2020届高三4月教育教学质量监测考试（全国Ⅰ卷） 数学（理）
百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测考试
全国I卷 理科数学
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足z－1＋i＝2i＋1，则|z|＝
A. B.2 C. D.3
2.已知集合A＝{2a－1，a2，0}，B＝{1－a，a－5，9}，且A∩B＝{9}，则
A.A＝{9，25，0} B.A＝{5，9，0}
C.A＝{－7，9，0} D.A∪B＝{－7，9，0，25，－4}
3.已知向量a＝(x2－2x，1)，b＝(1，－3)，则“－1
0成立，则实数a的取值范围是
A.(2e，＋∞) B.(，＋∞) C.(，＋∞) D.(2，＋∞)
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.若x，y满足约束条件，则z＝|x－y＋1|的最大值为 。
14.在(x2＋x－1)(x－a)5的展开式中，含x5项的系数为14，则实数a的值为 。
15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则的最小值为 。
16.巳知F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△PF1F2内切圆的圆心为I，则圆心1到圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点的距离的最小值为 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知Sn为数列{an}的前n项和，S2＝10，(n∈N*)。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1。
18.(本小题满分12分)
某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年齡在[20，60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如下的统计表格：
由于不小心，表格中部分数据被污染，看不清了，统计员只记得年龄在[20，30)的样本人数比年龄在[50，60]的样本人数多10，根据以上信息回答下列问题：
(1)求该市年龄在[50，60]的教师人数；
(2)试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图，并求该市教师年龄的平均数及方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)。
19.(本小题满分12分)
如图，将斜边长为4的等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成直二面角B－AD－C，E为AD中点。
(1)求二面角A－BC－E的余弦值；
(2)M为线段BC上一动点，当直线DM与平面BCE所成的角最大时，求三棱锥M－CDE外接球的体积。
20.(本小题满分12分)
动圆P过定点A(2，0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4。
(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足
为定值?若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由。
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ax＋，g(x)＝－1。
(1)讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)当a＝时，设P(x，y)为函数y＝ln(x∈(0，＋∞))图象上任意一点。直线OP的斜率为k，求证：00，b>0，且2a＋b＋2＝3ab。
(1)求2a＋b的最小值；
(2)是否存在a、b，使得a3＋b3＝4?并说明理由。