北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）数学试题

北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）数学试题

丰台区 2020 年高三年级第二学期综合练习（二） 数学 2020.06 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项． 1． 集合 的子集个数为 （A） （B） （C） （D） 2． 函数 的定义域为 （A） （B） （C） （D） 3． 下列函数中，最小正周期为 的是 （A） （B） （C） （D） 4． 已知数列 的前 项和 ，则 （A）3 （B） （C） （D） 5． 设 为非零向量,则“ ”是“ ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 6． 已知抛物线 : 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则 （A） （B）2 （C） （D）4 7． 已知函数 ，则 （A）是奇函数，且在定义域上是增函数 （B）是奇函数，且在定义域上是减函数 （C）是偶函数，且在区间 上是增函数 （D）是偶函数，且在区间 上是减函数 { }2 2A x x= ∈ − < = ppyx 13: 2 2 =− xyN =p 2 22 ( ) ln(1 ) ln(1 )f x x x= − − + ( )f x (01)， (01)， 8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为 等腰直角三角形，则该棱锥的体积为 （A） （B） （C） （D） 9. 在△ 中， ， ， ，则 边上的高等于 （A） （B） （C） （D） 10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四 场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 且 ；选手总分为各 场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为 16 分，乙和丙最后得分都为 8 分，且乙只有一场比赛 获得了第一名，则下列说法正确的是 （A）每场比赛的第一名得分 为 4 （B）甲至少有一场比赛获得第二名 （C）乙在四场比赛中没有获得过第二名 （D）丙至少有一场比赛获得第三名 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11. 已知复数 ，则 ． 12. 已知直线 的倾斜角为 ，则 ． 13. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 . 14． 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即： 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、 酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表： 天 干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 ┈ 地 支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 ┈ 干 支 纪 甲 子 年 乙 丑 年 丙 寅 年 丁 卯 年 戊 辰 年 己 巳 年 庚 午 年 辛 未 年 壬 申 年 癸 酉 年 甲 戌 年 乙 亥 年 丙 子 年 ┈ 2 3 3 4 3 4 3 3 2 3 ABC 3AC = 7BC = 2AB = AB 2 3 3 3 2 26 2 3 2 , , ( ,a b c a b c> > , , )Na b c ∗∈ a 2 iz = − z = 1 0x y+ + = α cosα = )0,0(1: 2 2 2 2 >>=− bab y a xM 3 年 2049 年是新中国成立 100 周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049 年 是己巳年，则 2059 年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年. 15．已知集合 .由集合 中所有的点组成的图形如图中 阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与 y 轴相交，最高点记为 A，则点 A 的坐标为（0，1）； ②在集合 P 中任取一点 M，则 M 到原点的距离的最大值为 3； ③ 阴 影 部 分 与 y 轴 相 交 ， 最 高 点 和 最 低 点 分 别 记 为 C ， D ， 则 ； ④白色“水滴”图形的面积是 . 其中正确的有__________． 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分. 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共 14 分） 如图，四边形 为正方形， ， ， ， ， . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值. 17.（本小题共 14 分） 已知等差数列 的前 项和为 ， ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若等比数列 满足 ，且公比为 ，从① ；② ；③ 这三个条件中任选 一个作为题目的已知条件，求数列 的前 项和 . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. { }2 2( ) | ( cos ) ( sin ) 4 0P x y x yθ θ θ= − + − = ≤ ≤ π, , P 3 3CD = + 11 3 6 π − ABCD MA‖ PB MA BC⊥ AB PB⊥ 1MA = 2AB PB= = PB ⊥ ABCD PC PDM { }na n nS 1 2a = 5 20=S { }na { }nb 4 4 9a b+ = q 2q = 1 2 q = 1q = − { }n na b− n nT 18.