2019-2020学年甘肃省张掖市高台县第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年甘肃省张掖市高台县第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年甘肃省张掖市高台县第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）‎ A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件 ‎【答案】A ‎【解析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 事件与事件不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.‎ ‎2．若集合，下列各式是“”的充分不必要条件的是（ )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据要求可知：待求结果可推出，但是无法推出待求结果，然后判断选项.‎ ‎【详解】‎ 集合，当时，，反之不成立，即为充分不必要条件，所以正确选项为B.‎ ‎【点睛】‎ 现有集合，若是的充分不必要条件，则有；若是的必要不充分条件，则有.‎ ‎3．用系统抽样法从名学生中抽取容量为的样本，先将名学生从 编号，按编号顺序平均分成组(号，号，···号)，若第组中抽出的号码为，则第一组中按此抽签方法确定的号码是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设第一组中确定的号码，利用等差数列的通项公式，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设第一组中确定的号码，则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查系统抽样，求解时注意与等差数列的通项公式知识相结合.‎ ‎4．一组数据的茎叶图如图所示，则数据落在区间内的概率为（ ）‎ A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据茎叶图个原始数据落在区间内的个数，由古典概型的概率公式可得结论.‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图个原始数据，数出落在区间内的共有6个，‎ 包括2个个个，2个30，‎ 所以数据落在区间内的概率为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于简单题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.‎ ‎5．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1-160编号.按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第15组中抽出的号码为118，则第一组中按此抽签方法确定的号码是（ ）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】设第一组抽出的号码为，则第组抽出的号码应为，由第15组中抽出的号码为118，列方程可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为从160名学生中抽取容量为20的样本 所以系统抽样的组数为，间隔为，‎ 设第一组抽出的号码为，‎ 则由系统抽样的法则，‎ 可知第组抽出的号码应为，‎ 第组应抽出号码为，得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答.‎ ‎6．如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为.则阴影区域的面积约为 (　　)‎ A． B． C． D．无法计算 ‎【答案】C ‎【解析】求出正方形的面积，利用几何概型可求阴影区域的面积.‎ ‎【详解】‎ 设阴影区域的面积为，，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型的应用，属基础题.‎ ‎7．程序框图如图所示，运行相应的程序，若输入的的值为，则输出的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】按照程序框图运行程序，直到的值不满足时，输出结果即可.‎ ‎【详解】‎ 按照程序框图运行程序，输入，则，，满足，循环；‎ 则，，，满足，循环；‎ 则，，，满足，循环；‎ 则，，，满足，循环；‎ 则，，，不满足，输出 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据程序框图中的循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.‎ ‎8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，直角三角形的斜边长为，‎ 设内切圆的半径为，则，解得.‎ 所以内切圆的面积为，‎ 所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误。‎ ‎9．第十一届全国少数民族传统体育运动会将于2019年9月8日至16日在郑州举行．如下图所示的茎叶图是两位选手在运动会前期选拔赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（ ）‎ A．甲的平均数大于乙的平均数 B．甲的中位数大于乙的中位数 C．甲的方差大于乙的方差 D．甲的极差小于乙的极差 ‎【答案】C ‎【解析】分别计算出甲、乙两位选手得分的平均数、中位数、方差和极差，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于，故A选项错误.甲的中位数为，乙的中位数为，，故B选项错误.，故C选项判断正确.甲的极差为，乙的极差为，，故D选项错误.综上所述，本小题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查茎叶图，考查平均数、中位数、方差和极差的计算，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎10．已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），的线性回归方程为，则的值为（ ）‎ A．-3 B．-5 C．-2 D．-1‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用平均数公式计算样本中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得结论.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，‎ 样本中心点的坐标为，‎ 线性回归方程为，‎ ‎，‎ 解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查回归方程的性质，属于简单题. 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎11．已知命题：“”的否定是“”；命题 ‎：“”的一个必要不充分条件是“”，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先判断命题与命题的真假，然后利用真值表作出判断.