数学卷·2019届山东省潍坊市寿光市现代中学高二上学期开学数学试卷（解析版）

数学卷·2019届山东省潍坊市寿光市现代中学高二上学期开学数学试卷（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2017-2018学年山东省潍坊市寿光市现代中学高二（上）开学数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．在△ABC中，a=2，b=，A=45°，则B等于（　　）‎ A．45° B．30° C．60° D．30°或150°‎ ‎2．在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎3．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则x的取值范围是（　　）‎ A．1＜x＜5 B． C． D．‎ ‎4．在△ABC中，若b=8，c=3，A=60°，则此三角形外接圆的半径为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．数列1，，，，的一个通项公式an是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（　　）‎ A． B． C． D．或 ‎7．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 ‎8．△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（　　）‎ A．x＞2 B．x＜2 C． D．‎ ‎9．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成等差数列{an}的前三项，则数列的第四项为（　　）‎ A．3 B．﹣1 C．2 D．3或﹣1‎ ‎10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A=，b=1，△ABC的面积为，则a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎11．在△ABC中，若，则△ABC是（　　）‎ A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一内角为30°的等腰三角形 D．等边三角形 ‎12．在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若am=a1+a2+…+a9，则m的值为（　　）‎ A．37 B．36 C．20 D．19‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则a：b：c=　 　．‎ ‎14．已知数列{an}中，a1=1，，则a5等于　 　．‎ ‎15．计算3+5+7+…+（2n+3）=　 　．‎ ‎16．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠C=120°，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程的两个根，且2cos（A+B）=1．求：‎ ‎（1）角C的度数；（2）AB的长度．‎ ‎18．在△ABC中，a=3，b=2，AB边上的中线长为2，求边c及△ABC的面积S．‎ ‎19．已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1和a3是方程x2﹣8x+7=0的两根，则 求（1）数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2﹣20n，求：‎ ‎（1）数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求使得Sn最小的序号n的值．‎ ‎21．已知△ABC的周长为+1，且sinB+sinC=sinA．‎ ‎（1）求边BC的长；‎ ‎（2）若△ABC的面积为sinA，求角A的大小．‎ ‎22．如图，在某海滨城市O附近的海面上正形成台风．据气象部门检测，目前台风中心位于城市O的南偏东15°方向200km的海面P处，并以10km/h的速度向北偏西75°方向移动．如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为100km，并以20km/h的速度不断增大．几小时后该城市开始受到台风侵袭（精确到0.1h）？‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年山东省潍坊市寿光市现代中学高二（上）开学数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．在△ABC中，a=2，b=，A=45°，则B等于（　　）‎ A．45° B．30° C．60° D．30°或150°‎ ‎【考点】HP：正弦定理．‎ ‎【分析】利用正弦定理列出关系式，将a，b及cosA的值代入求出sinB的值，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．‎ ‎【解答】解：∵A=45°，a=2，b=，‎ ‎∴由正弦定理得：sinB===，‎ ‎∵2＞，即a＞b，∴A＞B，‎ 则B=30°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎【考点】HR：余弦定理．‎ ‎【分析】直接利用余弦定理以及特殊角的三角函数值就可得出答案．‎ ‎【解答】解：根据余弦定理得cosB===‎ B∈（0，180°）‎ ‎∴B=60°‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则x的取值范围是（　　）‎ A．1＜x＜5 B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【考点】HR：余弦定理．‎ ‎【分析】根据三角形为锐角三角形，得到三角形的三个角都为锐角，得到三锐角的余弦值也为正值，分别设出3和x所对的角为α和β，利用余弦定理表示出两角的余弦，因为α和β都为锐角，得到其值大于0，则分别令余弦值即可列出关于x的两个不等式，根据三角形的边长大于0，转化为关于x的两个一元二次不等式，分别求出两不等式的解集，取两解集的交集即为x的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵三角形为锐角三角形，‎ ‎∴三角形的三个内角都为锐角，‎ 则设边长为3所对的锐角为α，根据余弦定理得：cosα=＞0，‎ 即x2＞5，解得x＞或x＜﹣（舍去）；‎ 设边长为x所对的锐角为β，根据余弦定理得：cosβ=＞0，‎ 即x2＜13，解得0＜x＜，‎ 则x的取值范围是＜x＜．‎ 故选B ‎　‎ ‎4．在△ABC中，若b=8，c=3，A=60°，则此三角形外接圆的半径为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】HP：正弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入求出a的值，再利用正弦定理即可求出三角形外接圆半径．