5
x
-5
C.
f
(
x
)=
mx
2
-3
x
+6
D.
f
(
x
)=e
x
+3
x
-6
解析
对选项
D
，∵
f
（
1
）
=e-3<0
，
f
（
2
）
=e
2
>0
，
∴
f
（
1
）
f
（
2
）
<0.
D
5.
设函数
则函数
f
(
x
)-
的零点是
__________.
解析
当
x
≥1
时，
当
x
<1
时，
(
舍去大于
1
的根
).
∴
的零点为
题型一 零点的判断
【
例
1
】
判断下列函数在给定区间上是否存在零点
.
(1)
f
（
x
）
=
x
2
-3
x
-18
，
x
∈
［
1
，
8
］；
(2)
f
（
x
）
=log
2
(
x
+2)-
x
，
x
∈
［
1
，
3
］
.
第（
1
）问利用零点的存在性定理或
直接求出零点，第（
2
）问利用零点的存在性定理
或利用两图象的交点来求解
.
思维启迪
题型分类 深度剖析
解
（
1
）
方法一
∵
f
（
1
）
=1
2
-3×1-18=-20<0
，
f
（
8
）
=8
2
-3×8-18=22>0
，
∴
f
(1)·
f
(8)<0
，
故
f
(
x
)=
x
2
-3
x
-18,
x
∈[1
，
8]
存在零点
.
方法二
令
f
(
x
)=0
，得
x
2
-3
x
-18=0,
x
∈[1
，
8].
∴(
x
-6)(
x
+3)=0
，
∴
x
=6∈[1
，
8],
x
=-3[1
，
8]
，
∴
f
（
x
）
=
x
2
-3
x
-18
，
x
∈[1
，
8]
有零点
.
(2)
方法一
∵
f
（
1
）
=log
2
3-1>log
2
2-1=0,
f
(3)=log
2
5-31),
判断
f
(
x
)=0
的根的个数
.
解
设
f
1
(
x
)=
a
x
(
a
>1),
f
2
(
x
)=
则
f
(
x
)=0
的解即为
f
1
(
x
)=
f
2
(
x
)
的解
,
即为函数
f
1
(
x
)
与
f
2
(
x
)
图象交点的横坐标
.
在同一坐标系中，作出函数
f
1
(
x
)=
a
x
(
a
>1)
与
f
2
(
x
)=
的图象
(
如
图所示）
.
两函数图象有且只有一个交点，即方程
f
(
x
)=0
有且
只有一个根
.
题型三 零点性质的应用
【
例
3
】
(12
分
)
已知函数
f
(
x
)=-
x
2
+2e
x
+
m
-1,
g
(
x
)=
x
+
(
x
>0).
(1)
若
g
(
x
)=
m
有零点，求
m
的取值范围；
(2)
确定
m
的取值范围，使得
g
(
x
)-
f
(
x
)=0
有两个
相异实根
.
（
1
）可结合图象也可解方程求之
.
（
2
）利用图象求解
.
思维启迪
解
（
1
）
方法一
∵
等号成立的条件是
x
=e.
故
g
(
x
)
的值域是
[2e
，
+∞)
，
4
分
因而只需
m
≥2e
，则
g
(
x
)=
m
就
有零点
. 6
分
方法二
作出 的图象如图：
4
分
可知若使
g
(
x
)=
m
有零点，则只需
m
≥2e. 6
分
方法三
解方程由
g
（
x
）
=
m
，得
x
2
-
mx
+e
2
=0.
此方程有大于零的根，
4
分
等价于 故
m
≥2e. 6
分
(2)
若
g
(
x
)-
f
(
x
)=0
有两个相异的实根，
即
g
（
x
）
=
f
（
x
）中函数
g
（
x
）与
f
（
x
）的图象有两个
不同的交点，
作出 （
x
>0
）的图象
.
∵
f
（
x
）
=-
x
2
+2e
x
+
m
-1
=-(
x
-e)
2
+
m
-1+e
2
.
