山东省潍坊市五县市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

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山东省潍坊市五县市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

‎2019—2020学年度第二学期监测 高二数学 本试卷共4页,共150分,考试时间120分钟.‎ 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设函数,则( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据极限的运算法则,直接计算,即可得出结果.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查极限的运算,属于基础题型.‎ ‎2.若,则( )‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据排列数的计算公式,求解,即可得出结果.‎ ‎【详解】因为,所以,‎ 所以有,‎ 即,解得:.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列数的计算,熟记公式即可,属于基础题型.‎ ‎3.一物体做直线运动,其位移(单位:)与时间(单位:)的关系是,则该物体在时的瞬时速度为( )‎ A. 3 B. ‎7 ‎C. 6 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出即可求出物体在时的瞬时速度.‎ ‎【详解】解:,当时,. 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数导数的求解.本题的关键是求出函数的导数.‎ ‎4.函数有( )‎ A. 极大值6,极小值2 B. 极大值2,极小值6‎ C. 极小值-1,极大值2 D. 极小值2,极大值8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数,令其为0,解出方程后则可判断函数及导数随自变量的变化情况,从而可求出极值.‎ ‎【详解】解:令,解得,则随的变化如下表 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以,当时,函数有极大值为;当时,函数有极小值为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数极值的求解.一般求函数的导数时,求出导数后,令导数为0‎ ‎,解出方程后,画表探究函数、导数随自变量的变化情况,从而可求出极值.‎ ‎5.已知函数与的图象如图所示,则不等式组解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数与原函数单调性关系确定与的图象,然后可得结论.‎ ‎【详解】由导函数与原函数单调性关系知图中实线是的图象,虚线是的图象,不等式组解集是.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查导函数与函数单调性的关系,属于基础题.‎ ‎6.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有不同的选法种数为( )‎ A. 420 B. ‎660 ‎C. 840 D. 880‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用间接法可得答案.‎ ‎【详解】从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,‎ 共有种选法,‎ 其中不含女生的有种选法,‎ 所以服务队中至少有1名女生的选法种数为.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了有限制条件的排列组合综合题,使用间接法是解题关键,属于基础题.‎ ‎7.设,离散型随机变量的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 则当在内增大时( )‎ A. 增大 B. 减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方差公式计算出方差后,利用二次函数的单调性可得答案.‎ ‎【详解】,‎ 所以,‎ 所以在上增大,在上减小,即先增大后减小.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量方差公式,以及二次函数的单调性,属于基础题.‎ ‎8.已知函数在R上为增函数,则的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数在R上为增函数,等价于对恒成立,然后分离变量,得,求出的最小值,就能确定m的取值范围.‎ ‎【详解】因为函数在R上为增函数,所以对恒成立,即对恒成立,又因为,所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围,分离变量是解决本题的关键.‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.关于的说法,正确的是( )‎ A. 展开式中的二项式系数之和为2048‎ B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大 C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D. 展开式中第6项的系数最大 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项展开式的二项式系数的性质进行分析可知正确,不正确,正确,根据项的系数的符号可知不正确.‎ ‎【详解】的展开式中的二项式系数之和为,所以正确;‎ 因为为奇数,所以展开式中有项,中间两项(第6项和第7‎ 项)的二项式系数相等且最大,所以不正确,正确;‎ 展开式中第6项的系数为负数,不是最大值,所以不正确.‎ 故选:AC ‎【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数的性质,考查了二项展开式中项的系数的最值问题,属于基础题.‎ ‎10.已知函数,则( )‎ A. 函数一定存在最值 B. ,‎ C. 若是的极值点,则 D. 若是的极小值点,则在区间单调递增 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据时,,当时,,可判断不正确;再结合图象的连续性可判断正确;根据可导函数在极值点处的导数值为零,可判断正确;根据三次函数的单调性可知,不正确.‎ ‎【详解】,,‎ 当时,,当时,,所以函数无最值,故不正确;‎ 又函数图象是连续不断的,所以函数图象与轴有交点,所以,使,所以正确;‎ 因为是的极值点,且函数是可导函数,所以,故正确;‎ 因为是的极小值点,则在区间上先递增,再递减,故不正确.‎ 故选:BC ‎【点睛】本题考查了三次函数的图象和性质,考查了函数的极值点,属于基础题.‎ ‎11.甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布,其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法正确的是( )‎ A. 