2018届二轮复习（文）三角恒等变换与解三角形学案（全国通用）

2018届二轮复习（文）三角恒等变换与解三角形学案（全国通用）

‎【2017年高考考纲解读】‎ 高考对本内容的考查主要有：‎ ‎(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．‎ ‎(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．‎ 试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题.‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎ 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sinαcos β±cos αsin β.‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α.‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.$来&源：ziyuanku.com ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎3．正弦定理 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．‎ 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.‎ sin A＝，sin B＝，sin C＝.‎ a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.‎ ‎4．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，‎ c2＝a2＋b2－2abcos C.‎ 推论：cos A＝，cos B＝，‎ cos C＝.‎ ‎5．三角形面积公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.‎ ‎6．三角恒等变换的基本思路 ‎(1)“化异为同”，“切化弦”，“‎1”‎的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等．‎ ‎“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．‎ ‎(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＝－等．‎ ‎7．解三角形的四种类型及求解方法 ‎(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．‎ ‎(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．‎ ‎(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．‎ ‎(4)已知三边，利用余弦定理求解．‎ ‎8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路 把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.‎ ‎【题型示例】‎ 题型1、三角变换及应用 ‎【例1】(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ ‎【答案】：－ ‎＝－＝－＝－.‎ 速解法：由题意知θ＋为第一象限角，设θ＋＝α，‎ ‎∴θ＝α－，‎ ‎∴tan＝tan＝－tan.‎ 如图，不妨设在Rt△ACB中，∠A＝α，由sin α＝可得，‎ BC＝3，AB＝5，AC＝4，‎ ‎∴∠B＝－α，∴tan B＝，‎ ‎∴tan B＝－.‎ 答案：－ ‎(2)若tan α＞0，则(　　)‎ A．sin α＞0　　　　　　　B．cos α＞0‎ C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0‎ ‎【答案】：C ‎【解析】：基本法：由tan α＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，则A，B错；由sin 2α＝2sin αcos α知sin 2α＞0，C正确；α取时，cos 2α＝2cos2α ‎－1＝2×2－1＝－＜0，D错．故选C.‎ 速解法：∵tan α＝＞0，即sin αcos α＞0，‎ ‎∴sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. ‎ ‎【举一反三】 (2015·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎【答案】　D ‎【解析】　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.‎ ‎【变式探究】(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.‎ ‎【举一反三】(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．‎ ‎【答案】　3‎ ‎【变式探究】(1)(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝　　　　　　B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ ‎(2)(2014·山西)若锐角α满足2sin α＋2cos α＝3，则tan的值是(　　)‎ A．－3 B．－ C．3 D. ‎【解析】(1)解法一：由tan α＝，得 ＝，‎ 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，‎ ‎∴sin(α－β)＝cos α＝sin.‎ ‎∵α∈，β∈，‎ ‎∴α－β∈，－α∈，‎ ‎∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，‎ ‎∴2α－β＝，故选B.‎ ‎∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z.‎ 当k＝0时，满足2α－β＝，故选B.‎ ‎(2)由2sin α＋资*源%库 ziyuanku.com2cos α＝3化简，得 ‎4sin α＋cos α＝3，即sinα＋＝.‎ 由<<且α是锐角，得 <α＋<，‎ 所以cosα＋＝－＝－，‎ 从而tanα＋＝－，由二倍角公式，得 tan2α＋＝＝3，故选C.‎ ‎【感悟提升】‎ ‎(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解．‎ ‎(2)对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．‎ ‎(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．‎ ‎【变式探究】(2015·广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】　因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1. ‎ 考点2、正、余弦定理的应用 ‎【例2】【2016高考山东理数】 ‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=‎2c;‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【举一反三】 (2015·福建，12)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．‎ ‎【答案】　7‎ ‎【解析】　S＝AB·AC·sin A，∴sin A＝，在锐角三角形中A＝，由余弦定理得BC＝＝7. ‎ ‎【变式探究】(2015·广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】　因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B ‎－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.‎ ‎【举一反三】(1)(2014·福建)在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．‎ ‎(2)(2014·湖南)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.‎ ‎①求cos∠CAD的值；‎ ‎②若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．‎ ‎【命题意图】(1)本题主要考查正弦定理等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．‎ ‎(2)本题以平面四边形为载体，考查余弦定理、正弦定理和三角函数的化简求值，第一问可利用余弦定理直接求解，第二问需综合运用两角差的正弦公式和正弦定理．‎ ‎【答案】(1)2 ‎ (2)①如题图，在△ADC中，由余弦定理，得资*源%库 cos∠CAD＝.‎ 故由题设知，cos∠CAD＝＝.‎ ‎②如题图，设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.‎ 因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，‎ 所以sin∠CAD＝ ‎＝＝.‎ sin∠BAD＝ ‎＝＝.‎ 于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)‎ ‎＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD ‎＝×－×＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理，得＝.‎ 故BC＝＝＝3.‎ ‎【变式探究】△ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝.‎ ‎(1)求A·A；‎ ‎(2)若c－b＝1，求a的值．‎ ‎【规律方法】 求解此类问题，一要注意从问题Ziyuanku.com的不断转化中寻求解题的突破口，如求A·A，需要求出bc，由三角形的面积及cos A，可求出sin A，二要注意求解本题第(2)问时，应该结合第(1)问中的结论．‎ 题型三、解三角形的应用 ‎【例3】【2016高考山东理数】（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=‎2c;‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【举一反三】(2015·新课标全国Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．Ziyuanku.com ‎(1)求；‎ ‎(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．‎ ‎【解析】　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，‎ S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.‎ 因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.‎ 由正弦定理可得＝＝.‎ ‎(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，‎ AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.‎ 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，‎ 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.‎ ‎【变式探究】(2015·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.‎ ‎(1)求tan C的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积为3，求b的值．‎ ‎【举一反三】 (2015·陕西，17)△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a ，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．‎ ‎ (1)求A；‎ ‎ (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．‎ ‎【解析】　(1)因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，‎ 由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，‎ 又sin B≠0，从而tan A＝，‎ 由于0＜A＜π，所以A＝.‎ ‎ ‎ WWW.ziyuanku.com