高中数学 2-2-1 综合法和分析法双基限时训练 新人教版选修2-2

高中数学 2-2-1 综合法和分析法双基限时训练 新人教版选修2-2

‎【名师一号】2014-2015学年高中数学 ‎2-2-1‎ 综合法和分析法双基限时训练 新人教版选修2-2‎ ‎1．在△ABC中，“·>‎0”‎是“△ABC为锐角三角形”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由A·A>0⇒∠A为锐角，而角B，C并不能判定，反之若△ABC为锐角三角形，一定有A·A>0.‎ 答案　B ‎2．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ可能是(　　)‎ A. B．－ C. D.π 解析　由题意知，sin(＋φ)＝±1，‎ ‎∴当φ＝时，sin(＋)＝sin＝1.‎ 答案　C ‎3．已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：‎ ‎①a∥b，b∥α，则a∥α；②a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β；③a⊥α，a∥β，则α⊥β；④a⊥α，b∥α，则a⊥b.其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析　①因为a∥b，b∥α⇒a∥α，或a⊂α，所以①不正确．‎ ‎②因为a，b⊂α，a∥β，b∥β，当a与b相交时，才能α∥β，所以②不正确．‎ ‎③a∥β，过a作一平面γ，设γ∩β＝c，则c∥a，又a⊥α⇒c⊥α⇒α⊥β，所以③正确．‎ ‎④a⊥α，b∥α⇒a⊥b，所以④正确．‎ 综上知③，④正确．‎ 答案　B ‎4．a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是(　　)‎ A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)(＋)≥4‎ C.≥a＋b D.≥ 解析　特殊值法，取a＝1，b＝4，则D不成立．‎ 答案　D ‎5．设a>0，b>0，若是‎3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)‎ A．8 B．4‎ C．1 D. 解析　∵a>0，b>0,‎3a·3b＝()2，‎ ‎∴a＋b＝1，‎ ‎∴＋＝＋＝1＋＋＋1‎ ‎≥2＋2 ＝4.‎ 答案　B ‎6．p＝＋，q＝·，(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p与q的大小关系为________．‎ 解析　∵p2＝ab＋cd＋2，‎ q2＝(ma＋nc)(＋)‎ ‎＝ab＋＋＋cd ‎≥ab＋cd＋2.‎ ‎∴q2≥p2，∴p≤q.‎ 答案　p≤q ‎7．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．‎ 解析　∵x2＋mx＋4<0⇔m<－x－，‎ ‎∵y＝－(x＋)在(1,2)上单调递增，‎ ‎∴－(x＋)∈(－5，－4)，‎ ‎∴m≤－5.‎ 答案　m≤－5‎ ‎8．若不等式(－1)na<2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　当n为偶数时，a<2－≤2－＝；当n为奇数时，－a<2＋，a>－2－，而－2－<－2，∴a≥－2.综上知－2≤a<.‎ 答案　 ‎9．求证：ac＋bd≤ ·.‎ 证明　(1) 当ac＋bd<0时，‎ ac＋bd≤·显然成立．‎ ‎(2) 当ac＋bd≥0时，‎ 要证ac＋bd≤·成立，‎ 只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)成立，‎ 只需证2abcd≤a2d2＋b‎2c2，‎ 只需证(ad－bc)2≥0成立．‎ 而(ad－bc)2≥0显然成立．‎ ‎∴ac＋bd≤·成立．‎ 综上所述ac＋bd≤·成立．‎ ‎10．在△ABC中，若a2＝b(b＋c)，求证：A＝2B.‎ 证明　∵a2＝b(b＋c)，‎ ‎∴a2＝b2＋bc.‎ 由余弦定理得 cosA＝＝ ‎＝.‎ 又∵cos2B＝2cos2B－1＝2()2－1‎ ‎＝2()2－1＝ ‎＝＝，‎ ‎∴cosA＝cos2B.‎ 又∵A，B是三角形的内角，‎ ‎∴A＝2B.‎ ‎11．如下图，在直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，E，F分别是A1B，A‎1C的中点，点D在B‎1C1上，A1D⊥B‎1C.求证：‎ ‎(1)EF∥平面ABC；‎ ‎(2)平面A1FD⊥平面BB‎1C1C.‎ 证明　(1)由E，F分别是A1B，A‎1C的中点知，EF∥BC，‎ ‎∵EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ ‎∴EF∥平面ABC.‎ ‎(2)由三棱柱ABC—A1B‎1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B‎1C1，又A1D⊂平面A1B‎1C1，‎ ‎∴A1D⊥CC1，又A1D⊥B‎1C，‎ CC1∩B‎1C＝C，又CC1，B‎1C⊂平面BB‎1C1C，∴A1D⊥平面BB‎1C1C，又A1D⊂平面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BB‎1C1C.‎ ‎12．如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A在椭圆上，满足AF2⊥F‎1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF2|.‎ 求证：a＝b.‎ 证明　设F1(－c,0)，F2(c,0)，则|OF2|＝c.设A(x0，y0)，‎ ‎∵AF2⊥F‎1F2，∴x0＝c.‎ ‎∵点A(x0，y0)在椭圆上，‎ ‎∴＋＝1.解得y0＝±.‎ ‎∴|AF2|＝.由椭圆的定义，得|AF1|＝‎2a－|AF2|＝‎2a－＝.‎ 在Rt△AF‎2F1中，O是F‎1F2的中点，‎ ‎∴O到AF1的距离为d＝·＝·＝＝|OF2|＝c.‎ ‎∴3b2＝‎2a2－b2，即a2＝2b2.∴a＝b.‎