2017-2018学年湖北省荆州中学高二上学期第一次月考数学试题（理科）（解析版)

2017-2018学年湖北省荆州中学高二上学期第一次月考数学试题（理科）（解析版)

‎2017-2018学年湖北省荆州中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）直线xsin+ycos=0的倾斜角α是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（　　）‎ A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 ‎3．（5分）某数列{an}的前四项为，则以下各式 ‎①②③‎ 其中可作为{an}的通项公式的是（　　）‎ A．①②③ B．①② C．②③ D．①‎ ‎4．（5分）方程（1+4k）x﹣（2﹣2k）y+（2﹣14k）=0表示的直线必经过点（　　）‎ A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（，） D．（，）‎ ‎5．（5分）如图是一个老人散步时离家的距离y与时间x之间的函数图象，若用黑点代表该老人的家，其行走的路线可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）已知平面内两点A（1，2），B（3，1）到直线l的距离分别，‎ ‎+，则满足条件的直线l的条数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎8．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（　　）‎ A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）‎ C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）‎ ‎9．（5分）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（　　）‎ A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 ‎10．（5分）过点M（4，0）作圆x2+y2=4的两条切线MA，MB，A，B为切点，则•=（　　）‎ A．6 B．﹣6 C．10 D．6‎ ‎11．（5分）若直线+=1通过点M（cosα，sinα），则（　　）‎ A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．+≤1 D．+≥1‎ ‎12．（5分）对于各项均为整数的数列{an}，如果ai+i（i=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{an}具有“P性质”，如果数列{an}不具有“P性质”，只要存在与{an}不是同一数列的{bn}，且{bn}同时满足下面两个条件：①b1，b2，b3，…bn是a1，a2，a3，…，an的一个排列；②数列{bn}具有“P性质”，则称数列{an}‎ 具有“变换P性质”，下面三个数列：①数列1，2，3，4，5；②数列1，2，3，…，11，12；③数列{an}的前n项和为Sn=（n2﹣1）．其中具有“P性质”或“变换P性质”的有（　　）‎ A．③ B．①③ C．①② D．①②③‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）=，若f（x）=3，则x=　 　．‎ ‎14．（5分）若直线l1：x+（m+1）y+（m﹣2）=0与直线l2：mx+2y+8=0平行，则m=　 　．‎ ‎15．（5分）已知定点A（3，1），动点M和点N分别在直线y=x和y=0上运动，则△AMN的周长的最小值为　 　．‎ ‎16．（5分）对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n=m+n；而当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n=m×n．例如4⊕6=4+6=10，3⊕7=3+7=10，3⊕4=3×4=12．在上述定义中，集合M={（a，b）|a⊕b=12，a，b∈N*}的元素有　 　个．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（12分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．‎ ‎（1）求f（x）的最大值，以及该函数取最大值时x的取值集合；‎ ‎（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，且，求角C．‎ ‎18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列{bn}的前100项和．‎ ‎19．（12分）已知定点A（0，﹣4），点P圆x2+y2=4上的动点．‎ ‎（1）求AP的中点C的轨迹方程；‎ ‎（2）若过定点的直线l与C的轨迹交于M，N两点，且，求直线l的方程．‎ ‎20．（12分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．‎ ‎（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中•h来估算．已知V=（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．‎ ‎21．（12分）已知m∈R且m≠0，直线：（m2+1）x﹣2my﹣4m=0，圆C：x2+y2﹣8x+4y﹣16=0．‎ ‎（Ⅰ）若，请判断直线与圆C的位置关系；‎ ‎（Ⅱ）求直线倾斜角α的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）直线能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？‎ ‎22．（10分）求过两直线x﹣2y+3=0和x+y﹣3=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程．