黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期第三次调研数学（理）试题

黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期第三次调研数学（理）试题

哈六中2019-2020学年度上学期 高三学年第三次调研考试理科数学试卷 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.已知两个集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合、，然后利用交集的定义求出集合.‎ ‎【详解】由题意得，‎ ‎，因此，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了对数函数定义域与一次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.已知，若复数为纯虚数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后得出该复数的实部为零，虚部不为零，可求出实数的值.‎ ‎【详解】，‎ 由于复数为纯虚数，则，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用复数的概念求参数，同时也考查了复数的除法运算，解题时要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知直线、，平面、，给出下列命题：‎ ‎①若，，且，则 ②若，，且，则 ‎③若，，且，则 ④若，，且，则 其中正确的命题是（ ）‎ A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ①‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间线面关系、面面关系对各命题的正误进行判断，即可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于命题①，若，，且，则，该命题正确；‎ 对于命题②，若，，且，则与平行或相交，命题②错误；‎ 对于命题③，若，，且，则与平行、垂直或斜交，命题③错误；‎ 对于命题④，，过直线作平面，使得，则，，，‎ ‎，，，则，命题④错误.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查有关线面、面面关系命题真假的判断，可以根据空间中的线面关系、面面关系有关定理或者利用模型来进行判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎4.如果实数、，满足条件，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组所表示的可行域，平移直线，利用直线在轴上的截距最大，找出目标函数取得最大值时的最优解，代入目标函数计算即可.‎ ‎【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：‎ 联立，得，得点，‎ 平移直线，可知，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.‎ 因此，的最大值为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划问题，一般利用数形结合思想并通过线性目标函数在坐标轴上截距的最值来找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎5.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且离心率为，则该双曲线的实轴的长为(　　 )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出焦点到渐近线的距离为，再结合双曲线的离心率得出的值，即可得出该双曲线的实轴长.‎ ‎【详解】设双曲线的焦距为，‎ 双曲线的右焦点到渐近线的距离为，‎ 该双曲线的离心率为，解得，‎ 因此，双曲线的实轴长为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线实轴长的计算，同时也考查了双曲线的渐近线方程与离心率，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）‎ A. 岁 B. 岁 C. 岁 D. 岁 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得到数列是等差数列，由，求得数列的首项，即可得到答案．‎ ‎【详解】设这位公公的第个儿子的年龄为，‎ 由题可知是等差数列，设公差为，则，‎ 又由，即，解得，‎ 即这位公公的长儿的年龄为岁．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎7.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形的边长为，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器的表面积的最小值为，则正四棱柱的高为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出球形容器的半径为的值，设正四棱柱的高为，由题意可知，当球形容器为底面边长分别为、，高为的直四棱柱的外接球时，球形容器的表面积最小，根据长方体的体对角线长为外接球直径可求出的值.‎ ‎【详解】设正四棱柱的高为，设球形容器的半径为，则，得.‎ 由题意可知，当球形容器为底面边长分别为、，高为的直四棱柱的外接球时，球形容器的表面积最小，‎ 所以，，解得.‎ 因此，正四棱柱的高为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查长方体的外接球问题，理解长方体的体对角长是其外接球的直径是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8.函数的部分图象大致是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当时，，所以去掉A,B;‎ 因为，所以，因此去掉C，选D.‎ 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．‎ ‎9.已知将函数向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数图象变换规律，三角函数的图象的对称性，可得＝kπ，k∈Z，，求得ω的值，可得函数f（x）的解析式．‎ ‎【详解】将函数向右平移个单位长度后，可得y＝cos（ωx）的图象，根据所得图象关于y轴对称，可得＝kπ，k∈Z．‎ 再根据，可得cos，∴，‎ ‎∴kπ，∴ω＝12k+3，则当ω＝3取最小值时，函数f（x）的解析式为f（x）＝cos（3x），‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题．‎ ‎10.若，，，则、、的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较、与零的大小关系，可得出，，再比较与的大小关系，从而可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】对数函数在上为增函数，则.‎ 对数函数在上为增函数，则.‎ ‎，，‎ 因此，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查对数式的大小比较，一般利用对数函数的单调性结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎11.