人教版高三数学总复习课时作业50

人教版高三数学总复习课时作业50

课时作业50　利用空间向量证明平行与垂直 一、选择题 ‎1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　)‎ A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)‎ B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)‎ C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)‎ D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)‎ 解析：若l∥α，则a·n＝0，‎ D中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋3×1＝0，∴a⊥n.‎ 答案：D ‎2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：因为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，‎ 所以＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．‎ 经验证，当n＝时，‎ n·＝－＋0＝0，n·＝＋0－＝0，故选D.‎ 答案：D ‎3．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．平行 C．在平面内 D.平行或在平面内 解析：∵＝λ＋μ，∴，，共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．‎ 答案：D ‎4．如图，在长方体ABCD—A1B‎1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为(　　)‎ A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 解析：‎ 以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，‎ 依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(‎ ，2,0)．‎ ‎∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，‎ ＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，‎ ‎∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，‎ 即⊥，∴AM⊥PM.‎ 答案：C ‎5．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　)‎ A．(1,1,1) B. C. D. 解析：设AC∩BD＝O，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，‎ 又O是正方形ABCD对角线交点，‎ ‎∴M为线段EF的中点．‎ 在空间坐标系，E(0,0,1)，F(，，1)．‎ 由中点坐标公式，知点M的坐标.‎ 答案：C ‎6．如图，正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)‎ A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，‎ ＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，‎ ＝，＝(－1，－1,1)，‎ ＝－，·＝·＝0，‎ 从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.‎ 答案：B 二、填空题 ‎7．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)．则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．‎ 解析：＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)，∴n·＝0，n·＝0，∴n⊥，n⊥，故n也是α的一个法向量．又∵α与β不重合，∴α∥β.‎ 答案：平行 ‎8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．‎ 解析：∵·＝0，·＝0.‎ ‎∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．‎ 又与不平行，‎ ‎∴是平面ABCD的法向量，则③正确．‎ 由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，‎ ‎∴与不平行，故④错误．‎ 答案：①②③‎ ‎9．如图，正方体ABCD—A1B‎1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．‎ 解析：以D‎1A1，D‎1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，所以＝(x－1,0,1)，又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，所以＝(1,1，y)，由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，只需·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.‎ 答案：1‎ 三、解答题 ‎10．如图，在直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.求证：‎ ‎(1)BC1⊥AB1；‎ ‎(2)BC1∥平面CA1D.‎ 证明：‎ 如图，以C1点为原点，C‎1A1，C1B1，C‎1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．‎ ‎(1)由于＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，‎ 所以·＝0－4＋4＝0，‎ 因此⊥，故BC1⊥AB1.‎ ‎(2)连接A‎1C，取A‎1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，‎ 所以＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，‎ 所以＝－，又ED和BC1不共线，‎ 所以ED∥BC1，又DE⊂平面CA1D，‎ BC⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.‎ ‎11．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．‎ ‎(1)求证：AF∥平面BCE；‎ ‎(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.‎ 证明：‎ 设AD＝DE＝2AB＝‎2a，建立如图所示的坐标系A—xyz，则A(0,0,0)，C(‎2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,‎2a)．‎ ‎∵F为CD的中点，‎ ‎∴F.‎ ‎(1)∵＝，＝(a，a，a)，＝(‎2a,0，－a)，∴＝(＋)，又AF⊄平面BCE，‎ ‎∴AF∥平面BCE.‎ ‎(2)∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－‎2a)，‎ ‎∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，‎ ‎∵CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE，又AF∥平面BCE，‎ ‎∴平面CDE⊥平面BCE.‎ ‎　在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．‎ ‎(1)求证：EF⊥CD.‎ ‎(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB，若存在，请求出G的位置；若不存在，请说明理由．‎ 解：‎ 如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.‎ ‎(1)＝，＝(0，a,0).·＝0，所以⊥，即EF⊥CD.‎ ‎(2)假设点G存在．设G(x,0，z)，‎ 则＝，‎ 因为GF⊥平面PCB，则 由·＝·(a,0,0)‎ ‎＝a＝0，得x＝；‎ 由·＝·(0，－a，a)‎ ‎＝＋a＝0，得z＝0.‎ 所以G点坐标为，即G点为AD的中点．‎