2017-2018学年山东省聊城市高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年山东省聊城市高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省聊城市高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由，，可得，利用复数除法法则可得结果.‎ 详解：因为，‎ 所以 ‎，所以，故选D.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎2．用反正法证明命题“若，则、全为（）”，其假设正确的是（ ）‎ A. 、至少有一个为 B. 、至少有一个不为 C. 、全不为 D. 、只有一个为 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由“全为（）”的反面是“、至少有一个不为”可得结果.‎ 详解：“全为（）”的反面是“、至少有一个不为”，故选B.‎ 点睛：本题主要考查反证法的基本概念，属于简单题.‎ ‎3．在复平面内，复数，对应的点分为，，若为线段的中点，则点对应的复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据复数的几何意义，利用中点坐标公式可得结果.‎ 详解：因为复数，对应的点分为，，‎ 所以，‎ 为线段的中点，，‎ 点对应的复数是，故选C.‎ 点睛：本题主要考查复数的几何意义以及中点坐标公式，属于简单.意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.‎ ‎4．某市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的名有车人中有名持反对意见，名无车人中有名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否相关时，用下列哪种方法最有说服力（ ）‎ A. 平均数与方差 B. 回归直线方程 C. 独立性检验 D. 概率 ‎【答案】C ‎【解析】分析：这是一个独立性检验应用题,处理本题时要注意根据在参加调査的2748名男性中有1760名持反对意见，2652名女性中有1400名持反对意见，计算出的值，并与临界值表中数据进行比较，可得结论.‎ 详解：在参加调査的2748名男性中有1760名持反对意见，2652名女性中有1400名持反对意见，可得：，故有理由认为“拥有车辆"与“反对机动车单双号限行"是否有关系，故利用独立性检验的方法最有说服力，故选C.‎ 点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎5．观察一列算式：，，，，，，，，，，...，则式子是第（ ）‎ A. 项 B. 项 C. 项 D. 项 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由所给算式，找到规律，按规律结合等差数列的求和公式可得结果.‎ 详解：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3，和为5的有4，和为6的有5 ，和为7的有6 , 和为8的前面共有个，为和为8的第5项，所以为第26项，故选D.‎ 点睛：本题通过观察几组算式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. ‎ 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎6．经市场调查，某旅游线路票销售量（张）与旅游单价（元/张）负相关，则其回归方程可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据旅游线路票销售量（张）与旅游单价（元/张）负相关可排除选项，结合现实意义可排除选项，从而可得结果. ‎ 详解：销售量（张）与旅游单价负相关，选项的相关系数为正数，‎ 不正确，可排除选项；‎ 当时，，不符合现实，‎ 不正确，可排除选项，故选A.‎ 点睛：本题主要考查回归方程的意义，属于简单题.利用回归方程估计总体一定要注意两点：一是所有由回归方程得到的值，都是预测值（或估计值，或平均值）而不是一定发生的结果；二是回归方程的系数可以预测变化率（负减正增）.‎ ‎7．运行如图所示程序框图，若输出的值为，则判断框中应填（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：‎ 模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出的值为，即可得到输出条件.‎ 详解：执行程序框图，‎ 输入，‎ 第一次循环，；‎ 第二次循环，；‎ 第三次循环，；‎ 第四次循环，，‎ 此时符合退出循环的条件，故判断框中，，故选C.‎ 点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎8．在四个不同的盒子里面放了个不同的水果,分别是桔子、香蕉、葡萄、以及西瓜，让小明、小红、小张、小李四个人进行猜测 小明说：第个盒子里面放的是香蕉，第个盒子里面放的是葡萄；‎ 小红说：第个盒子里面放的是香蕉，第个盒子里面放的是西瓜；‎ 小张说：第个盒子里面敬的是香蕉，第个盒子里面放的是葡萄；‎ 小李说：第个盒子里面放的是桔子，第个盒子里面放的是葡萄；‎ 如果说:“小明、小红、小张、小李，都只说对了一半。”