为圆上的一个动点，平面内动点满足且 (为坐标原点)，则动点运动的区域面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，然后过点作圆的切线，可得出，利用锐角三角函数得出，可得出，由题意得出动点运动的区域为两个圆心角为的弓形，计算出两个弓形的面积之和即可得出答案.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 过点作圆的切线，连接、，则，，‎ 且，由锐角三角函数定义得，‎ ‎，过点作圆的切线交圆于、两点，‎ 则点的轨迹为图中阴影部分所表示的区域，为两个弓形，‎ ‎，则，为等边三角形，则，‎ 因此，动点运动的区域的面积为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查动点运动区域面积的计算，解题的关键就是确定动点的轨迹区域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎12.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若方程 有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出函数是周期为的周期函数，可得出方程在区间上有个不同的实根，令，利用导数分析函数在区间的单调性和极值，作出函数在区间上的图象，设方程的两根分别为、，可得出，，然后利用二次函数零点分布列出关于实数不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】，所以，函数是以为周期的周期函数，‎ 由于，且方程 有个不同的实数根，‎ 则方程 在区间上有个零点.‎ 令，则方程为，‎ 当时，，则.‎ 令，得；令，得.‎ 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 且，，，‎ 作出函数在区间上的图象如下图所示：‎ 设关于的方程的两根分别为、，‎ 可得出，，设，‎ 则函数在区间和各有一个零点，所以，‎ 解得，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数的取值范围，将问题转化为函数在一个周期内的零点个数是解题的关键，考查数形结合思想应用，属于难题.‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角的基本关系式，可得，代入所求，结合辅助角公式，即可求解．‎ ‎【详解】因为，，所以，‎ 所以，故答案为 ‎【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础题 ‎14.若直线把圆分成面积相等的两部分，则取得最小值时,的值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，直线过圆心，可得出，然后将代数式和相乘，利用基本不等式求出的最小值，并利用等号成立的条件求出的值.‎ ‎【详解】圆的圆心坐标为，‎ 由题意可知，直线过圆心，则，‎ 得，‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当，即当时，等号成立，因此，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式等号成立求参数的值，解题时要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15.已知向量、满足，，，则、的夹角余弦值等于_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设、的夹角为，计算出的值，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求出的值.‎ ‎【详解】设、的夹角为，，，‎ 在等式两边平方得，即，‎ 即，解得.‎ 因此，、的夹角余弦值等于.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用平面向量的模计算向量夹角的余弦值，一般在求解时要将向量模的等式两边平方，结合平面向量数量积的运算律和定义进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎16.已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆外一点满足，且，线段、分别交椭圆于点、，若，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，由题意得出为线段的中点，可得出，且有，并计算出点 的坐标，即可得出的值.‎ ‎【详解】如下图所示，设椭圆的焦距为，则，‎ ‎，为的中点，‎ ‎，且，由椭圆的定义得，，‎ 由勾股定理得，即，可得，则，‎ 椭圆的标准方程为，设点的坐标为，则，，‎ 则，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆中线段长度的比值问题，解题时要确定、、的等量关系，并求出相关点的坐标，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令求出的值，然后由，得出，然后检验是否符合在时的表达式，即可得出数列的通项公式，并设数列的公比为，根据题意列出和的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出；‎ ‎（2）求出数列的前项和，然后利用分组求和法可求出.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 当时，.‎ 也适合上式，所以，.‎ 设数列的公比为，则，由，‎ 两式相除得，，解得，，；‎ ‎（2）设数列的前项和为，则，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查利用求，同时也考查了等比数列通项的计算，以及分组求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎18.在直三棱柱中，为正三角形，点在棱上，且，点、分别为棱、的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，连接分别交、于点、，再连接，证明出，结合条件可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；‎ ‎（2）取的中点，连接、，证明出平面，且，设等边三角形的边长为，并设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由得出的值，并计算出平面的法向量，利用空间向量法求出直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）如下图所示，连接，连接分别交、于点、，再连接，‎ ‎、分别为、的中点，则，，则为的中点，‎ 在直三棱柱中，，则四边形为平行四边形，‎ ‎，为的中点，，，‎ ‎，，‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）取的中点，连接、，‎ 四边形为平行四边形，则，‎ ‎、分别为、的中点，，所以，四边形是平行四边形，‎ ‎，在直三棱柱中，平面，平面，‎ 是等边三角形，且点是中点，，‎ 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 设的边长为，，则点、、、、、、，，，‎ ‎，则，得，‎ ‎，，.‎ 设平面的法向量为，由，得.