‎ ‎（Ⅰ）和直线x+3y﹣1=0垂直；‎ ‎（Ⅱ）在y轴的截距是在x轴上的截距的2倍．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年湖北省荆州中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）直线xsin+ycos=0的倾斜角α是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可得：tanα=，利用诱导公式化简即可得出．‎ ‎【解答】解：tanα==tan，α∈[0，π），可得α=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（　　）‎ A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 ‎【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．‎ ‎【解答】解：f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x，‎ ‎∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），‎ 即函数f（x）为奇函数，‎ 又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，‎ 故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）某数列{an}的前四项为，则以下各式 ‎①②③‎ 其中可作为{an}的通项公式的是（　　）‎ A．①②③ B．①② C．②③ D．①‎ ‎【分析】经过验证可即可得出．‎ ‎【解答】解：经过验证可得：①②③都可作为{an}的通项公式．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）方程（1+4k）x﹣（2﹣2k）y+（2﹣14k）=0表示的直线必经过点（　　）‎ A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（，） D．（，）‎ ‎【分析】根据题意，将直线变形为（x﹣2y+2）+k（4x+2y﹣14）=0，求出直线x﹣2y+2=0与4x+2y﹣14=0的交点，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，方程（1+4k）x﹣（2﹣2k）y+（2﹣14k）=0可以变形为（x﹣2y+2）+k（4x+2y﹣14）=0，‎ 又由，解可得，‎ 即直线必经过点（，）；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查直线过定点问题，关键是将直线的方程变形为（x+2y+2）+k（4x+2y﹣14）=0的形式．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）如图是一个老人散步时离家的距离y与时间x之间的函数图象，若用黑点代表该老人的家，其行走的路线可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】分析图象，可知该图象是路程与时间的关系，先离家逐渐变远，然后距离不变，在逐渐渐近．‎ ‎【解答】解：通过分析图象和题意可知，行走规律是：离家逐渐远去，离家距离不变，离家距离逐渐近，所以老人散步行走的路线可能是D 故选D．‎ ‎【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知平面内两点A（1，2），B（3，1）到直线l的距离分别，+，则满足条件的直线l的条数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】由点A（1，2），B（3，1），易得AB=，以点A为圆心，半径为的圆，与以点B为圆心，半径为的圆相内切，即可得出．‎ ‎【解答】解：由点A（1，2），B（3，1），易得AB=，以点A为圆心，半径为的圆，与以点B为圆心，半径为的圆相内切，‎ 则这两个圆共有的切线有1条（即1条外公切线）．‎ ‎∴满足条件的直线l的条数为1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了两个圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【分析】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，结合三视图的数据，利用体积公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，‎ 四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，‎ 四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，‎ ‎∴四棱锥的体积是．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出所给的几何体的形状和长度，熟练应用体积公式，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（　　）‎ A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）‎ C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）‎ ‎【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．‎ ‎【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，‎ ‎∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离d==1，‎ 整理得：m+n+1=mn≤，‎ 设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，‎ ‎∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，‎ ‎∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，‎ 解得：x≥2+2或x≤2﹣2，‎ 则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．