2020届湖南师大属中高三上学期第二次月考数学（文）试题

2020届湖南师大属中高三上学期第二次月考数学（文）试题

‎2020届湖南师大属中高三上学期第二次月考 数学（文）试题 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。时量120分钟。满分150分。‎ 得分：______________‎ 第Ⅰ卷 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A＝，B＝，则∁AB＝(B)‎ A. B．{x|2≤x<5}‎ C. D. ‎2．下列结论错误的是(C)‎ A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝‎4”‎的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠‎‎0”‎ B．“x＝‎4”‎是“x2－3x－4＝‎0”‎的充分条件 C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题 D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝‎0”‎的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠‎‎0”‎ ‎3．用二分法求函数f＝ln＋x－1在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(C)‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ ‎∵精确度为0.01，∴<0.01，又n∈N*，∴n≥7，故所需二分区间的次数最少为7.选C.‎ ‎4. △ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝6，b＝8，则c＝(A)‎ A．4－2 或4＋2 B．4－2‎ C．4＋2 D．4‎ ‎5．已知表示的平面区域为D，若∀(x，y)∈D，2x＋y≤a为真命题，则实数a的取值范围是(A)‎ A．[5，＋∞) B．[2，＋∞) C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)‎ ‎6．已知点(1，－2)和在直线l：ax－y－1＝0(a≠0)的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是(C)‎ A. B. C.∪ D. ‎7．已知数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于(D)‎ A．2n－1 B．n2‎ C. D. ‎【解析】设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，‎ 当n≥2时，an＝＝.故选D.‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(D)‎ A．2＋4 B．4＋4 C．8＋2 D．6＋2 ‎9．已知函数f(x)＝－ax，x∈(0，＋∞)，当x2>x1时，不等式－<0恒成立，则实数a的取值范围为(D)‎ A．(－∞，e] B. C. D. ‎10．如图所示，在 直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD ＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为(B)‎ A．5 B.＋ C. D. ‎11．定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)＝f(x)，且在区间[－3，－2]上是减函数，若A，B是锐角三角形的两个内角，则(A)‎ A．f(sin A)＞f(cos B) B．f(sin A)＜f(cos B)‎ C．f(sin A)＞f(sin B) D．f(cos A)＞f(cos B)‎ ‎12．定义：对于函数y＝f(x)，x∈D.若存在常数c，对于任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得＝c，则称函数f(x)在D上的“均值”为c.若f(x)＝lg x，x∈[，100]，则函数f(x)＝lg x在[，100]上的“均值”为(C)‎ A. B. C. D．10‎ ‎【解析】假设存在常数c，对于任意x1∈[，100]，存在唯一x2∈[，100]，‎ 使得＝c，即x1x2＝‎102c，则x2＝.‎ 故当x1∈[， 100]时，x2∈，又x2∈[，100]，‎ ‎∴从而‎102c＝100，即‎102c＝10 ，‎ ‎∴c＝.故选C.‎ 题　号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答　案 B C C A A C D D D B A C 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．‎ ‎13．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋<____．‎ ‎14．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝____．‎ ‎【解析】在等差数列中，＝＝＝，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴＝＝＝. ‎ ‎15．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：‎ ‎①MO∥平面PAC；‎ ‎②PA∥平面MOB；‎ ‎③OC⊥平面PAC；‎ ‎④平面PAC⊥平面PBC.‎ 其中正确的命题的序号是__①④__．‎ ‎【解析】①因为MO∥PA，MO⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以MO∥平面PAC，①正确；‎ ‎②因为PA在平面MOB内，所以②错误；‎ ‎③因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC.‎ 又BC⊥AC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.‎ 因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以OC⊥平面PAC不成立，③错误；‎ ‎④由③知BC⊥平面PAC，且BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.‎ 正确命题的序号是①④.‎ ‎16．已知关于x的方程xln x－a(x2－x)＝0在上有两个实数根，则a的取值范围是__(0，1)∪(1，2ln__2)__．‎ ‎【解析】当x＝1时，方程等价为ln 1－a(1－1)＝0，即x＝1是方程的一个根，‎ 方程xln x－a(x2－x)＝0在上有两个实数根等价于函数g(x)＝ln x与h(x)＝a(x－1)在上有两个交点，显然(1，0)为一个交点，结合g(x)与h(x)的图象，‎ h(x)＝a(x－1)经过点时，a＝2ln 2.‎ h(x)＝a(x－1)与g(x)＝ln x相切时，a＝1，‎ 故当a∈(0，1)∪(1，2ln 2)时，有两个交点．