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，b=8，c=3，A=60°，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=64+9﹣24=49，即a=7，‎ 由正弦定理得： =2R，即R===．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．数列1，，，，的一个通项公式an是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】81：数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】将原数列中的第一项写成分式的形式：，再观察得出每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，从而得出数列1，，，，的一个通项公式an．‎ ‎【解答】解：将原数列写成：，，，，．‎ 每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，‎ ‎∴数列1，，，，的一个通项公式an是．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（　　）‎ A． B． C． D．或 ‎【考点】HR：余弦定理．‎ ‎【分析】根据余弦定理表示出cosA，然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．‎ ‎【解答】解：由a2=b2+c2+bc，‎ 则根据余弦定理得：‎ cosA===﹣，‎ 因为A∈（0，π），所以A=．‎ 故选C ‎　‎ ‎7．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 ‎【考点】GZ：三角形的形状判断．‎ ‎【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A+B=90°，从而得到三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．‎ ‎【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，‎ ‎∴sin2A=sin2B，‎ ‎∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，‎ ‎∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，‎ 则△ABC为等腰或直角三角形．‎ 故选D ‎　‎ ‎8．△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（　　）‎ A．x＞2 B．x＜2 C． D．‎ ‎【考点】HP：正弦定理．‎ ‎【分析】△ABC 有两组解，所以asinB＜b＜a，代入数据，求出x的范围．‎ ‎【解答】解：当asinB＜b＜a时，三角形ABC有两组解，‎ 所以b=2，B=60°，设a=x，如果三角形ABC有两组解，‎ 那么x应满足xsin60°＜2＜x，‎ 即．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成等差数列{an}的前三项，则数列的第四项为（　　）‎ A．3 B．﹣1 C．2 D．3或﹣1‎ ‎【考点】84：等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】解不等式x2﹣2x﹣3＜0，得等差数列{an}的前三项为0，1，2或2，1，0，由此能求出该数列的第四项．‎ ‎【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，‎ ‎∵不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成等差数列{an}的前三项，‎ ‎∴等差数列{an}的前三项为0，1，2或2，1，0，‎ ‎∴该数列的第四项为3或﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A=，b=1，△ABC的面积为，则a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．‎ ‎【分析】先利用三角形面积公式求得c，最后利用余弦定理求得a．‎ ‎【解答】解：由已知得： bcsinA=×1×c×sin60°=⇒c=2，‎ 则由余弦定理可得：a2=4+1﹣2×2×1×cos60°=3⇒a=‎ 故选D ‎　‎ ‎11．在△ABC中，若，则△ABC是（　　）‎ A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一内角为30°的等腰三角形 D．等边三角形 ‎【考点】GZ：三角形的形状判断；HP：正弦定理．‎ ‎【分析】由题中等式结合正弦定理，算出A=B=，由此可得△ABC是以C为直角的等腰直角三角形．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴结合正弦定理，可得sinA=cosA，‎ 因此tanA=1，可得A=．同理得到B=‎ ‎∴△ABC是以C为直角的等腰直角三角形 故选：B ‎　‎ ‎12．在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若am=a1+a2+…+a9，则m的值为（　　）‎ A．37 B．36 C．20 D．19‎ ‎【考点】8E：数列的求和；83：等差数列．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式可得am=0+‎ ‎（m﹣1）d，利用等差数列前9项和的性质可得a1+a2+…+a9=9a5=36d，二式相等即可求得m的值．‎ ‎【解答】解：∵{an}为等差数列，首项a1=0，am=a1+a2+…+a9，‎ ‎∴0+（m﹣1）d=9a5=36d，又公差d≠0，‎ ‎∴m=37，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则a：b：c=　1：：2　．‎ ‎【考点】HP：正弦定理．‎ ‎【分析】由三角形三内角之比及内角和定理求出三内角的度数，然后根据正弦定理得到a：b：c=sinA：sinB：sinC，由求出的A，B，C的度数求出sinA，sinB及sinC的值得到所求式子的比值．‎ ‎【解答】解：由A：B：C=1：2：3，得到A=30°，B=60°，C=90°，‎ 根据正弦定理得： ==，‎ 即a：b：c=sinA：sinB：sinC=：：1=1：：2．‎ 故答案为：1：：2‎ ‎　‎ ‎14．已知数列{an}中，a1=1，，则a5等于　　．‎ ‎【考点】8H：数列递推式．‎ ‎【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解第五项即可．‎ ‎【解答】解：数列{an}中，a1=1，，‎ a2==．‎ a3==．‎ a4==．‎ a5==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．