‎ 故选D ‎【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（　　）‎ A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 ‎【分析】‎ 先由直线方程求出两直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．‎ ‎【解答】解：两直线的斜率分别为和 ，‎ ‎△ABC中，由正弦定理得=2R，R为三角形的外接圆半径，‎ ‎∴斜率之积等于，故两直线垂直，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查由直线方程求出两直线的斜率，正弦定理得应用，两直线垂直的条件．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）过点M（4，0）作圆x2+y2=4的两条切线MA，MB，A，B为切点，则•=（　　）‎ A．6 B．﹣6 C．10 D．6‎ ‎【分析】利用直线和圆相切的性质，直角三角形中的边角关系，求得MA=MB的值，以及∠AMB的值，再利用两个向量的数量积的定义，求得•=||•||•cos的值．‎ ‎【解答】解：过点M（4，0）作圆x2+y2=4的两条切线MA，MB，A，B为切点，MA=MB==2．‎ 由于圆的半径为2，原点为圆心，‎ 在Rt△OMA中，sin∠OMA==，‎ ‎∴∠OMA=，‎ 同理可得，∠OMB=，‎ ‎∴∠AMB=+‎ ‎=，‎ 则•=||•||•cos=2•2•‎ ‎=6，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，直角三角形中的边角关系，两个向量的数量积的定义，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）若直线+=1通过点M（cosα，sinα），则（　　）‎ A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．+≤1 D．+≥1‎ ‎【分析】由题意可得（bcosα+asinα）2=a2b2，再利用 （bcosα+asinα）2≤（a2+b2）•（cos2α+sin2α），化简可得答案．‎ ‎【解答】解：若直线+=1通过点M（cosα，sinα），则+，‎ ‎∴bcosα+asinα=ab，∴（bcosα+asinα）2=a2b2．‎ ‎∵（bcosα+asinα）2≤（a2+b2）•（cos2α+sin2α）=（a2+b2），‎ ‎∴a2b2≤（a2+b2），∴≥1，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查恒过定点的直线，不等式性质的应用，利用 （bcosα+asinα）2≤（a2+b2）•（cos2α+sin2α），是解题的难点．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）对于各项均为整数的数列{an}，如果ai+i（i=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{an}具有“P性质”，如果数列{an}不具有“P性质”，只要存在与{an}不是同一数列的{bn}，且{bn}同时满足下面两个条件：①b1，b2，b3，…bn是a1，a2，a3，…，an的一个排列；②数列{bn}具有“P性质”，则称数列{an}‎ 具有“变换P性质”，下面三个数列：①数列1，2，3，4，5；②数列1，2，3，…，11，12；③数列{an}的前n项和为Sn=（n2﹣1）．其中具有“P性质”或“变换P性质”的有（　　）‎ A．③ B．①③ C．①② D．①②③‎ ‎【分析】对于①，数列1，2，3，4，5，具有“变换P性质”，数列{bn}为3，2，1，5，4，具有“P性质”；‎ 对于②，因为1，2，3配3，2，1，4.12配12.4，前三个和都是4，后面的和都是16，所以1，2，3，…，11，12具有“变换P性质”；‎ 对于③，求出数列{an}的通项，验证ai+i=i2（i=1，2，3，…）为完全平方数，可得结论 ‎【解答】解：对于①，数列1，2，3，4，5，具有“变换P性质”，数列{bn}为3，2，1，5，4，具有“P性质”，‎ ‎∴数列{an}具有“变换P性质”；‎ 对于②，1，2，3配3，2，1，4.12配12.4，前三个和都是4，后面的和都是16，‎ ‎∴1，2，3，…，11，12，具有“变换P性质”．‎ 对于③，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣n ‎∵a1=0，∴an=n2﹣n．‎ ‎∴ai+i=i2（i=1，2，3，…）为完全平方数 ‎∴数列{an}具有“P性质”；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）=，若f（x）=3，则x=　1　．‎ ‎【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可求值．‎ ‎【解答】解：由分段函数可知：‎ 若x≤1，由f（x）=3得3x=3，解得x=1．‎ 若x＞1，由f（x）=3得﹣x=3，解得x=﹣3，此时不成立．‎ 综上：x=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题主要考查分段函数的求值问题，直接代入即可，比较基础．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若直线l1：x+（m+1）y+（m﹣2）=0与直线l2：mx+2y+8=0平行，则m=　1　．‎ ‎【分析】由题意利用两条直线平行的条件，可得=≠，由此求得m的值．