宁夏育才中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

宁夏育才中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

‎2019-2020学年宁夏育才中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 椭圆的焦点坐标是 A. B. C. D. ‎ 2. 双曲线的焦距是 A. 3 B. ‎6 ‎C. D. ‎ 3. 与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是 A. B. C. D. ‎ 4. 双曲线上一点到右焦点的距离是5，那么点P到左焦点的距离是 A. 5 B. ‎30 ‎C. 10 D. 15‎ 5. 已知的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是     ．‎ A. B. ‎6 ‎C. D. 12‎ 6. 已知命题p：对任意，总有；q：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 A. B. C. D. ‎ 7. 椭圆的焦点为，点P在椭圆上，如果线段的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是 A. B. C. D. ‎ 8. 已知命题p：，命题q：，则是的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线左支上有一点M到右焦点距离为18，N为中点，O为坐标原点，则等于 A. B. ‎1 ‎C. 2 D. 4‎ 10. 椭圆经过点，则最小值为 A. B. C. 28 D. 27‎ 11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为 A. B. C. D. ‎ 12. 椭圆上有一点P，，是椭圆的左、右焦点，为直角三角形，则这样的点P有 A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 命题“，”的否定是______ ．‎ 14. 直线被椭圆截得的弦长为______．‎ 15. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是______．‎ 16. 给定下列四个命题：其中为真命题的是______填上正确命题的序号 “”是“”的充分不必要条件； 若“”为真，则“”为真； 已知，则“”是“”的充分不必要条件 “若，则”的逆命题为真命题；‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 17. 求满足下列条件的曲线的方程： 离心率为，长轴长为6‎ ‎2019-2020学年宁夏育才中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 椭圆的焦点坐标是 A. B. C. D. ‎ 2. 双曲线的焦距是 A. 3 B. ‎6 ‎C. D. ‎ 3. 与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是 A. B. C. D. ‎ 4. 双曲线上一点到右焦点的距离是5，那么点P到左焦点的距离是 A. 5 B. ‎30 ‎C. 10 D. 15‎ 5. 已知的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是     ．‎ A. B. ‎6 ‎C. D. 12‎ 6. 已知命题p：对任意，总有；q：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 A. B. C. D. ‎ 7. 椭圆的焦点为，点P在椭圆上，如果线段的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是 A. B. C. D. ‎ 8. 已知命题p：，命题q：，则是的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线左支上有一点M到右焦点距离为18，N为中点，O为坐标原点，则等于 A. B. ‎1 ‎C. 2 D. 4‎ 10. 椭圆经过点，则最小值为 A. B. C. 28 D. 27‎ 11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为 A. B. C. D. ‎ 12. 椭圆上有一点P，，是椭圆的左、右焦点，为直角三角形，则这样的点P有 A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 命题“，”的否定是______ ．‎ 14. 直线被椭圆截得的弦长为______．‎ 15. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是______．‎ 16. 给定下列四个命题：其中为真命题的是______填上正确命题的序号 “”是“”的充分不必要条件； 若“”为真，则“”为真； 已知，则“”是“”的充分不必要条件 “若，则”的逆命题为真命题；‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 17. 求满足下列条件的曲线的方程： 离心率为，长轴长为6‎ 的椭圆的标准方程 与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程． ‎ 1. k为何值时，直线和椭圆有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ ‎ 2. 