数学文卷·2017届湖南省长沙市高三12月联考（2016

数学文卷·2017届湖南省长沙市高三12月联考（2016

湖南省长沙市2017届高三12月联考 数学（文科）‎ 时量：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．“”是“复数为纯虚数”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．若向量数量积·则向量与的夹角的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）‎ A．5 B．‎6 ‎ C．7 D．8‎ ‎5．已知是数列的前项和，且，，则（ ）‎ A．72 B．‎88 ‎ C．92 D．98‎ ‎6．执行右图所示的程序框图，则输出的值为( ) ‎ A． B． ‎ C． D．2 ‎ ‎7．已知函数，则 ( )‎ A．1 B．‎ C． D．‎ ‎8．如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图，则几何体的表面积为（ ）‎ A． 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎9．已知抛物线上一点到焦点的距离与其到对称轴的距离之比为9：4，且，则点到原点的距离为（ ）‎ ‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎10．函数的图像大致为（ ）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ ‎ A． B．‎ ‎ ‎ C． D．‎ ‎11．圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为，则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．已知函数，且，则当时，的取值范围是（ ）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22 ~ 24题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．数列的前n项和为 ．‎ ‎14．已知为三角形中的最小角，则函数的值域为 ．‎ ‎15．某工厂制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该工厂每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该工厂每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，生产一个星期能获得的最大利润为 元．‎ ‎16．设，是双曲线（，）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分) 已知△ABC的面积为S，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求△ABC的面积S．‎ ‎18．（本小题满分12分）某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设为每天饮品的销量，为该店每天的利润．‎ ‎（1）求关于的表达式；‎ ‎（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率．‎ ‎19．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与ADEF是边长均为的正方形，四边形ABGF是直角梯形，，且。‎ ‎（1）求证：平面BCG面EHG；‎ ‎（2）若，求四棱锥G－BCEF的体积．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，过.左焦点F且垂直于长轴的弦长为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）点为椭圆C的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，证明：为定值．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数，.‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）令，求函数的极值；‎ ‎（3）若，正实数满足，证明：．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．‎ ‎22．（本小题满分分）选修：坐标系与参数方程 已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．若直线与圆相交于不同的两点，．‎ ‎（1）写出圆的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；‎ ‎（2）若弦长，求直线的斜率．‎ ‎23．（本小题满分分）选修4—5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式，在上恒成立，求的取值范围．‎ 参考答案及评分标准 第Ⅰ卷【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C B C D B D B A D A 第II卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．‎ ‎14．‎ ‎15．21000‎ ‎16．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 解：（1）由得．设△ABC的角A,B,C所对应的边分别为．则有，故．…………………………4分 ‎（2）由（1）中知，则．………6分 可得．‎ ‎……………8分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 由可得，……………10分 故．………………………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）……………………6分 ‎（2）由（1）可知：日销售量不少于20杯时，日利润不少于96元．日销售量为20杯时，日利润为96元，日销售量为21杯时，日利润为97元．从条形图可以看出，销量为20杯的有3天，销量为21杯的有2天．………………………………………………8分 销量为20杯的3天，记为，，，销量为21杯的2天，记为，，从这5天中任取2天，包括，，，，，，，，，，共10种情况．………………………………………………………………10分 其中选出的2天销量都为21天的情况只有1种，故其概率为．……………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）连接BH，由可知 ‎；；‎ ‎，‎ 可得，从而．………………………………………3分 ‎∵， ∴，‎ 又∵，∴，∴，∴，‎ ‎∵，∴．…………………………………………6分 ‎（2）过B作AF的平行线交于FG的延长线于点P，连接AP，FB交于点O．过G作，‎ 则，………………………8分 可得四边形BCEF的面积，……10分 故．…………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由，可得椭圆方程．…………………4分 ‎（2）设的方程为，代入并整理得：‎ ‎．………………………………………………………6分 设，则，‎ 同理．……………………………………………………………………8分 则 ‎ 所以，|PA|2＋|PB|2是定值．……………………………………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）当时，，则，所以切点为，‎ 又，则切线斜率，‎ 故切线方程为，即.………………………………………3分 ‎（2），‎ 则，……………………………………4分 当时，∵，∴.‎ ‎∴在上是递增函数，函数无极值点，………………………………5分 当时，，‎ 令得.‎ ‎∴当时，；当时，.‎ 因此在上是增函数，在上是减函数. ……………………………7分 ‎∴时，有极大值.‎ 综上，当时，函数无极值；‎ 当时，函数有极大值.……………………………………8分 ‎（3）证明：当时，，.‎ 由，即，‎ 从而 令，则由得：，‎ 可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，，∴成立. ………………………………………12分 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．‎ ‎22．（本小题满分分）选修：坐标系与参数方程 解：（1）由，得.‎ 将，代入可得，配方，得：‎ ‎，所以圆心为，半径为.…………………………5分 ‎（2）由直线的参数方程知直线过定点，则由题意，知直线的斜率一定存在．‎ 设直线的方程为的方程为．因为，所以，‎ 解得或.………………………………………………………………10分 ‎23．（本小题满分分）选修4—5：不等式选讲 解：(1) ∵，‎ ‎，‎ 故解集为．……………………………………………………………………5分 ‎（2）在上恒成立在上恒成立 在上恒成立，‎ 故的范围为．……………………………………………………………10分