（本小题共 14 分） 为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的 活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了 10 所学 校，10 所学校的参与人数如下： （Ⅰ）现从这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行调查. 求选出的 2 所学校参与越野滑轮人数都超过 40 人 的概率； （Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行指导，记 X 为教练选中参加旱地冰 壶人数在 30 人以上的学校个数，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这 3 个动作进行技术指导. 规定： 这 3 个动作中至少有 2 个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学 3 个动作中每个动作 达到“优”的概率为 0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核 达到“优”的概率发生了变化？请说明理由. 19.（本小题共 15 分） 已知函数 . （Ⅰ）求函数 的极值； （Ⅱ）求证：当 时， ； （Ⅲ）当 时，若曲线 在曲线 的上方，求实数 的取值范围. 1( ) ex xf x += ( )f x (0, )x ∈ +∞ 21( ) 1 2 f x x> − + 0x > ( )y f x= 2 1y ax= + a 20.（本小题共 14 分） 已知椭圆 经过 ， 两点. 为坐标原点，且△ 的面积为 . 过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 ,且直线 ， 分别 与 轴交于点 ， . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）求直线 的斜率 的取值范围； （Ⅲ）设 求 的取值范围. 21.（本小题共 14 分） 已知无穷集合 ,且 ，记 ，定义：满足 时，则称集合 互为“完美加法补集”. （Ⅰ）已知集合 .判断 2019 和 2020 是否属于集合 ， 并说明理由； （Ⅱ）设集合 . (ⅰ)求证：集合 互为“完美加法补集”； （ ⅱ ） 记 和 分 别 表 示 集 合 中 不 大 于 的 元 素 个 数 ， 写 出 满 足 的元素 的集合.（只需写出结果，不需要证明） （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 2 2 2 2: 1( 0)x yC a b a b + = > > (1 0)A , (0 )B b, O AO B 2 4 (0 1)P , ( 0)k k > l C M N， AM AN y S T C l k PS PO PT POλ µ= =   , , λ µ+ ,A B ,A B⊆ ⊆N N { },A B a b a A b B+ = + ∈ ∈ * ( )A B⊆ +N ,A B { }2 1, ,A a a m m= = + ∈N { }2 ,B b b n n= = ∈N A B+ { }2 4 2 2 0 2 4 2 2 2+ 2 + 2 + + 2 + + 2 , 0,1; 0,1, , , N ,i s i s iA x x i s sε ε ε ε ε ε= = × × × × = = ∈   { }1 3 2 1 2 1 * 1 3 2 1 2 1 2 12 + 2 + + 2 + + 2 , 0,1 1, , , Ni s i s iB x x i s sε ε ε ε ε− − − − −= = × × × × = = ∈  ； ,A B ( )A n ( )B n ,A B *( )n n∈N ( )A n ( ) 1B n n= + n 丰台区 2020 年高三年级第二学期综合练习（二） 数学 参考答案及评分参考 2020．06 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B C D B A B C 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11． 12． 13． 14. 己卯；60 15. ②③④ 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共 14 分） 证明：（Ⅰ）因为 ， // ， 所以 ， 因为 ， ， 所以 平面 . ………5 分 （Ⅱ）因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 所以 ， . 因为四边形 为正方形， 所以 . 如图建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， ， . 设平面 的法向量为 ， 则 即 5 2 2 − 2y x= ± MA BC⊥ MA PB PB BC⊥ AB PB⊥ AB BC B= PB ⊥ ABCD PB ⊥ ABCD AB ⊂ ABCD AD ⊂ ABCD PB AB⊥ PB AD⊥ ABCD AB BC⊥ B xyz− (0 0 2)P , , (2 0 1)M , , (0 2 0)C , , (2 2 0)D , , (0 2 2)PC = − , , (2 2 2)PD = − , , (2 0 1)PM = − , , PDM ( )x y z= , ,u 0 0 PD PM ⋅ = ⋅ =     , , u u 2 2 2 0 2 0 x y z x z + − = − =  , . 令 ，则 ， .于是 . 平面 的法向量为 . 设直线 与平面 所成的角为 ， 所以 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ………14 分 17.（本小题共 14 分） 解： （Ⅰ）设等差数列 的公差为 ， 又因为 ，且 ， 所以 ，故 . 所以 . ………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，又 ，所以 . 若选择条件① ，可得 ， . ………14 分 若选择条件② ，可得 ， . 