已知，经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于A、B两点，求的面积． ‎ 3. 设声速为a米秒，在相距‎10a米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程． ‎ 4. 已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，它与直线交于P、Q两点，若，求椭圆方程．为原点． ‎ 5. 备用题如图，已知椭圆到它的两焦点、的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点． Ⅰ求此椭圆的方程及离心率； Ⅱ平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求的最大值及此时直线l的方程． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：椭圆的方程化为标准形式为：， ，， ， 又该椭圆焦点在y轴， 焦点坐标为： 故选：D． 将椭圆的方程为标准形式，可得，，即可求得答案． 本题考查椭圆的简单性质，将椭圆的方程化为标准形式是关键，属于基础题． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：双曲线， ， ， 双曲线的焦距为． 故选：D． 利用双曲线的简单性质直接求解． 本题考查双曲线的焦距的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握． 先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而求得双曲线离心率，根据点P在双曲线上，根据定义求出a，从而求出b，则双曲线方程可得． 【解答】 解：由题设知：焦点为 ，， 与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是 故选：B． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：双曲线化为： ，， 双曲线上一点到右焦点的距离是5， 设点P到左焦点的距离是d，， 点P到左焦点的距离是15， 故选：D． 化简双曲线方程为标准方程，由双曲线的定义转化求解即可． 本题主要考查双曲线的定义，应注意判断P的位置，避免错解，是基本知识的考查，基础题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，解题的关键是利用椭圆的第一定义． 设另一个焦点为F，根据椭圆的定义可知，最后把这四段线段相加求得的周长． 【解答】 解：椭圆的， 设另一个焦点为F，则根据椭圆的定义可知 ，． 三角形的周长为：． 故选C． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：因为命题p对任意，总有，根据指数函数的性质判断是真命题； 命题q：“”不能推出“”；但是“”能推出“”所以：“”是“”的必要不充分条件，故q是假命题； 所以为真命题； 故选：D． 由命题p，找到x的范围是，判断p为真命题．而q：“”是“”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答． 判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 设点P的坐标为，根据椭圆方程求得焦点坐标，进而根据线段的中点M在y轴上，推断求得m，代入椭圆方程求得n，进而求得M的纵坐标． 本题主要考查了椭圆的应用．属基础题． 【解答】 解：设点P的坐标为，依题意可知坐标为 ，代入椭圆方程求得 的纵坐标为 故选A 8.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，正确解题的关键步骤是结合题设条件准确地求解和． 先由已知条件求出和，然后结合题设条件进行判断． 【解答】‎ 解：：，即或， ：，解得或． 是的充分非必要条件， 故选A． ‎ ‎ 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解：双曲线的左、右焦点分别为、， 左支上有一点M到右焦点的距离为18，N 是的中点， 连接，ON是的中位线，，， 由双曲线的定义知，，． ， 故选：D． 利用ON是的中位线，，再由双曲线的定义求出，进而得到的值． 本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的定义，考查三角形中位线的性质，属于基础题． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：椭圆经过点， 可得， 所以， 当且仅当，，即，时取等号． 故选：A． 利用椭圆经过的点，求出m、n的关系，利用基本不等式求解即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义与标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 利用的周长为，求出，根据离心率为，可得，求出b，即可得出椭圆的方程． 【解答】 解：的周长为，‎ 且的周长， ， ， 离心率为， ，解得， ， 椭圆C的方程为． 故选A．‎ ‎ 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：当为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个； 同理当为直角时，这样的点P有两个； 由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P也有两个． 