则可以推测，第个盒子里装的是（ ）‎ A. 西瓜 B. 香蕉 C. 葡萄 D. 桔子 ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用排除法，假设四号盒子里分别是西瓜、香蕉、葡萄，分别导出矛盾，即可排除选项，从而可得结果.‎ 详解：对，若第个盒子里是西瓜，则小张四号为香蕉错， 号是葡萄对；小李号为桔子错，号葡萄对，所以、号都是葡萄相矛盾，故号不是西瓜；‎ 对，若号是香蕉，可得号也是香蕉矛盾，所以号不是香蕉；‎ 对，若号为葡萄，可得小明说的都错，所以号不是葡萄，‎ 所以号盒子里只能是桔子，故选D.‎ 点睛：本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.‎ ‎9．若大前提是：所有边长都相等的凸多边形是正多边形，小前提是：菱形是所有边长都相等的凸多边形,结论是：菱形是正多边形,那么这个演绎推理出错在（ ）‎ A. 大前提出错 B. 小前提出错 C. 推理过程出错 D. 没有出错 ‎【答案】A ‎【解析】分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误.‎ 详解：大前提：所有边长都相等的凸多边形是正多边形,‎ 小前提：菱形是所有边长都相等的凸多边形,‎ 结论：所有菱形是正多边形，‎ 根据正多边形的定义可得“所有边长都相等的凸多边形是正多边形”错误，‎ 所以大前提错误，故选A.‎ 点睛：本题主要考查三段论的基本概念与应用，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于简单题.‎ ‎10．甲、乙、丙、丁四人进行选择题解题比赛，已知每个选择题选择正确得分,否则得分.其测试结果如下：甲解题正确的个数小于乙解题正确的个数，乙解题正确的个数小于丙解题正确的个数,丙解题正确的个数小于丁解题正确的个数；且丁解题正确的个数的倍小于甲解题正确的个数的倍，则这四人测试总得分数最少为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：设甲、乙、丙、丁做对题的个数，分别为，则且，若总分最少，则为相邻整数，分别讨论排除即可.‎ 详解：设甲、乙、丙、丁做对题的个数，分别为，‎ 则且，‎ 若总分最少，则为相邻整数，‎ 当分别取，不满足；‎ 当分别取，不满足；‎ 当分别取，不满足；‎ 当分别取，不满足；‎ 当分别取，不满足；‎ 当分别取，不满足；‎ 当分别取，不满足；‎ 当分别取，满足，‎ 四人测试总得分数最少为 ，故选C.‎ 点睛：本题主要考查阅读能力、建模能力、划归思想与数形结合思想的应用,以及整数解问题，属于难题. 关于整数解问题与不等式的解，解题思路截然不同，一般不等式的解集往往是无限集，不等式的整数解一般是有限集，可以采取分类讨论的方法筛选排除.‎ 二、填空题 ‎11．已知复数，，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：将复数，，代入，求得，从而可得结果.‎ 详解： ，，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查复数代数形式的加法运算以及共轭复数的求法，属于简单题.‎ ‎12．某商家观察发现某种商品的销售量与气温呈线性相关关系，其中组样本数据如下表：‎ 已知该回归直线方程为，则实数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据表格中数据及平均数公式可求出与的值，从而可得样本中心点的坐标，结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程.‎ 详解：由表格数据可得，，‎ ‎，‎ 样本中心点坐标为， ‎ 代入，可得，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查线性回归方程，属于简单题. 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎13．某校举行数学、物理、化学、生物四科竞赛，甲、乙、丙、丁分别参加其中的一科竞赛，且没有两人参加同一科竞赛.①甲没有参加数学生物竞赛；②乙没有参加化学、生物竞赛；③若甲参加化学竞赛，则丙不参加生物竞赛；④丁没有参加数学、化学竞赛；⑤丙没有参加数学、化学竞赛.若以上命题都是真命题,那么丁参加的竞赛科目是__________．‎ ‎【答案】生物 ‎【解析】分析：先由②④⑤可得甲参加化学竞赛，结合③丙不参加生物竞赛，利用①②甲乙不参加生物竞赛，从而可得结果.‎ 详解：由②④⑤知，乙丙丁都不参加化学竞赛，‎ 所以只有甲参加化学竞赛；‎ 再由③得，丙不参加生物竞赛，结合①②甲乙不参加生物竞赛，‎ 只有丁生物竞赛，故答案为生物.‎ 点睛：本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.‎ ‎14．__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：先利用复数除法的运算法则化简，再利用复数乘方运算法则求解即可.‎ 详解： ，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误.‎ ‎15．