2z = 1x = 1y = − (1 1 2)= , ,u PDM (1 1 2)= , ,u PC PDM θ 3sin cos 6 PC PC PC θ ⋅ = < > = =   , u u u PC PDM 3 6 { }na d 1 ( 1) 2n n nS na d −= + 1 2a = 5 10 10 20S d= + = 1d = 1na n= + 4 5a = 4 4 9a b+ = 4 4b = 2q = 4 1 3 1 2 bb q = = 1 1 2 2( ) ( ) ( )n n nT a b a b a b= − + − + ⋅⋅⋅+ − 1 2 1 2( ) ( )n na a a b b b= + + ⋅⋅⋅+ − + + ⋅⋅⋅+ 1 1( ) (1 ) 2 1 n nn a a b q q + −= − − 1( 3) 12 2 2 nn n −+= − + 1 2 q = 4 1 3 32bb q = = 1 1 2 2( ) ( ) ( )n n nT a b a b a b= − + − + ⋅⋅⋅+ − 1 2 1 2( ) ( )n na a a b b b= + + ⋅⋅⋅+ − + + ⋅⋅⋅+ 1 1( ) (1 ) 2 1 n nn a a b q q + −= − − 6( 3) 2 64 2 nn n −+= + − 若选择条件③ ，可得 ， . 18．（本小题共 14 分） 解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过 40 人”为事件 S， 参与越野滑轮人数超过 40 人的学校共 4 所，随机选择 2 所学校共 种， 所以 . ………4 分 （Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所. ， ， . X 的分布列为： X 0 1 2 P . ………11 分 （Ⅲ）答案不唯一． 答案示例 1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为： . 指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核 达到“优”的概率发生了变化． 1q = − 4 1 3 4bb q = = − 1 1 2 2( ) ( ) ( )n n nT a b a b a b= − + − + ⋅⋅⋅+ − 1 2 1 2( ) ( )n na a a b b b= + + ⋅⋅⋅+ − + + ⋅⋅⋅+ 1 1( ) (1 ) 2 1 n nn a a b q q + −= − − ( 3) +2(1 ( 1) ) 2 nn n += − − 2 4 6C = 2 4 2 10 4 3 22( ) 10 9 15 2 CP S C × = = =× 0 2 4 6 2 10 1( 0) 3 C CP X C ⋅= = = 1 1 4 6 2 10 8( 1) 15 C CP X C ⋅= = = 2 0 4 6 2 10 2( 2) 15 C CP X C ⋅= = = 1 3 8 15 2 15 1 8 2 4( ) 0 1 2 3 15 15 5 E X = × + × + × = 2 2 3 3 3 30.1 0.9 0.1 0 028C C⋅ ⋅ ⋅ =+ . 答案示例 2：无法确定．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为： . 虽然概率非常小，但是也可能发生， 所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化． ………14 分 19.（本小题共 15 分） 解：（Ⅰ）因为 ，定义域 R， 所以 . 令 ，解得 . 随 的变化， 和 的情况如下： 由表可知函数 在 时取得极大值 ，无极小值. ………5 分 （Ⅱ）令 ， . 由 得 ， 于是 ， 故函数 是 上的增函数. 所以当 时， ，即 . ………9 分 （Ⅲ）当 时，由（Ⅱ）知 ，满足题意. 令 ， 2 2 3 3 3 30.1 0.9 0.1 0 028C C⋅ ⋅ ⋅ =+ . 1( ) ex xf x += '( ) ex xf x = − '( ) 0f x = 0x = x '( )f x ( )f x ( )f x 0x = (0) 1f = 2 21 1 1( ) ( ) 1 1( 0) 2 e 2x xg x f x x x x += + − = + − > 1 e 1'( )= (1 ) ( ) e e e x x x x xg x x x x −− + = − = 0x > e 1 0x − > '( ) 0g x > ( )g x [0 )∞,+ (0 )x ∈ ∞,+ ( ) (0) 0g x g> = 21( ) 1 2 f x x> − + 1 2 a ≤ − 2 21( ) 1 2 1f x x ax> − + ≥ + 2 21( ) ( ) 1 1 ex xh x f x ax ax += − − = − − . 当 时，若 ， ， 则 在 上是减函数. 所以 时， ，不合题意. 当 时 ，则 在 上是减函数， 所以 ，不合题意. 综上所述，实数 的取值范围 . ………15 分 20．（本小题共 14 分） 解：（Ⅰ）因为椭圆 经过点 ， 所以 解得 . 由△ 的面积为 可知， ， 解得 ， 所以椭圆 的方程为 ． ………3 分 （Ⅱ) 设直线 的方程为 ， ． 联立 ，消 整理可得： ． 因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以 ，解得 ． 因为 ，所以 的取值范围是 ． ………7 分 （Ⅲ）因为 , 1'( ) 2 ( 2 ) e ex x xx ax x ah = − − = − + 1 0 2 a− < < 1(0 ln( )) 2 x a ∈ −， '( ) 0h x < ( )h x 1[0 ln( )] 2a −， 1(0 ln( )) 2 x a ∈ −， ( ) (0) 0h x h< = 0a ≥ '( ) 0h x < ( )h x (0 )∞,+ ( ) (0) 0h x h< = a 1( ] 2 −∞ −, 2 2 2 2: 1x yC a b + = (1 0)A , 2 1a = 1a = AOB 2 4 1 2 2 4 ab = 2 2 b = C 2 22 1x y+ = l 1y kx= + 1 1 2 2( ) ( )M x y N x y, , , 2 22 1 1 x y y kx + = = +    y 2 2(2 1) 4 1 0k x kx+ + + = 2 216 4(2 1) 0k k∆ = − + > 2 1 2 k > 0k > k 2( ) 2 +∞, (1 0) (0 1)A P, , , 1 1 2 2( ) ( )M x y N x y, , , 所以直线 的方程是： . 