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 喜好体育运动 不喜好体育运动 男生 ‎ ‎ ‎5 ‎ 女生 ‎10 ‎ ‎ ‎ 已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6.‎ ‎(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整；‎ ‎(Ⅱ)能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；‎ ‎(Ⅲ)在上述喜好体育运动的6人中随机抽取两人，求恰好抽到一男一女的概率．‎ 参考公式：K2＝(n＝a＋b＋c＋d)．‎ 独立性检验临界值表：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【解析】(Ⅰ)喜好体育运动的人数为：50×＝30，列联表补充如下：‎ 喜好体育运动 不喜好体育运动 男生 ‎20‎ ‎5‎ 女生 ‎10‎ ‎15‎ ‎(2分)‎ ‎(Ⅱ)∵K2＝≈8.333>6.635.‎ ‎∴可以在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关．(7分)‎ ‎(Ⅲ)6人中有男生4人，设为A1，A2，A3，A4，女生2人，设为B1，B2，‎ 随机抽取两人所有的情况为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2), 共15种．‎ 其中一男一女包含8种情况，故概率为P＝.(12分)‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知数列{an}是公比为3的等比数列，且a2，a3＋6，a4成等差数列．‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)记bn＝an＋log3an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意可得2＝a2＋a4，‎ 即2＝‎3a1＋‎27a1，解得：a1＝1.(3分)‎ ‎∴数列的通项公式为an＝3n－1.(5分)‎ ‎(Ⅱ)bn＝an＋log3an＋1＝3n－1＋n.(7分)‎ Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋ ‎＝＋＝＋.(12分)‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图，三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧面BB‎1C1C为菱形，B‎1C的中点为O，且AO⊥平面BB‎1C1C.‎ ‎(Ⅰ)证明：B‎1C⊥AB；‎ ‎(Ⅱ)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求B1到平面ABC的距离．‎ ‎【解析】(Ⅰ)证明：连接BC1，则O为B‎1C与BC1的交点，‎ ‎∵侧面BB‎1C1C为菱形，‎ ‎∴BC1⊥B‎1C，(2分)‎ ‎∵AO⊥平面BB‎1C1C，‎ ‎∴AO⊥B‎1C，(4分)‎ ‎∵AO∩BC1＝O，‎ ‎∴B‎1C⊥平面ABO，‎ ‎∵AB⊂平面ABO，‎ ‎∴B‎1C⊥AB.(6分)‎ ‎(Ⅱ)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，‎ ‎∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD＝O，‎ ‎∴BC⊥平面AOD，‎ ‎∴OH⊥BC，‎ ‎∵OH⊥AD，BC∩AD＝D，‎ ‎∴OH⊥平面ABC.(8分)‎ ‎∵∠CBB1＝60°，‎ ‎∴△CBB1为等边三角形，‎ ‎∵BC＝1，∴OD＝，‎ ‎∵AC⊥AB1，∴OA＝B‎1C＝，‎ ‎∴AD＝＝，由OH·AD＝OD·OA，∴OH＝，‎ ‎∵O为B‎1C的中点，‎ ‎∴B1到平面ABC的距离为.(12分)‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，焦距为2，点(2，1)在该椭圆上．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ)直线x＝2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x ‎＝2两侧的动点．当点A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，‎ 所以设椭圆方程为＋＝1，‎ 因为焦距为2，所以c＝，‎ 设焦点坐标F1 ，F2，‎ 又因为点在该椭圆上，代入椭圆方程得＋＝1 ，即＋＝1，‎ 解得a2＝8，所以b2＝2，‎ 则椭圆C的方程为＋＝1.(4分)‎ ‎(Ⅱ)将x＝2代入椭圆方程可得＋＝1，解得y＝±1，‎ 则P，Q.‎ 当点A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，则直线PA与直线PB的斜率互为相反数，‎ 不妨设kPA＝k>0，则kPB＝－k(k≠0)，(6分)‎ 所以直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，‎ 联立解得x2＋x＋16k2－16k－4＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 因为2，x1是该方程的两根，‎ 所以2x1＝，即x1＝，(8分)‎ 同理直线PB的方程为y＝－kx＋2k＋1，且x2＝，‎ 所以x1＋x2＝，x1－x2＝－，‎ 所以kAB＝＝＝，‎ 即直线AB的斜率为定值.(12分)‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝mln x－x2(m∈R，m>0)．‎ ‎(Ⅰ)若m＝2，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)若y＝f(x)在[，e]上有零点，求m的取值范围．‎ ‎【解析】(Ⅰ)m＝2时，f＝－，f′＝－x，‎ ‎∴f′＝1.故所求切线方程为y＋＝x－1，即2x－2y－3＝0.(4分)‎ ‎(Ⅱ)依题意f′＝－x＝，‎ ‎①当00，此时函数y＝f(x)无零点)．(8分)‎ ‎③当e0，f(x)单调递增，‎ 若x∈(，e]，f′(x)<0，f单调递减，‎ 由m>e时，f()＝>0.‎ 故只需f(e)≤0，即m－e2≤0，又e≤，‎ 故此时e0，t2>0，‎ 由参数t的几何意义可知，＝，＝，‎ 所以＋＝＋＝＋ ＝＝.(10分)‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4—5: 不等式选讲 已知函数f(x)＝＋.‎ ‎(Ⅰ)若f(x)的最小值为3，求实数a的值；‎ ‎(Ⅱ)若a＝2时，不等式f(x)≤4的解集为A，当m，n∈A时，求证：≥2.‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为f＝＋≥ ＝，‎ 当且仅当≤0时取“＝”号，‎ 所以＝3，解得a＝1或－5.(5分)‎ ‎(Ⅱ)当a＝2时，f＝＋＝ 当x<－2时，由f≤4，得－2x≤4，解得x≥－2，又x<－2，所以不等式无实数解；‎ 当－2≤x<2时，f≤4恒成立，所以－2≤x<2；‎ 当x≥2时，由f≤4，得2x≤4，解得x＝2；‎ 所以f≤4的解集为A＝{x|－2≤x≤2}．‎ －4＝－4 ‎＝m2n2＋16－‎4m2‎－4n2＝＋ ＝.‎ 因为m，n∈，所以≤0，≤0，所以－4≥0，‎ 即≥4，所以≥2.(10分)‎