其对称轴为
x
=e
，开口向下，
最大值为
m
-1+e
2
. 10
分
故当
m
-1+e
2
>2e,
即
m
>-e
2
+2e+1
时，
g
(
x
)
与
f
(
x
)
有两个交点，
即
g
(
x
)-
f
(
x
)=0
有两个相异实根
.
∴
m
的取值范围是（
-e
2
+2e+1,+∞). 12
分
此类利用零点求参数的范围的问题，可
利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构
造两函数图象求解
,
使得问题简单明了
.
这也体现了
当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求
参数的范围，一般采用数形结合法求解
.
探究提高
知能迁移
3
是否存在这样的实数
a
,
使函数
f
(
x
)=
x
2
+
(3
a
-2)
x
+
a
-1
在区间
[-1,3]
上与
x
轴恒有一个零点
,
且只有一个零点
.
若存在
,
求出范围
,
若不存在
,
说
明理由
.
解
∵
Δ=(3
a
-2)
2
-4(
a
-1)>0
∴
若实数
a
满足条件
,
则只需
f
(-1)·
f
(3)≤0
即可
.
f
(-1)·
f
(3)=(1-3
a
+2+
a
-1)·(9+9
a
-6+
a
-1)
=4(1-
a
)(5
a
+1)≤0.
所以
a
≤
或
a
≥1.
检验
:(1)
当
f
(-1)=0
时，
a
=1.
所以
f
(
x
)=
x
2
+
x
.
令
f
(
x
)=0
，即
x
2
+
x
=0
，得
x
=0
或
x
=-1.
方程在
[-1,3]
上有两根，不合题意，故
a
≠1.
(2)
当
f
(3)=0
时，
a
=
解之得
x
=
或
x
=3.
方程在
[-1,3]
上有两根
,
不合题意
,
故
a
≠
综上所述
,
a
<
或
a
>1.
1.
函数零点的判定常用的方法有：①零点存在性定
理；②数形结合；③解方程
f
（
x
）
=0.
2.
研究方程
f
(
x
)=
g
(
x
)
的解，实质就是研究
G
(
x
)=
f
（
x
）
-
g
（
x
）的零点
.
3.
二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法
.
其
实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在
的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的
任一点就是这个函数零点的近似值
.
方法与技巧
思想方法 感悟提高
1.
对于函数
y
=
f
(
x
)(
x
∈
D
),
我们把使
f
(
x
)=0
的实数
x
叫
做函数的零点
,
注意以下几点
:
(1)
函数的零点是一个实数
,
当函数的自变量取这个
实数时
,
其函数值等于零
.
(2)
函数的零点也就是函数
y
=
f
(
x
)
的图象与
x
轴的交点
的横坐标
.
(3)
一般我们只讨论函数的实数零点
.
(4)
函数的零点不是点
,
是方程
f
(
x
)=0
的根
.
失误与防范
2.
对函数零点存在的判断中
,
必须强调
:
(1)
f
(
x
)
在［
a
,
b
］上连续
;
(2)
f
(
a
)·
f
(
b
)<0;
(3)
在（
a
,
b
）内存在零点
.
事实上
,
这是零点存在的一个充分条件
,
但不必要
.
一、选择题
1.
设
f
(
x
)=3
x
-
x
2
,
则在下列区间中，使函数
f
(
x
)
有零点
的区间是 （ ）
A.[0
，
1] B.[1
，
2]
C.[-2
，
-1] D.[-1
，
0]
解析
∵
f
（
-1
）
=3
-1
-(-1)
2
=
f
（
0
）
=3
0
-0
2
=1>0
，
∴
f
（
-1
）
·
f
（
0
）
<0
，
∴有零点的区间是
[-1
，
0].
D
定时检测
2.
设函数
(
x
>0),
则
y
=
f
(
x
)
（ ）
A.
在区间
(1,e)
内均有零点
B.
在区间
(1,e)
内均无零点
C.
在区间 内有零点，在区间
(1,e)
内无零点
D.