‎ ‎【解答】解：根据直线l1：x+（m+1）y+（m﹣2）=0与直线l2：mx+2y+8=0平行，故有m≠0，‎ 且满足=≠，求得m=1，‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题主要考查两条直线平行的条件，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知定点A（3，1），动点M和点N分别在直线y=x和y=0上运动，则△AMN的周长的最小值为　　．‎ ‎【分析】已知定点A（3，1），在直线y=x和y=0上分别求点M和点N，使△AMN的周长最短，并求出最短周长．‎ ‎【解答】解：如图，设点A关于y=x和y=0的对称点分别为B（1，3），C（3，﹣1），‎ 因为|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|，又|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|，‎ 所以周长的最小值是|BC|=2．‎ 又直线BC的方程为2x+y﹣5=0，所以M（，）．N（，0）．‎ 此时，△AMN的周长最短，且最短周长为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查三角形周长的最小值的求法，考查两点间距离公式等基础知识，才查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n=m+n；而当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n=m×n．例如4⊕6=4+6=10，3⊕7=3+7=10，3⊕4=3×4=12．在上述定义中，集合M={（a，b）|a⊕b=12，a，b∈N*}的元素有　15　个．‎ ‎【分析】由⊕的定义，a⊕b=12分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=12；a和b同奇偶，则a+b=12．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可．‎ ‎【解答】解：a⊕b=36，a、b∈N*，‎ 若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；‎ 若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，‎ 所以满足条件的个数为4+11=15个．‎ 故答案为：15‎ ‎【点评】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（12分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．‎ ‎（1）求f（x）的最大值，以及该函数取最大值时x的取值集合；‎ ‎（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，且，求角C．‎ ‎【分析】（1）利用二倍角公式与和角公式化简f（x），根据正弦函数的图象与性质得出答案；‎ ‎（2）根据f（A）=2求出A，利用正弦定理计算B，再求出C即可．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．‎ 令sin（2x+）=1，即2x+=+2kπ，解得x=kπ+，k∈Z时取等号．‎ ‎∴f（x）的最大值为2，该函数取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．‎ ‎（2）∵f（A）=2sin（2A+）=2，‎ ‎∴2A+=+2kπ，解得A=kπ+，k∈Z．‎ ‎∵a＜b，∴A为锐角，∴A=．‎ 由正弦定理可得：，即，‎ 解得sinB=，‎ ‎∴B=或．‎ ‎∴C=或．‎ ‎【点评】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，解三角形的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列{bn}的前100项和．‎ ‎【分析】（1）根据求和公式计算a1，从而得出公差，于是得出通项公式；‎ ‎（2）利用列项法求和．‎ ‎【解答】解：（1）∵S5==15‎ ‎∴a1=1，‎ ‎∴d==1，‎ ‎∴an=1+（n﹣1）=n．‎ ‎（2）bn==，‎ ‎∴数列{bn}的前100项和为：1﹣++…+=1﹣=．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的性质，列项法求和，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知定点A（0，﹣4），点P圆x2+y2=4上的动点．‎ ‎（1）求AP的中点C的轨迹方程；‎ ‎（2）若过定点的直线l与C的轨迹交于M，N两点，且，求直线l的方程．‎ ‎【分析】（1）设C（x，y），P（x0，y0），列出，消去参数x0，y0，即可得到C的轨迹方程．‎ ‎（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ‎，验证是否满足题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，利用圆心距，半径半弦长的关系，求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设C（x，y），P（x0，y0），由题意知：，…（4分）‎ 化简得x2+（y+2）2=1，‎ 故C的轨迹方程为x2+（y+2）2=1．…（6分）‎ ‎（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，满足条件；…（8分）‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，‎ 因为半径r=1，，故圆心到直线l的距离，‎ 由点到直线的距离公式得，解得，‎ 直线l的方程为，…（11分）‎ 故直线l的方程为或6x+8y+11=0．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．