把数列的各项依次排列，如图所示，则第行的第个数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据数表中数据，发现规律，根据规律结合等差数列的求和公式、等比数列的通项公式可得第行第个数是数列的第项为.‎ 详解：第行有个数；‎ 第行有个数； ‎ 第行有个数，‎ ‎，…,‎ 第行有个数，‎ 前行共有个数，‎ 第行第个数是数列的第项为，故答案为.‎ 点睛：归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.‎ 三、解答题 ‎16．设复数的共轭复数为，且，，复数对应复平面的向量，求的值和的取值范围.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】分析：设则，由，根据复数相等的充要条件列方程求得，由复数减法运算法则以及复数的几何意义，结合辅助角公式求得，利用三角函数的有界性可得的取值范围.‎ 详解：设则，由，根据复数相等的充要条件 解得，所以.‎ 因为，所以 ‎ 即,‎ 故所求，的取值范围是.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎17．若，都是正实数，且.‎ 求证：与中至少有一个成立.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】分析：利用反证法，假设和都不成立，即和同时成立，导出，这与已知条件相矛盾，从而可得结果.‎ 详解：假设和都不成立 即和同时成立 因为且，所以，且 两式相加，得 所以，这与已知条件相矛盾 与中至少有一个成立.‎ 点睛：反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．‎ ‎18．在冬季，由于受到低温和霜冻的影响，蔬菜的价格会随着需求量的增加而提升.已知某供应商向饭店定期供应某种蔬菜，其价格会随着日需求量的增加而上升，具体情形统计如下表所示：‎ ‎（1）根据上表中的数据进行判断，与哪一个更适合作为日供应量与单价之间的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎（2）根据（1）的判断结果以及参考数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（3）该地区有个酒店，其中个酒店每日对蔬菜的需求量在以下，个酒店对蔬菜的需求量在以上，从这个酒店中任取个进行调查，求恰有个酒店对蔬菜需求量在以上的概率.‎ 参考公式及数据：‎ 对于一组数据，...，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，‎ 其中：， ‎ ‎【答案】（1）选择（2）（3）‎ ‎【解析】分析：（1）选择作为日供应量与之间的回归方程更适合；（2）对两边同时取自然对数得，令，得，故 ‎，，，从而可得结果；（3）利用列举法，从这个酒店中任取个共种，恰有个酒店对蔬菜需求量在以上的有种，根据古典概型概率公式可得结果.‎ 详解：（1）选择作为日供应量与之间的回归方程更适合.‎ ‎（2）对两边同时去自然对数得；‎ 令，得，故，，，‎ 故所求方程为.‎ ‎（3）依题意，个酒店每日对蔬菜的需求量在以下，记为，，，，，个酒店对蔬菜的需求量在以上，记为，，则任取个酒店，所有的情况为 ‎，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，‎ 其中满足条件的有种，故所求概率.‎ 点睛：利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎19．选修4-4：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（，参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）若，求直线以及曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知，，，均在曲线上，且四边形为矩形为矩形，求其周长的最大值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】分析：（1）将直线以及曲线的参数方程，分别利用代入法与平方法消去参数可得普通方程，由普通方程利用即可得到直线以及曲线的极坐标方程；（2）不妨设在第一象限，则，故矩形的周长为，由三角函数的有界性可得结果.‎ 详解：（1）因为曲线，曲线 故，故，即 故，因为直线故直线 即故直线.‎ ‎（2）不妨设在第一象限，则 故矩形的周长为，其中 故矩形的周长的最大值为 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎20．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）设函数，当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；(2) 因为当时， ，所以恒成立，等价于，从而可得结果.‎ 详解：（1）依题意，；‎ 当时，原式化为，解得；‎ 当时，原式化为，解得；舍去 当时，原式化为，解得；‎ 综上所述，不等式的解集为 ‎（2）当时， ‎ 当时，等号成立.‎ 所以，时， ，‎ 当时，等价于，解得.‎ 当时，等价于，无解 所以的取值范围为.‎ 点睛：绝对值不等式的常见解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