在区间 内无零点
,
在区间
(1,e)
内有零点
解析
因为
因此
f
(
x
)
在 内无零点
.
因此
f
(
x
)
在
(1
，
e)
内有零点
.
答案
D
3.
若函数
f
（
x
）的零点与
g
(
x
)=4
x
+2
x
-2
的零点之差的绝对值不超过
0.25
，则
f
(
x
)
可以是 （ ）
A.
f
(
x
)=4
x
-1 B.
f
(
x
)=(
x
-1)
2
C.
f
(
x
)=e
x
-1 D.
解析
∵
g
(
x
)=4
x
+2
x
-2
在
R
上连续且
设
g
(
x
)=4
x
+2
x
-2
的零点为
x
0
,
则
又
f
(
x
)=4
x
-1
零点为
f
(
x
)=(
x
-1)
2
零点为
x
=1;
f
(
x
)=e
x
-1
零点为
x
=0;
零点为
答案
A
4.
方程
|
x
2
-2
x
|=
a
2
+1(
a
∈
R
+
)
的解的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析
∵
a
∈
R
+
，∴
a
2
+1>1.
而
y
=|
x
2
-2
x
|
的图象如图，
∴
y
=|
x
2
-2
x
|
的图象与
y
=
a
2
+1
的图象总有两个交点
.
∴
方程有两解
.
B
5.
方程
|
x
|(
x
-1)-
k
=0
有三个不相等的实根，则
k
的取
值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
解析
本题研究方程根的个数问题
,
此类问题首选
的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题
,
其
次是直接求出所有的根
.
本题显然考虑第一种方法
.
如图，作出函数
y
=|
x
|·(
x
-1)
的
图象，由图象知当
k
∈
时，
函数
y
=
k
与
y
=|
x
|(
x
-1)
有
3
个不同的
交点，即方程有
3
个实根
.
答案
A
6.
设
f
(
x
)=
x
3
+
bx
+
c
(
b
>0)(-1≤
x
≤1),
且
则方程
f
(
x
)=0
在
[-1,1]
内
( )
A.
可能有
3
个实数根
B.
可能有
2
个实数根
C.
有唯一的实数根
D.
没有实数根
解析
∵
f
（
x
）
=
x
3
+
bx
+
c
（
b
>0
），
∴
f
′(
x
)=3
x
2
+
b
>0,∴
f
（
x
）在
[-1,1]
上为增函数
,
又∵
∴
f
（
x
）在 内存在唯一零点
.
C
二、填空题
7.
若函数
f
(
x
)=
x
2
-
ax
-
b
的两个零点是
2
和
3
，则函数
g
(
x
)=
bx
2
-
ax
-1
的零点是
________.
解析
∴
g
（
x
）
=-6
x
2
-5
x
-1
的零点为
8.
若函数
f
(
x
)=
x
2
+
ax
+
b
的两个零点是
-2
和
3,
则不等式
af
(-2
x
)>0
的解集是
________________.
解析
∵
f
（
x
）
=
x
2
+
ax
+
b
的两个零点是
-2
，
3.
∴-2
，
3
是方程
x
2
+
ax
+
b
=0
的两根，
由根与系数的关系知
∴
f
(
x
)=
x
2
-
x
-6.∵
不等式
af
(-2
x
)>0
，
即
-(4
x
2
+2
x
-6)>0 2
x
2
+
x
-3<0,
解集为
9.
已知
y
=
x
(
x
-1)(
x
+1)
的图象如图所示
,
今考虑
f
(
x
)=
x
(
x
-1)(
x
+1)+0.01,
则方程
f
(
x
)=0
①
有三个实根；
②当
x
<-1
时
,
恰有一实根
(
有一
实根且仅有一实根
);
③
当
-1<
x
<0
时，恰有一实根；
④当
0<
x
<1
时，恰有一实根；
⑤当
x
>1
时，恰有一实根
.