乙类水果的平均质量 B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正态分布的性质,逐一进行判断即可.‎ ‎【详解】由图象可知,甲图象关于直线对称,乙图象关于直线对称 所以,故A,C正确;‎ 因为甲图象比乙图象更“高瘦”,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确;‎ 因为乙图象的最大值为,即,所以,故D错误;‎ 故选:ABC ‎【点睛】本题主要考查了正态分布的性质的应用,属于中档题.‎ ‎12.已知函数,则以下结论正确的是( )‎ A. 函数的单调减区间是 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数,使得成立 D. 对任意两个正实数,,且,若则 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A选项,对函数求导,解对应不等式,可判断A;‎ B选项,令,对其求导,研究单调性,根据零点存在定理,可判断B;‎ C选项,先由得到,令,用导数的方法判断其单调性,即可判定C;‎ D选项,令,则,令,对其求导,判定其单调性,得到,令,根据题中条件,即可判定出D.‎ ‎【详解】A选项,因为,所以,‎ 由得,;由得,,‎ 因此函数在上单调递减,在上单调递增;故A正确;‎ B选项,令,则显然恒成立;‎ 所以函数在上单调递减;‎ 又,,‎ 所以函数有且仅有一个零点;故B正确;‎ C选项,若,可得,‎ 令,则,‎ 令,则,‎ 由得;由得;‎ 所以函数在上单调递增,在上单调递减;‎ 因此;所以恒成立,即函数在上单调递减,‎ 所以函数无最小值;‎ 因此,不存在正实数,使得成立;故C错;‎ D选项,令,则,则;‎ 令,‎ 则,‎ 所以在上单调递减,则,即,‎ 令,由,得,则,‎ 当时,显然成立,‎ 所以对任意两个正实数,,且,若则.故D正确.‎ 故选:ABD ‎【点睛】本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数的性质即可,属于常考题型.‎ 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.曲线y=x2+lnx在点(1,1)处的切线方程为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求处的导数,再根据切线公式求切线方程.‎ ‎【详解】解析:,在点(1,1)处的切线斜率为,所以切线方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程,属于简单题型.‎ ‎14.用1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的数的个数为______.(用数字作答)‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知,能被5整除的四位数末位必为5,其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列即可.‎ ‎【详解】解:由题意知,能被5整除的四位数末位必为5,只有1种方法,其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全排列有,‎ 故答案为:24‎ ‎【点睛】本题考查了分步计数原理的应用,主要抓住能被5整除的整数的特征(末位数为0或5),本题末位数字只能是5,属于基础题.‎ ‎15.盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色相同外完全相同.从盒中一次随机取出4个球,设表示取出的三种颜色球的个数的最大数,则=______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意表示抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色,计算概率即可.‎ ‎【详解】当时,随机取出4个球中有3个红球、1个其他色,共有种取法,‎ 随机取出4个球中有3个黄球、1个其他色,共有种取法,‎ 所以当取出的三种颜色球的个数的最大数为3时,共有种取法,‎ 所以,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查了组合的实际应用,古典概型,考查了推理运算能力,属于中档题.‎ ‎16.设函数(,,,)若不等式对一切恒成立,则=______,的取值范围为______.‎ ‎【答案】 (1). 3 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,先求导,则不等式对一切恒成立,即为对一切恒成立,结合三次函数的性质则,然后再利用二次函数的性质求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,‎ 因不等式对一切恒成立,‎ 所以对一切恒成立,‎ 所以,‎ 解得或(舍去),‎ 所以对一切恒成立,‎ 当时,,成立,‎ 当时,或,不成立,‎ 当时, 则,解得,‎ 当时,,‎ 当时, ,‎ 综上:的取值范围为.‎ 故答案为:①3;②‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式恒成立,导数的应用以及函数性质的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.求下列函数的导数:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据积的导数运算法则及基本初等函数的导数公式计算即可;‎ ‎(2)先化简函数,根据商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式计算即可.‎ ‎【详解】(1) .‎ ‎(2)因为,‎ 则.‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本初等函数的导数公式和和差积商的求导法则,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎18.2020年寒假是特殊的寒假,因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习,为了研究学生在网上学习的情况,某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查,其中男生与女生的人数之比为11:13,其中男生30人对于线上教育满意,女生中有15名表示对线上教育不满意.‎ ‎(1)完成列联表,并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”;‎ 满意 不满意 总计 男生 ‎20‎ 女生 ‎15‎ 合计 ‎120‎ ‎(2)从被调查对线上教育满意的学生中,利用分层抽样抽取8名学生,再在8名学生中抽取3名学生,作线上学习的经验介绍,其中抽取男生的个数为,求出的分布列及期望值.‎ 参考公式:附:‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎0.