令 ，解得 . 所以点 的坐标为 . 同理可得：点 的坐标为 . 所以 , , . 由 可得： ， 所以 ． 同理 ． 由（Ⅱ)得 ， 所以 AM 1 1 ( 1) 1 yy x x = − − 0x = 1 1 1 yy x −= − S 1 1 (0 ) 1 y x − −, T 2 2 (0 ) 1 y x − −, 1 1 (0 1) 1 yPS x −= − −  , 2 2 (0 1) 1 yPT x −= − −  , (0 1)PO = − , ,, POPTPOPS µλ == 1 2 1 2 1 1 1 1 y y x x λ µ− −− = − − = − − −, 1 1 1 1 11 1 1 1 y kx x x λ += + = + − − 2 2 1 1 1 kx x µ += + − 1 2 1 22 2 4 1 2 1 2 1 kx x x x k k + = − = + +, 1 2 1 2 1 1 2 1 1 kx kx x x λ µ + ++ = + + − − ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 (1 )( ) 2 2 1 kx x k x x x x x x + − + −= + − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 42 (1 )( ) 2 2 1 2 1 21 4( ) 1 2 1 2 1 2 4 4 2(2 1) 2 1 4 2 1 ( 1) 2 ( 1) 1 2 1 kk k k k k k k k k k k k k k k k ⋅ + − − − + += + − − + + + − + − += + + + + − += + + = − + +  所以 的范围是 ． ………14 分 21．（本小题共14 分） 解: （Ⅰ）由 ， 得 是奇数， 当 ， 时， ， 所以 ， . ………4 分 （Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数 可表示为唯一一数组 ， 其中 ， 使得 ， 由于 这种形式的自然数 至多有 个，且最大数不超过 . 由 ，每个 都有两种可能， 所以这种形式的自然数 共有 个结果. 下证 其中 ，则 假设存在 中，取 最大数为 ，则 所以 不可能. 综上，任意正整数 可唯一表示为 λ µ+ ( 2 2), 2 1a m= + 2b n= 2 ) 1a b m n+ = + +（ 2 1009 1a = × + 2 0=0b = × 2019a b+ = 2019 A B∈ + 2020 A B∉ + p 0 1 2 i kε ε ε ε ε（ ， ， ， ， ， ， ）  0 1 0 1i i k kε = = ∈ N, ; , , , , 1 2 1 0 1 2 1+ 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2 0 1 0 1i i k i i k ip i k kε ε ε ε ε ε ε+ += × × × × × = = ∈ N, ; , , , ,，   1 2 1 1 2 1 0 1 2 10 + 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2 2 +2 + +2 + +2 2 1i i k i k k i i kε ε ε ε ε ε+ + +≤ × × × × × ≤ = −    p 12k+ 12 1k+ − 0 1 0 1i i k kε = = ∈ N, ; , , , , iε p 1 1 2 2 2 2 2k k + + × × × =个 1 2 1 0 1 2 1+ 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2i i k i i kp ε ε ε ε ε ε+ += × × × × ×  1 2 1 0 1 2 1+ 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2i i k i i kε ε ε ε ε ε+ +′ ′ ′ ′ ′ ′= × × × × ×  0 1 0 1 0 1i i i k kε ε= = = ∈′ N, ； , ； , , , , i i ε ε′ = i i ε ε′ ≠ i j 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1( + 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2 ) + 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2( )i i k i i k i i k i i kε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε+ + + +′ ′ ′ ′ ′ ′× × × × × × × × × ×−    1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 = ( )+( ) 2 + +( ) 2 ( ) 2 ( )+( ) 2 + +( ) 2 ( ) 2 ( + 2 + + 2 ) ) 2 (1 2 2 ) 1 j j j i j j j j j j j j j j j j j ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε − − − − − − − ′ ′ ′− − × − × ′ ′ ′ ′≥ − × − − − × − × ′ ′ ′ ′≥ − × − − − × − × ≥ − + + + =     0 1≥ p 1 2 1 0 1 2 1+ 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2i i k i i kp ε ε ε ε ε ε+ += × × × × ×  2 1 3 0 2 1 3( + 2 ) ( 2 + 2 + )ε ε ε ε= × + + × ×  显然 ， 满足 ，所以集合 互为“完美加法补集”. ………11 分 （ⅱ） . ………14 分 （若用其他方法解题，请酌情给分） 2 1 3 0 2 1 3( + 2 ) ( 2 + 2 + )A Bε ε ε ε× + ∈ × × ∈,  * ( )A B⊆ +N ,A B { }*2 1kn n k= − ∈ N,