则正确结论的编号为
___________.
解析
∵
f
（
-2
）
=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0,
f
（
-1
）
=0.01>0
，即
f
(-2)·
f
(-1)<0
，
∴在（
-2
，
-1
）内有一个实根
.
由图中知：方程
f
(
x
)=0
在
(-∞,-1)
上
,
只有一个实根
,
所以②正确
.
又∵
f
(0)=0.01>0,
由图知
f
(
x
)=0
在
(-1,0)
上没有实数
根
,
所以③不正确
.
又∵
f
(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,
f
(1)=0.01>0,
即
f
(0.5)
f
(1)<0,
所以
f
(
x
)=0.
在
(0.5,1)
上必有一个实根
,
且
f
(0)·
f
（
0.5
）
<0,
∴
f
（
x
）
=0
在（
0
，
0.5
）上也有一个实根
.
∴
f
（
x
）
=0
在（
0
，
1
）上有两个实根，④不正确
.
由
f
（
1
）
>0
且
f
(
x
)
在（
1
，
+∞
）上是增函数，
∴
f
（
x
）
>0,
f
(
x
)=0
在（
1
，
+∞
）上没有实根
.
∴⑤
不正确
.
并且由此可知①也正确
.
答案
①②
三、解答题
10.
已知函数
f
(
x
)=4
x
+
m
·2
x
+1
有且仅有一个零点，求
m
的取值范围，并求出该零点
.
解
∵
f
（
x
）
=4
x
+
m
·2
x
+1
有且仅有一个零点，
即方程
(2
x
)
2
+
m
·2
x
+1=0
仅有一个实根
.
设
2
x
=
t
(
t
>0)
，则
t
2
+
mt
+1=0.
当
Δ=0,
即
m
2
-4=0
，
∴
m
=-2
时，
t
=1;
m
=2
时，
t
=-1
不合题意，舍去，
∴
2
x
=1
，
x
=0
符合题意
.
当
Δ>0
，即
m
>2
或
m
<-2
时，
t
2
+
mt
+1=0
有两正或两负根，
即
f
(
x
)
有两个零点或没有零点
.
∴
这种情况不符合题意
.
综上可知：
m
=-2
时
,
f
(
x
)
有唯一零点
,
该零点为
x
=0.
11.
关于
x
的二次方程
x
2
+(
m
-1)
x
+1=0
在区间
[0
，
2]
上
有解，求实数
m
的取值范围
.
解
设
f
(
x
)=
x
2
+(
m
-1)
x
+1,
x
∈
［
0
，
2
］，
①若
f
(
x
)=0
在区间［
0
，
2
］上有一解，
∵
f
（
0
）
=1>0,
则应有
f
(2)≤0,
又∵
f
（
2
）
=2
2
+
（
m
-1
）
×2+1,
∴
m
≤
②
若
f
(
x
)=0
在区间［
0,2
］上有两解
,
则
由①②可知
m
≤-1.
12.
已知
a
是实数，函数
f
(
x
)=2
ax
2
+2
x
-3-
a
.
如果函数
y
=
f
(
x
)
在区间［
-1
，
1
］上有零点
,
求
a
的取值范围
.
解
（
1
）当
a
=0
时，
f
(
x
)=2
x
-3.
令
2
x
-3=0,
得
x
=
［
-1
，
1
］
∴
f
（
x
）在［
-1
，
1
］上无零点，故
a
≠0.
（
2
）当
a
>0
时，
f
(
x
)=2
ax
2
+2
x
-
3-
a
的对称轴为
①
当 ≤
-1,
即
0<
a
≤
时，
须使
∴
a
的解集为
.
②
当
-1< <0,
即
a
>
时，
须使
解得
a
≥1,∴
a
的取值范围是［
1
，
+∞).
（
3
）当
a
<0
时，
①当
0< ≤1,
即
a
≤
时，
须有
又
a
≤
∴
a
的取值范围是
②
当
>1,
即
<
a
<0
时，
须有
∴
a
的解集为
.
综上所述，
a
的取值范围是
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