计算3+5+7+…+（2n+3）=　n2+4n+3　．‎ ‎【考点】85：等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】直接利用求和公式求解即可．‎ ‎【解答】解：3+5+7+…+（2n+3）==n2+4n+3．‎ 故答案为：n2+4n+3．‎ ‎　‎ ‎16．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠C=120°，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积是　　．‎ ‎【考点】HP：正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用余弦定理可求BD，进而利用三角形面积公式可求S△ABD和S△BCD，从而求得四边形的面积．‎ ‎【解答】解：∵∠ABC=∠C=120°，AB=4，BC=CD=2，‎ ‎∴在△BCD中，BD===2，‎ ‎∴S△ABD=AB•BD•sin==4，‎ S△BCD===，‎ ‎∴四边形的面积S=S△ABD+S△BCD=4=5．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程的两个根，且2cos（A+B）=1．求：‎ ‎（1）角C的度数；（2）AB的长度．‎ ‎【考点】HT：三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】（1）A+B+C=π，根据诱导公式即可求出C．‎ ‎（2）根据a，b是方程的两个根，利用韦达定理可得关系．结合余弦定理即可求解AB的长度．‎ ‎【解答】解：（1）由2cos（A+B）=1．‎ ‎∴cosC=cos[π﹣（A+B）]=．‎ ‎∵0＜C＜π．‎ ‎∴C=120°；‎ ‎（2）由a，b是方程的两个根，‎ 可得：，‎ 余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcosC=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab=，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．在△ABC中，a=3，b=2，AB边上的中线长为2，求边c及△ABC的面积S．‎ ‎【考点】HT：三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】在△‎ ABC中，中线CD，延长CD至点E使得CD=DE，连EA，EB，平行四边形BCAE中，BC=3，BE=2，CE=4，△BCE中，根据余弦定理求解cos∠CBE，即可利用三角形面积公式求解△ABC的面积S．‎ ‎【解答】解：如图：在△ABC中，中线CD，延长CD至点E使得CD=DE，连EA，EB，‎ 平行四边形BCAE中，BC=3，BE=2，CE=4，‎ ‎△BCE中，‎ 根据余弦定理cos∠CBE=cos（π﹣C）=‎ ‎∴‎ ‎∴c2=4+9﹣3=10，‎ 即 又 ‎∴△ABC的面积．‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1和a3是方程x2﹣8x+7=0的两根，则 求（1）数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．‎ ‎【分析】（1）根据根与系数的关系即可求出首项和公差，即可求出通项公式，‎ ‎（2）根据等差数列的求和公式．‎ ‎【解答】解：（1）解方程x2﹣8x+7=0得x1=1，x2=7．‎ ‎∵数列{an}的各项均为正数，‎ ‎∴a1=1，a3=7．‎ ‎∴公差．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=3n﹣2．‎ ‎（2）．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2﹣20n，求：‎ ‎（1）数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求使得Sn最小的序号n的值．‎ ‎【考点】85：等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）当n=1时，a1=S1=﹣18；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣22，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）由，得到n=5时，Sn有最小值﹣50．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=﹣18；‎ 当n≥2时，由得 所以an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣22，‎ 又a1=4﹣22=﹣18成立，‎ 数列{an}的通项公式an=4n﹣22．‎ ‎（2）因为．‎ 又因为n是正整数，所以n=5时，Sn有最小值﹣50．‎ ‎　‎ ‎21．已知△ABC的周长为+1，且sinB+sinC=sinA．‎ ‎（1）求边BC的长；‎ ‎（2）若△ABC的面积为sinA，求角A的大小．‎ ‎【考点】HT：三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理，得，△ABC的周长为+1，即可求边BC的长．‎ ‎（2）根据△ABC的面积为sinA=AC•ABsinA，可得AC•AB的值，‎ ‎，利用余弦定理即可求A ‎【解答】解：（1）由正弦定理，得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，BC=1．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴．‎ 又，‎ 由余弦定理，得==，‎ ‎∴A=60°．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在某海滨城市O附近的海面上正形成台风．据气象部门检测，目前台风中心位于城市O的南偏东15°方向200km的海面P处，并以10km/h的速度向北偏西75°方向移动．如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为100km，并以20km/h的速度不断增大．几小时后该城市开始受到台风侵袭（精确到0.1h）？‎ ‎【考点】HT：三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】根据题意可设t小时后台风中心到达A点，该城市开始受到台风侵袭，如图△PAO中，PO=200，PA=10t，AO=100+20t，∠APO=75°﹣15°=60°，利用余弦定理建立关系即可求解．‎ ‎【解答】解：根据题意可设t小时后台风中心到达A点，‎ 该城市开始受到台风侵袭，如图△PAO中，PO=200，PA=10t，AO=100+20t，∠APO=75°﹣15°=60°，‎ 由余弦定理得，2=100t2+40000﹣2×10t×200×cos60°，‎ 化简得t2+20t﹣100=0，‎ 解得．‎ 答：大约4.1小时后该城市开始受到台风的侵袭．‎ ‎　‎