‎ 令，可得，，所以，平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ 因此，直线与平面所成的角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，一般建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎19.在中，，.‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）若，是边上一点，且的面积为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用边角互化思想得出，利用两角和的正弦公式展开可得出，可求得，再由，展开后得出的值，求出的值，最后利用三角形的内角和定理可求出的值；‎ ‎（2）利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值，利用正弦定理求出的值，再利用诱导公式可求出的值.‎ ‎【详解】（1），，‎ 即，，‎ ‎，，得，，，‎ ‎，‎ 整理得，，，，则；‎ ‎（2）如下图所示：‎ 的面积为，，‎ 在中，由余弦定理得，，‎ 由正弦定理，得，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了利用余弦定理和正弦定理解三角形，在解题时要结合三角形已知元素类型选择正弦定理和余弦定理来解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，且椭圆过点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线过椭圆的左顶点，且与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆的焦距为，由椭圆的离心率得出，进而得出，可将椭圆的标准方程化为，将点的坐标代入椭圆的标准方程，求出 的值，可得出与的值，由此可得出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）由题意得知直线与轴不重合且不垂直于轴，可设直线的方程为，并将该直线方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，可求出直线的方程，并根据求出直线的方程，再将直线和的方程联立，求出交点的坐标，再将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出直线的方程.‎ ‎【详解】（1）设椭圆的焦距为，‎ 由于椭圆的离心率为，，，‎ 则椭圆的标准方程为，‎ 将点的坐标代入椭圆的标准方程得，‎ 得，，，因此，椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）由题意可知，直线与轴不重合与不垂直于轴，‎ 设直线的方程为，设点，则，‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得，，‎ 解得，，则点.‎ 直线的斜率为，所以，直线的方程为，‎ ‎，直线的斜率为，所以，直线的方程为，‎ 联立直线和的方程，解得，则点，‎ 将点的坐标代入椭圆的方程，得，‎ 整理得，即，解得，‎ 因此，直线的方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线与椭圆的综合问题，一般将直线方程与椭圆方程联立，求出相关点的坐标，同时也要注意根据一些点在椭圆上，其坐标满足椭圆方程，来列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.已知在处的切线是轴.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得出，可求出实数的值，可得出函数的解析式，然后利用导数求出函数的单调递增区间和单调递减区间；‎ ‎（2）先证明出当时，，由得出，构造函数，可知该函数 在区间上单调递增，由得出对任意的恒成立，由此可求出实数的取值范围.‎ 详解】（1），，由题意可得，‎ 解得，，定义域为，则.‎ 令，即，得，解得；‎ 令，即，得，解得.‎ 因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ ‎（2）构造函数，其中，则，‎ 则函数在区间上单调递增，当时，.‎ 所以，当时，.‎ 由，得，‎ 即，构造函数，‎ 则，，则，，‎ 所以，函数在区间上为增函数，‎ 则对任意的恒成立，.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了利用切线方程求参数的值、利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，本题巧妙地利用构造新函数，转化为新函数在区间上的单调性，并借助导数求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于点，将射线 绕极点逆时针方向旋转交曲线于点.‎ ‎（1）求曲线的参数方程；‎ ‎（2）求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（为参数）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据伸缩变换结合曲线的参数方程可得出曲线的参数方程；‎ ‎（2）将曲线的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点的极坐标为，点的极坐标为，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程，得出和关于的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出面积的最大值．‎ ‎【详解】（1）由于曲线的参数方程为（为参数），‎ 将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，‎ 则曲线的参数方程为（为参数）；‎ ‎（2）将曲线的参数方程化为普通方程得，‎ 化为极坐标方程得，即，‎ 设点的极坐标为，点的极坐标为，‎ 将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得，，‎ 的面积为，‎ 当时，的面积取到最大值.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程互化，考查了伸缩变换，同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题，要熟悉极坐标方程所适用的基本类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎23..已知函数.‎ ‎（1）当，时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，且函数的最小值为，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将，代入不等式，得出，利用绝对值的几何意义解出该不等式即可；‎ ‎（2）将函数的解析式表示为分段函数，分段各支函数的单调性，结合函数的最小值为，可求出的值.‎ ‎【详解】（1）当，时，，由，‎ 即，得，即或，解得或.‎ 此时，不等式的解集为；‎ ‎（2），，则.‎ 当时，，‎ 此时，函数单调递减，则；‎ 当时，，‎ 此时，函数单调递增，则；‎ 当时，则，‎ 此时，函数单调递减，则，‎ 即.‎ 所以，，解得.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了利用绝对值函数的最值求参数的值，解题时要对绝对值函数采取去绝对值的方法，将函数表示为分段函数，并分析函数的单调性，利用函数单调性求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.‎