广西桂林崇左防城港市2020届高三联合模拟考试数学（理）试题

广西桂林崇左防城港市2020届高三联合模拟考试数学（理）试题

绝密*启用前 ‎2020年高考第二次模拟考试 理科数学 注意事项:‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。‎ ‎2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。‎ ‎ 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。‎ ‎4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎2.已知（其中为虚数单位），则z的虚部为 A. B. ‎1 ‎C. 2 D. 4‎ ‎3.已知，，，则 A. B. C. D. ‎ ‎4.若x,y满足约束条件的最小值是 A. 0 B. ‎3 ‎C. 4 D. 6‎ ‎5.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为 A. 9 B. ‎7 ‎C. 8 D. 6‎ ‎6. 函数的图象大致为 ‎7.已知函数（），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，那么函数的图象 A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 ‎8.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为 A． B． C． D．‎ ‎10. 在中，若，则的形状是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎11.已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为 A. 2 B. C. D. ‎ ‎12.若对于任意的，都有，则的最大值为 A. B. C. D. 1‎ 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题－第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）题－第（23）题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.的展开式中常数项是 .‎ ‎14. 已知，分别是的两个实数根，则 .‎ ‎15. 已知向量,,若存在向量,使得，,则=_______．‎ ‎16. 在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为_______．‎ 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）下图是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择‎3月1日至‎3月13日中的某一天到达该市，并停留2天 ‎（1）求此人到达当日空气重度污染的概率 ‎（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望.‎ ‎18.(本小题满分12分) 已知正项等差数列的前项和为，且满足，‎ ‎．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，，求数列的前项和 ‎ 19.(本小题满分12分) 已知四棱锥，底面为正方形，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求的值.‎ ‎20.(本小题满分12分) 已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)过的直线与椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎21 .(本小题满分12分) 已知.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）当有三个零点时，求实数的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程； ‎ ‎（2）设是圆上的两个动点，且，求的最大值 ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）当时，函数的最小值为，求实数的值.‎ ‎2020年高考桂林市第二次模拟考试 理科数学参考答案及评分标准 一．选择题（每题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B A C C A B ‎ C ‎ C D B D 二．填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 60 14. 1 15. （2,2） 16. ‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共70分。解答应给出文字说明、证明进程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 解：（1）记事件Ai第i天到达(i=1,2,3，…,13),设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，‎ 则B=A5∪A8， ……………………2分 所以.……………………3分 ‎（2）由题意知，的所有可能取的值为0,1,2，且 ‎;……………………5分 ‎;…………7分 ‎,…………9分 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…………10分 的期望为.…………12分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 解：（1）设正项等差数列的首项为，公差为d，，‎ 则， ……………………2分 得 ……………………4分 ‎ ……………………5分 ‎（2），且，. ……………………6分 当时，‎ ‎， ……………………8分 当时，满足上式，. ……………………9分 ‎. ……………………10分 ‎ ‎ ‎………………………………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 由题知四边形ABCD为正方形 ∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD ‎∴AB//平面PCD …………1分 ‎ 又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF ‎ ‎∴EF // AB，又AB//CD ∴EF //CD， …………3分 由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点 连接BD交AC与G，则G为BD中点，在△PBD中EG为中位线，∴ EG//PB ∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE ‎ ‎∴PB//平面ACE. …………6分 ‎（2）∵底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，‎ ‎∴PA、AB、AD两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，…………7分 ‎ ‎ 设AB=AD=‎2a，AP=2b，则A（0，0，0），D（0，‎2a，0），C（‎2a，‎2a，0）‎ G（a，a，0），P（0，0，2b），F（a，a，b）， ‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，DG底面ABCD，∴DG⊥PA，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形∴AC⊥BD,即DG⊥AC，AC∩PA=A ‎∴DG⊥平面CAF，‎ ‎∴平面CAF的一个法向量为 …………9分 ‎ 设平面AFD的一个法向量为而 由得 取可得 为平面AED的一个法向量， ‎ 设二面角C—AF—D的大小为 则得 又 ∴ ‎ ‎∴当二面角C—AF—D的余弦值为时，. ………………………………12分 ‎20（本小题满分12分）‎ 设椭圆方程为＝1(a>b>0)，由焦点坐标可得c＝1.由|PQ|＝3，可得＝3.‎ 又a2－b2＝1，得a＝2，b＝.故椭圆方程为＝1. …………4分 ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令y1>0，y2<0，‎ 设△F1MN内切圆的半径为R，‎ 则△F1MN的周长为‎4a＝8，S△F1MN＝(|MN|＋|F‎1M|＋|F1N|)R＝4R，‎ 因此要使△F1MN内切圆的面积最大，则R最大，此时S△F1MN也最大．‎ S△F1MN＝|F‎1F2||y1－y2|＝y1－y2，…………6分 由题知，直线l斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1，‎ 由得(‎3m2‎＋4)y2＋6my－9＝0，‎ 得y1＝，y2＝，…………8分 则S△F1MN＝y1－y2＝，令t＝，则t≥1，‎ 则S△F1MN＝＝＝.…………10分 令f(t)＝3t＋，则f′(t)＝3－，‎ 当t≥1时，f′(t)>0，所以f(t)在[1，＋∞)上单调递增，‎ 有f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤＝3，‎ 当t＝1，m＝0时，S△F1MN＝3，又S△F1MN＝4R，∴Rmax＝‎ 这时所求内切圆面积的最大值为π，此时直线的方程为x=1。…………………………………12分 ‎21（本小题满分12分）‎ 证明：，‎ 令，，，‎ ‎，‎ 在上单调递减，，‎ 所以原命题成立. …………4分 ‎（2）由 有三个零点可得 有三个零点，‎ ‎，…………6分 ‎①当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；‎ ‎②当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；…………8分 ‎③当时，记得两个零点为，，不妨设，且，‎ 时，；时，；时，‎ 观察可得，且，‎ 当时，；单调递增，‎ 所以有，即，‎ 时，，单调递减，‎ 时，单调递减，…………10分 由（1）知，，且，所以在上有一个零点，‎ 由，且，所以在上有一个零点，‎ 综上可知有三个零点，‎ 即有三个零点，‎ 所求的范围是. ‎ ‎22（本小题满分10分）‎ 解：（1）圆的直角坐标方程为，即，‎ 所以圆的极坐标方程为，即. …………4分 ‎(2)设的极坐标为，，则 ‎，…………6分 则,…………8分 又，所以，‎ 所以当时，取最大值.……………………………10分 ‎（23）（本小题满分10分）‎ 解：（1）时，不等式为 ②_x0001_ 当 时，不等式化为，，此时 ‎ ‎②当 时，不等式化为，，此时 ‎③当 时，不等式化为，，此时 综上所述，不等式的解集为…………5分 ‎（2）法一：函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a＜2，即时，‎ ‎ ‎ 所以f(x)min＝f（）＝－＋1＝3，得a＝－4＜2(符合题意)，故a＝－4. …………10分 法二： ‎ 所以，又，所以.‎ ‎……………………………………………………………………10分