2017-2018学年山西省应县一中高二上学期第四次月考数学（理）试题

2017-2018学年山西省应县一中高二上学期第四次月考数学（理）试题

‎2017-2018学年山西省应县一中高二上学期第四次月考 ‎ 数 学 试 题（理） 2017.12‎ 时间：120分钟 满分：150分 ‎ 一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的).‎ ‎1、在下列命题中：‎ ‎①若向量共线，则所在的直线平行；‎ ‎②若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面；‎ ‎③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面；‎ ‎④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为.‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎2.已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；‎ ‎②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；‎ ‎③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切，其中真命题的序号是(　　)‎ A． ‎①②③ B． ①② C． ①③ D． ②③‎ ‎3、已知，，若，则（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ，‎ ‎4、如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5、命题“对任意x∈[1,2)，x2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)‎ A．a≥1 B．a>1 C．a≥4 D．a>4‎ ‎6、已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点，且,则点C的坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a＞b＞0)表示的曲线大致是(　　)‎ ‎8、若，，且，则的值是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. -2 D. 2‎ ‎9、在空间直角坐标系中，A(1，1，-2)，B(1，2，-3)，C(-1，3，0)，D(x，y，z) ，(x，y，z∈R)，若四点A，B，C，D共面，则（ ）‎ A. 2x+y+z=1 B. x+y+z=0 C. x-y+z=-4 D. x+y-z=0‎ ‎10、如图所示，空间四边形中， ，点在上，且， 为中点，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11、如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12．我们把焦点相同，离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对相关曲线，已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，若∠F1PF2＝60°，则这一对相关曲线中椭圆的离心率e＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎ 一、 填空题(共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13、如图所示，在长方体中，，，，是与的交点，则点的坐标是 ．‎ ‎14、已知是直线L被椭圆所截得的线段的中点，则L的方程是_________．‎ ‎15、已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1, 1)在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为________.‎ ‎16．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．‎ 三、解答题（共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程。）‎ ‎17、（10分）已知椭圆上一点的纵坐标为2.‎ ‎（1）求的横坐标；‎ ‎（2）求过且与共焦点的椭圆的方程.‎ ‎18、（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2. ‎ ‎（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；‎ ‎19、（12分）正方体，‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角正弦值.‎ ‎20、（12分）如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.‎ ‎21、（12分） 如图1，矩形中，，将沿折起，得到如图所示的四棱锥，其中.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎22、已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.‎ 高二月考四 理数答案2017.12‎ ‎1-6 ACADDC 7-12 DCABAA ‎13. 14. 15. 16. 6 ‎ ‎17、（10分）‎ ‎18、（12分）解：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得 A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.‎ ‎（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，‎ 则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.‎ 因为平面BDE，所以MN//平面BDE.‎ ‎（Ⅱ）易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.‎ 因此有，于是.‎ 所以，二面角C—EM—N的正弦值为.‎ ‎19、（12分）解：(Ⅰ)∵‎ ‎∴，而 ‎∴，同理，‎ 而、为平面上相交两直线，‎ ‎∴‎ ‎(Ⅱ)以分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为1，‎ 则有，，，‎ 由(Ⅰ)知平面的一个法向量为，‎ 而，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线所成角的正弦值为．‎ ‎20、（12分）（1）证明：∵底面和侧面是矩形，‎ ‎∴，‎ 又∵‎ ‎∴平面 …3分 ‎∵平面∴． … 6分 ‎（2）解：由（1）可知 又∵，∴底面 …7分 设为的中点，以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图．…8分 设，则，，，，‎ 设平面的一个法向量 ‎∵，‎ 由，得 令，得 …9分 设平面法向量为，因为，，‎ 由得令，得． … 10分 由平面与平面所成的锐二面角的大小为，‎ 得，解得．即线段的长度为． …12分 21、 ‎（12分）‎ ‎（Ⅰ）在图2中取的中点，连接，.由条件可知图1中四边形为正方形，则有，且可求得.‎ 在中，，，，由余弦定理得.‎ 在中，，所以，即.‎ 由于，平面，且，，所以平面.‎ 又平面，故平面平面.‎ ‎（Ⅱ）如图，以为坐标原点，以平行于的方向为轴，平行于的方向为轴，建立空间直角坐标系.‎ 由题设条件，可得，，，.‎ 由（Ⅰ）得平面，可求得点坐标为，‎ 所以，，设平面的法向量为，由及得令，由此可得.‎ 由于，，设平面的法向量为，由及得令，由此可得 所以 则平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎22、（12分）解：（1）拋物线的焦点，∴直线的方程为:.‎ 联立方程组，消元得:，‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ 解得.‎ ‎∴抛物线的方程为：.‎ ‎（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，‎ 设直线的方程为：，‎ 联立，得，‎ 则①.‎ 设，则.‎ ‎∵‎ 即，得：，‎ ‎∴，即或，‎ 代人①式检验均满足，‎ ‎∴直线的方程为：或.‎ ‎∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.‎