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10828‎ ‎【答案】(1)填表见解析;有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”(2)分布列见解析,期望为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据所给数据可得列联表,然后计算可得;‎ ‎(2)由分层抽样可知男生抽3人,女生抽5人,的可能取值为0,1,2,3,并且服从超几何分布,计算出概率得分布列,再由期望公式计算出期望.‎ ‎【详解】解:(1)因为男生人数为:,‎ 所以女生人数为,‎ 于是可完成2×2列联表,如下:‎ 满意 不满意 总计 男生 ‎30‎ ‎25‎ ‎55‎ 女生 ‎50‎ ‎15‎ ‎65‎ 合计 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 根据列联表中的数据,得到的观测值 ‎,‎ 所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”.‎ ‎(2)由(1)可知男生抽3人,女生抽5人,‎ 依题可知的可能取值为0,1,2,3,并且服从超几何分布,‎ ‎,即 ‎,‎ ‎,.‎ 可得分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 可得.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验,考查分层抽样,考查随机变量的概率分布列和数学期望,解题难点是确定随机变量服从超几何分布,从而易计算概率.‎ ‎19.已知函数 ‎(1)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)若函数在处取得极大值,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)增区间为,减区间为 (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1),根据导数的正负得到函数单调性.‎ ‎(2),讨论和两种情况,根据函数的单调性得到极值情况,得到答案.‎ ‎【详解】(1)的定义域为,当时,,‎ 令得,令得,所以的增区间为,减区间为.‎ ‎(2)‎ ‎①当时,若,则,‎ 此时,在上单调递增 所以函数在处不可能取得极大值,不合题意.‎ ‎②当时,‎ 极大值 函数在处取得极大值.‎ 综上可知,的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性,根据极值点求参数,意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎20.某工厂生产某种型号的农机具零配件,为了预测今年7月份该型号农机具零配件的市场需求量,以合理安排生产,工厂对本年度1月份至6月份该型号农机具零配件的销售量及销售单价进行了调查,销售单价(单位:元)和销售量(单位:千件)之间的6组数据如下表所示:‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售单价(元)‎ ‎11.1‎ ‎9.1‎ ‎9.4‎ ‎10.2‎ ‎8.8‎ ‎11.4‎ 销售量(千件)‎ ‎2.5‎ ‎3.1‎ ‎3‎ ‎2.8‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎(1)根据1至6月份的数据,求关于的线性回归方程(系数精确到0.01);‎ ‎(2)结合(1)中的线性回归方程,假设该型号农机具零配件的生产成本为每件3元,那么工厂如何制定7月份的销售单价,才能使该月利润达到最大?(计算结果精确到0.1)‎ 参考公式:回归直线方程,‎ 参考数据:,‎ ‎【答案】(1);(2)销售单价为11.3元时,该月利润才能达到最大 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出的平均数,利用最小二乘法即可得出关于的线性回归方程;‎ ‎(2)由题意得出7月份的利润的关系式,结合二次函数的性质,即可得出结论.‎ ‎【详解】(1)由条件知,,‎ 所以,‎ 故关于的线性回归方程为.‎ ‎(2)假设7月份的销售单价为元 则由(1)可知,7月份零配件销量为 故7月份的利润,‎ 其对称轴,故7月份销售单价为11.3元时,该月利润才能达到最大.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求线性回归方程以及用回归直线方程进行估计,属于中档题.‎ ‎21.某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD顶点A,B,及CD的中点P处,已知km,,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的总长为ykm.‎ ‎(I)按下列要求写出函数关系式:‎ ‎①设,将表示成的函数关系式;‎ ‎②设,将表示成的函数关系式.‎ ‎(Ⅱ)请你选用(I)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排水管道总长度最短.‎ ‎【答案】(I)①‎ ‎②‎ ‎(Ⅱ)选择函数模型①,P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(I)①由条件可知PQ垂直平分AB,,‎ 则 故,又,所以 ‎.‎ ‎②,则,所以,‎ 所以所求的函数关系式为.‎ ‎(Ⅱ)选择函数模型①.‎ ‎.‎ 令得,又,所以.‎ 当时,,是的减函数;‎ 时,,是的增函数.‎ 所以当时.‎ 当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)当时,讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若函数在区间上无零点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)减区间为,单调递增区间为;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把代入到中求出,令求出的范围即为函数的增区间,令求出的范围即为函数的减区间;‎ ‎(2)时不可能恒成立,所以要使函数在上无零点,只需要对时恒成立,列出不等式解出大于一个函数,利用导数得到函数的单调性,根据函 数的增减性得到这个函数的最大值即可得到的取值范围;‎ ‎【详解】解:(1)当时,,定义域为,则,‎ 令,得,令,得,‎ ‎∴的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为.‎ ‎(2)∵函数在区间上无零点,‎ ‎∴在区间上,恒成立或恒成立,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎①当时,,‎ 在区间上,,‎ 记,‎ 则,‎ 在区间上,,‎ ‎∴在区间上,单调递减,∴,‎ 即,∴,‎ 即在区间上恒成立,满足题意;‎ ‎②当时,,,‎ ‎,‎ ‎∵,,∴,‎ ‎∴在上有零点,即函数在区间上有零点,不符合题意.‎ 综上所述,.‎ ‎【点睛】本题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性,会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值,掌握不等式恒成立时所满足的条件,属于中档题.‎
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