‎ ‎（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；‎ ‎（Ⅱ）在△‎ ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中•h来估算．已知V=（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）首先利用线面垂直、线面平行的性质及平行公理证出四边形DEFG的一组对边相互平行，然后由梯形中位线知识证明一组对边不相等，则可证明中截面DEFG是梯形；‎ ‎（Ⅱ）由题意可证得MN是中截面梯形DEFG的高，根据四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形，利用梯形的中位线公式吧DE，FG用d1，d2，d3表示，这样就能把V估用含有a，h，d1，d2，d3的代数式表示，把V=（d1+d2+d3）S与V估作差后利用d1，d2，d3的大小关系可以判断出差的符号，及能判断V估与V的大小关系．‎ ‎【解答】（Ⅰ）依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，‎ 所以A1A2∥B1B2∥C1C2，又A1A2=d1，B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．‎ 因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形．‎ 由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME，‎ 可得AA2∥ME，即A1A2∥DE．同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG．‎ 又M，N分别为AB，AC的中点，‎ 则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1 的中点，‎ 即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线．‎ 因此DE=，FG=，‎ 而d1＜d2＜d3，故DE＜FG，所以中截面DEFG是梯形；‎ ‎（Ⅱ）V估＜V．证明：‎ 由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN．‎ 而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN．‎ 由MN是△ABC的中位线，可得MN=BC=a，即为梯形DEFG的高，‎ 因此，‎ 即．又 S=ah，所以．‎ 于是=．‎ 由d1＜d20，d3﹣d1＞0，故V估＜V．‎ ‎【点评】本题考查直三棱柱的性质，体积，线面关系及空间想象能力，解答该题的关键是要有较强的空间想象能力，避免将各线面间的关系弄错，此题是中高档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知m∈R且m≠0，直线：（m2+1）x﹣2my﹣4m=0，圆C：x2+y2﹣8x+4y﹣16=0．‎ ‎（Ⅰ）若，请判断直线与圆C的位置关系；‎ ‎（Ⅱ）求直线倾斜角α的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）直线能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出圆C的圆心，半径，求出直线方程，通过圆心C（4，﹣2）到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆C相交．‎ ‎（Ⅱ）直线的方程可化为，求出斜率，求出斜率的范围，然后求解倾斜角的范围．‎ ‎（Ⅲ）求出直线恒过点（0，﹣2），设直线的方程为y=kx﹣2，其中|k|≥1，求出圆心C到直线的距离，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）圆C的圆心为C（4，﹣2），半径r=6．…（1分）‎ 若，直线：，即，‎ 则圆心C（4，﹣2）到直线的距离，‎ 所以直线与圆C相交．…（3分）‎ ‎（Ⅱ）直线的方程可化为，…（4分）‎ 直线的斜率，所以，当且仅当|m|=1时等号成立．‎ 所以斜率的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．…（6分）‎ 所以α的范围为…（7分）‎ ‎（Ⅲ）能．由（Ⅰ）知直线恒过点（0，﹣2），‎ 设直线的方程为y=kx﹣2，其中|k|≥1．…（8分）‎ 圆心C到直线的距离．‎ 由|k|≥1得，又r=6即．…（10分）‎ 若直线能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧，则圆心C到直线的距离，…（11分）‎ 因为，所以直线不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）求过两直线x﹣2y+3=0和x+y﹣3=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程．‎ ‎（Ⅰ）和直线x+3y﹣1=0垂直；‎ ‎（Ⅱ）在y轴的截距是在x轴上的截距的2倍．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出直线的交点坐标，根据点斜式方程求出直线l的方程即可；‎ ‎（Ⅱ）通过讨论讨论过原点和直线不过原点的情况，求出直线方程即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由可得两直线的交点为（1，2）‎ ‎∵直线l与直线x+3y﹣1=0垂直，∴直线l的斜率为3，‎ 则直线l的方程是：y﹣2=3（x﹣1），‎ 即：3x﹣y﹣1=0；‎ ‎（Ⅱ）当直线l过原点时，直线l的方程为2x﹣y=0，‎ 当直线l不过原点时，令l的方程为，‎ ‎∵直线l过（1，2），∴a=2，‎ 则直线l的方程为2x+y﹣4=0．‎ ‎【点评】本题考查了求直线方程问题，考查直线的点斜式方程和截距式方程，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．‎ ‎　‎