故符合要求的点P有六个． 故选：C． 本题中当椭圆短轴的端点与两焦点的张角小于时，为直角的情况不存在，此时等价于椭圆的离心率小于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角等于时，符合要求的点P有两个，即短轴的两个端点，此时等价于椭圆的离心率等于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角大于时，根据椭圆关于y轴对称这个的点P有两个． 根据中三个内角那个是直角进行分类讨论，数形结合、根据椭圆是对称性进行分析判断． ‎ ‎13.【答案】， ‎ ‎【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“，”的否定是：，； 故答案为：，． 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：依题意，联立， 消去y整理得：， 设两交点为，， 则，， ， 故答案为：． 通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及两点间距离公式计算即得结论． 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设弦的端点为、， 代入椭圆方程，得 ， ； 得 ； 由中点坐标，， 代入上式，得 ， 直线斜率为， 所求弦的直线方程为：， 即． 故答案为：． 若设弦的端点为、，代入椭圆方程得，；作差，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程． 本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：对于，由，得，反之，由，不一定有，“”是“”的充分不必要条件，故是真命题； 对于，由为真，得p与q中至少一个为真，若p与q 中一真一假，则为假，故是假命题； 对于，已知，由，不一定有，反之成立，则“”是“”的必要不充分条件，故是假命题； 对于，“若，则”的逆命题为“若，则”，是假命题，如时，，故是假命题． 其中为真命题的是． 故答案为：． 由，得，反之，由，不一定有，结合充分必要条件的判定方法判断；利用复合命题的真假判断判断；由不等式的性质结合充分必要条件的判定方法判断． 本题考查命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断及充分必要条件的判定方法，是基础题． 17.【答案】解：根据题意，要求椭圆的长轴长为6，离心率为， 则，， 解可得：，； 则， 若椭圆的焦点在x轴上，其方程为， 若椭圆的焦点在y轴上，其方程为， 综合可得：椭圆的标准方程为或； 根据题意，椭圆的焦点为和， 故要求双曲线的方程为，且， 则有， 又由双曲线经过经过点，则有，， 联立可得：， 故要求双曲线的标准方程为． ‎ ‎【解析】根据题意，由椭圆的几何性质可得a、c的值，计算可得b的值，讨论椭圆焦点的位置，求出椭圆的标准方程，即可得答案； 根据题意，求出椭圆的焦点坐标，进而可以设双曲线的方程为，分析可得和，解可得a、b的值，即可得答案． 本题考查椭圆、双曲线的标准方程的求法，涉及椭圆、双曲线的几何性质，属于基础题． 18.【答案】解：直线代入椭圆，消去y，可得， ， 直线和椭圆有两个交点，，或； 直线和椭圆有一个交点，，； 直线和椭圆没有公共点，，． ‎ ‎【解析】直线代入椭圆，消去y，可得，利用、、，可得结论． 本题考查直线和椭圆的位置关系，直线和椭圆的交点个数的判断方法，求出，是解题的关键． 19.【答案】解：椭圆的左焦点，倾斜角为的直线l的斜率为： 则：直线l的方程为：组成方程组： 设  到直线AB的距离为： 故答案为： ‎ ‎【解析】首先根据题中的已知条件建立直线l的方程，然后建立方程组：，进一步求出，利用点到直线的距离求出d，进一步利用求出结果． 本题考查的知识要点：点斜式直线方程，弦长公式的应用，点到直线的距离及相关的运算问题． 20.【答案】解：以直线AB为x轴，线段BA的中点为坐标原点，建立直角坐标系． 设炮弹爆炸点的轨迹上的点，由题意可得， 点的轨迹方程为双曲线． ‎ ‎【解析】以直线AB为x轴，线段BA的中点为坐标原点，建立直角坐标系．设炮弹爆炸点的轨迹上的点，由题意可得，可知：点的轨迹方程为双曲线． 本题考查了双曲线的定义及其标准方程，属于基础题． ‎ ‎21.【答案】解：设椭圆方程为， 由得 椭圆方程为，即设，， 则由由， 椭圆方程为 ‎ ‎【解析】先设出椭圆的标准方程，根据离心率的范围求得a和c的关系，进而表示出b和a的关系，代入椭圆方程，根据判断出，直线与椭圆方程联立消去y，进而根据表示出和，根据求得b的值．进而椭圆的方程可得． 本题主要考查了椭圆的简单性质．直线与圆锥曲线的关系，以及平面向量的几何由意义．考查了基本知识的识记和基本的运算能力． 22.【答案】解：由题意，椭圆上的点M到它的两焦点、的距离之和为4， ， 方程为 将代入得，， 椭圆方程为：，； ，设l的方程为： 由， ， 设，则， ，，即时，，此时l的方程为 ‎ ‎【解析】由椭圆上的点M到它的两焦点、的距离之和为4，可得a的值，再将代入，即可确定椭圆方程及离心率； 设l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理确定的表达式，从而可求的最大值及此时直线l的方程． 本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题． ‎