‎ 详解：命题：“”的否定是“”；‎ 故命题为假命题；‎ 命题：“”的一个必要不充分条件是“”，‎ 故命题为真命题，‎ ‎∴只有C选项正确.‎ 故选C 点睛：本题主要考查复合命题真假判断，结合条件分别判断命题p，q的真假是解决本题的关键．此类问题综合性较强涉及的知识点较多．‎ ‎12．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（ ）‎ ‎①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；‎ ‎②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；‎ ‎③西部地区学生小刘被选中的概率为；‎ ‎④中部地区学生小张被选中的概率为 A．①④ B．①③ C．②④ D．②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.‎ 详解：逐一考查所给的说法：‎ ‎①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生48人、‎ 中部地区学生32人、‎ 西部地区学生20人，题中的说法正确；‎ ‎②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；‎ ‎③西部地区学生小刘被选中的概率为，题中的说法正确；‎ ‎④中部地区学生小张被选中的概率为，题中的说法错误；‎ 综上可得，正确的说法是①③.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 二、填空题 ‎13．228与1995的最大公约数是____________________.‎ ‎【答案】57‎ ‎【解析】运用辗转相除法求出最大公约数 ‎【详解】‎ 与的最大公约数是 ‎【点睛】‎ 本题是一道关于求最大公约数的题目，解体的关键是熟练掌握辗转相除法，是一个基础题．‎ ‎14．数据，，…，的平均数是3，方差是1，则数据，，…，的平均数和方差之和是__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：由题意结合平均数、方差的性质整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意结合平均数和方差的性质可知：‎ 数据，，…，的平均数为：，方差为：，‎ 则平均数和方差之和是.‎ 点睛：本题主要考查均值的性质、方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15．如图所示，椭圆内切于矩形，其中矩形长为，宽为，在矩形内随机地撒粒黄豆，落在椭圆内的黄豆数为粒，以此实验数据为依据，可以估计出椭圆的面积约为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用几何概型进行估算椭圆的面积.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的面积为，则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型的应用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎16．执行如下的程序框图，最后输出结果为k=10,那么判断框应该填入的判断是,则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】（36,45]‎ ‎【解析】模拟程序的运行，根据循环结构的程序框图的计算公式，分别求得和时，计算的值，进而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，模拟程序的运行，根据循环结构的程序框图的计算公式，‎ 可得当时，求得，‎ 而当时，求得，‎ 要使的输出的结果为，判断框应该填入的判断是时，则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，其中解答中模拟程序的运行过程，把握好程序框图的计算功能，正确作出判断是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．用秦九韶算法计算多项式当时的值.‎ ‎【答案】71‎ ‎【解析】根据秦九韶算法把多项式改写成.‎ 由题意知，，依次求出.‎ ‎【详解】‎ 解：根据秦九韶算法把多项式改写成.‎ 由题意知，‎ 所以当时，多项式的值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了数学运算能力.‎ ‎18．袋子中放有大小和形状相同而颜色互不相同的小球若干个, 其中标号为0的小球1个, 标号为1的小球1个, 标号为2的小球2个, 从袋子中不放回地随机抽取2个小球, 记第一次取出的小球标号为,第二次取出的小球标号为.‎ ‎(1) 记事件表示“”, 求事件的概率；‎ ‎(2) 在区间内任取2个实数, 记的最大值为,求事件“”的概率.‎ ‎【答案】）（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）用列举法表示所有基本事件，数出满足“a+b＝2”为事件A的个数，然后利用古典概型求解概率；‎ ‎（2）直接利用几何概型，求解全部结果的区域面积与所求结果的区域面积，求解概率即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件个数有（0，1），（1，0），（0，21），（21，0），（0，22），（22，0），（1，21），（21，1），（1，22），（22，1），（21，22），（22‎ ‎，21）‎ 记事件A表示“a+b＝2”，有（0，21），（21，0），（0，22），（22，0），‎ ‎∴事件A的概率P（A），‎ ‎（2）记“x2+y2＜M”为事件B，‎ ‎（a﹣b）2的最大值为M，则M＝4，‎ 则x2+y2＜M”的概率等价于“x2+y2＜4的概率”，‎ ‎（x，y）可以看成平面中的点的坐标，‎ 则全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，‎ 而事件B构成的区域为B＝{（x，y）|x2+y2＜4，（x，y）∈Ω}．‎ 所以所求的概率为P（B）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型以及几何概型的概率的求法，古典概型的计算关键在于找到所有的基本事件及所求的基本事件个数，几何概型关键在于确定属于“长度型、面积型还是体积型”，基本知识的考查，属于中档题．‎ ‎19．现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试成绩预计同时有了大的提升：若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为，则甲（乙）的高三对应的考试成绩预计为. ‎ ‎（1）试预测：高三6次测试后，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？谁的成绩更稳定？