高中数学选修2-2课时练习第五章 章末复习

高中数学选修2-2课时练习第五章 章末复习

章末复习 ‎1．复数的概念：(1)虚数单位i；(2)复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数．‎ ‎2．复数集 复数a＋bi(ab∈R) ‎3．复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)‎ ‎(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；‎ ‎(2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；‎ ‎(3)乘法：z1·z2＝(a‎1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；‎ ‎(4)除法：＝＝＋i(z2≠0)；‎ ‎(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；‎ ‎(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；‎ ‎(1±i)2＝±2i；若ω＝－±i，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.‎ ‎4．共轭复数与复数的模 ‎(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，z＋为实数，z－为纯虚数(b≠0)．‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝，‎ 且z·＝|z|2＝a2＋b2.‎ ‎5．复数的几何形式 ‎(1)用向量表示复数z＝a＋bi，(a，b∈R)，用点Z(a，b)表示复数z＝a＋bi，(a，b∈R)，Z称为z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0)．‎ ‎(2)任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量.‎ ‎6．复数加、减法的几何意义 ‎(1)复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1＋z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．‎ ‎(2)复数减法的几何意义 复数z1－z2是连接向量、的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．‎ 题型一　分类讨论思想的应用 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．‎ 例1　实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？‎ ‎(1)是实数；‎ ‎(2)是虚数；‎ ‎(3)是纯虚数．‎ 解　(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.‎ ‎(1)当k2－5k－6＝0时，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数．‎ ‎(2)当k2－5k－6≠0时，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数．‎ ‎(3)当即k＝4时，该复数为纯虚数．‎ 跟踪演练1　当实数a为何值时，z＝a2－‎2a＋(a2－‎3a＋2)i.‎ ‎(1)为实数；　(2)为纯虚数；‎ ‎(3)对应的点在第一象限内；‎ ‎(4)复数z对应的点在直线x－y＝0.‎ 解　(1)z∈R⇔a2－‎3a＋2＝0，‎ 解得a＝1或a＝2.‎ ‎(2)z为纯虚数，则 即故a＝0.‎ ‎(3)z对应的点在第一象限，则 ‎∴ ‎∴a＜0，或a＞2.‎ ‎∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．‎ ‎(4)依题设(a2－‎2a)－(a2－‎3a＋2)＝0，‎ ‎∴a＝2.‎ 题型二　数形结合思想的应用 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．‎ 例2　已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.‎ 解　‎ 设z＝x＋yi，x，y∈R，如图．‎ ‎∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，‎ ‎∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，‎ 即 解得或.‎ ‎∵|OA|≠|BC|，‎ ‎∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.‎ 跟踪演练2　已知复数z1＝i(1－i)3.‎ ‎(1)求|z1|；‎ ‎(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．‎ 解　(1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2.‎ ‎(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1.‎ 题型三　转化与化归思想的应用 在求复数时，常设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要．‎ 例3　已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．‎ 解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，‎ 则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.‎ 又＝＝(x－2i)(2＋i)‎ ‎＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，‎ ‎∴x＝4.∴z＝4－2i，‎ 又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋‎4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限．‎ ‎∴，‎ 解得2

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