‎ ‎（2）若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别由低到高进步的，定义为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，求的平均值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）2‎ ‎【解析】（1）由茎叶图计算高二6次考试的甲乙平均成绩，再分别加4即为高三平均成绩；（2）列举甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，再计算均值即可 ‎【详解】‎ ‎（1）甲高二的6次考试平均成绩为，‎ 乙高二的6次考试平均成绩为，‎ 所以预测甲高三的6次考试平均成绩为86，乙高三6次考试平均成绩为86，‎ 甲高三的6次考试平均成绩的方差为.‎ 乙高三的6次考试平均成绩的方差为.‎ 因为77>55.7，所以乙的成绩比较稳定.‎ ‎（2）预测高三的6次考试成绩如下：‎ 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第次6考试 甲 ‎72‎ ‎80‎ ‎83‎ ‎90‎ ‎92‎ ‎99‎ 乙 ‎75‎ ‎79‎ ‎86‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎98‎ 因为y为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，‎ 所以的值依次为3,1,3,2,2,1，‎ 所以的平均值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图中的均值，熟记茎叶图均值的计算方法，准确计算是关键，是基础题.‎ ‎20．已知命题：，.‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）命题：，，当为真命题且为假命题时，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）由一元二次不等式恒成立可得对应的二次函数开口方向向下且，解不等式得到结果；（2）首先利用分离变量求解出命题为真命题时，‎ ‎；根据含逻辑连接词的命题的真假性可知需真假或假真；分别在两种情况下计算的范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 且，解得：‎ 为真命题时，‎ ‎（2）， ，有解 时，‎ 当时，命题为真命题 为真命题且为假命题 真假或假真 当真假时，有，解得：；‎ 当假真时，有，解得：； ‎ 为真命题且为假命题时，或 ‎【点睛】‎ 本题考查根据命题的真假性求解参数取值范围的问题，涉及到由含逻辑连接词的命题真假性确定各个命题的真假.‎ ‎21．某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因事故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：‎ ‎(1)求分数在[50，60)的频率及全班人数；‎ ‎(2)求分数在[80，90)的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高；‎ ‎(3)若规定：90分(包含90分)以上为优秀，现从分数在80分(包含80分)以上的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率．‎ ‎【答案】（1）25人；（2）0.016；（3）‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图能求出分数在[50，60）的频率，由茎叶图得分类在[50，60）的人数，由此能求出全班人数．（2）由茎叶图能求出分数在[80，90）之间的频数，由此能求出频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高．(3)利用古典概型的概率公式解答.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)分数在[50，60)的频率为0.008×10＝0.08.‎ 由茎叶图知，分数在[50，60)的频数为2，所以全班人数为.‎ ‎(2)分数在[80，90)的频数为25－2－7－10－2＝4，‎ 频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高为.‎ ‎(3)由(2)可知分数在[80，100)的人数为4＋2＝6.‎ 设分数在[80，90)的试卷为A，B，C，D，分数在[90，100]的试卷为a，b.‎ 则从6份卷中任取2份，共有15个基本事件，‎ 分别是AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，‎ 其中至少有一份优秀的事件共有9个，‎ 分别是Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab，‎ ‎∴在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图、频率分布直方图的应用，考查古典概型的概率的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．‎ ‎22．某学习小组在研究性学习中,对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究.该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1),以及浸泡的100颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2).‎ 根据上述数据作出散点图,可知绿豆种子出芽数 (颗)和温差 ()具有线性相关关系.‎ ‎(1)求绿豆种子出芽数 (颗)关于温差 ()的回归方程；‎ ‎(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为11,估计4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数.‎ 附：，‎ ‎【答案】(1) (2) 5125颗.‎ ‎【解析】（1）根据题中信息，作出温差与出芽数（颗）之间数据表，计算出、，并将表格中的数据代入最小二乘法公式计算出和，即可得出回归直线方程；‎ ‎（2）将月日至日的日平均温差代入回归直线方程，可得出颗绿豆种子的发芽数，于是可计算出颗绿豆种子在一天内的发芽数。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依照最高(低)温度折线图和出芽数条形图可得如下数据表：‎ 日期 ‎1日 ‎2日 ‎3日 ‎4日 ‎5日 ‎6日 温差 ‎7‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎13‎ ‎11‎ 出芽数 ‎23‎ ‎26‎ ‎37‎ ‎31‎ ‎40‎ ‎35‎ 故，，‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎-9‎ ‎-6‎ ‎5‎ ‎-1‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以绿豆种子出芽数 (颗)关于温差 ()的回归方程为；‎ ‎（2）因为4月1日至7日的日温差的平均值为，‎ 所以4月7日的温差，‎ 所以，‎ 所以4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数约为5125颗.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查回归分析及其应用等基础知识，解题的关键就是理解和应用最小二乘法公式，‎ 考査数据处理能力和运算求解能力，考查学生数学建模和应用意识，属于中等题。‎