湖南省益阳市桃江县第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

湖南省益阳市桃江县第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 桃江一中高一2019年上学期期中考试试题 数 学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题可知：‎ 所以，，‎ 所以答案选A ‎【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.‎ ‎2.已知集合，则集合子集个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据子集的定义依次列出集合的子集即可得出答案.‎ ‎【详解】集合的子集分别是：，，，，共有个子集.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合子集的概念，属于基础题.‎ ‎3.函数的零点是（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数零点的定义，令，解方程即可得出答案.‎ ‎【详解】令，即，解之得，或，所以函数的零点为或.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点的定义，解题时应注意“零点”是一个“数”而不是一个“点”，是方程的根，属于基础题.‎ ‎4.下列哪个函数是奇函数（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数奇偶性的定义逐一对选项进行判断即可得到答案.‎ ‎【详解】对于A：，定义域为，关于y轴对称，是偶函数，不满足题意；‎ 对于B：是非奇非偶函数，不满足题意；‎ 对于C：是非奇非偶函数，不满足题意；‎ 对于D：，定义域为，关于原点对称，是奇函数，满足题意.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，属于基础题.‎ ‎5.设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)‎ A. B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】,‎ ‎,故选D.‎ ‎6.已知函数，则函数的定义域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要使函数有意义，必须同时满足条件，解不等式即可得到答案.‎ ‎【详解】要使函数有意义，必须同时满足条件，解之得且，所以函数的定义域为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查具体函数的定义域，此类题的解法是：如果一个函数由若干个简单函数组成，那么该函数的定义域为若干个简单函数定义域的交集，属于基础题.‎ ‎7.设，且，则等于( )‎ A. B. 10 C. 20 D. 100‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，代入，根据对数的运算性质求出的值即可．‎ 详解】由得，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查指数式对数式的互化，考查对数的运算性质，是一道基础题．‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性以及特殊值即可排除．‎ ‎【详解】因为 ‎=，所以为奇函数图像关于原点对称，排除BD,因为，所以排除A答案，选择D ‎【点睛】本题主要考查了函数图像的判断方法，常利用函数的奇偶性质，特殊值法进行排除，属于中等题．‎ ‎9.已知函数(且)在上的最大值与最小值的和为，则函数在上的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分为和两种情况讨论，先求出的值，再研究函数在区间上的最小值即可.‎ ‎【详解】①当时，函数在上单调递减，，，所以有，即（舍去）；‎ ‎②当时，函数在上单调递增，，，所以有，即；‎ ‎，‎ 而函数即在上单调递减，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性及最值的应用，解题的关键是对进行分类讨论，从而求出的值，属于基础题.‎ ‎10.f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　)‎ A. (8，＋∞) B. (8，9] C. [8，9] D. (0，8)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令x=y=3，利用f（3）=1即可求得f（9）=2，由f（x）+f（x﹣8）≤2得f[x（x﹣8）]≤f（9），再由单调性得到不等式组，解之即可．‎ ‎【详解】∵f（3）=1，‎ ‎∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2；‎ ‎∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，‎ f（xy）=f（x）+f（y），f（9）=2，‎ ‎∴f（x）+f（x﹣8）≤2⇔f[x（x﹣8）]≤f（9），‎ ‎∴，‎ 解得：8＜x≤9．‎ ‎∴原不等式的解集为：（8，9]．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与函数单调性的应用，考查解不等式组的能力，属于中档题．‎ ‎11.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得，当时函数单调递增，当时函数单调递增，再根据时的函数值，得到，求出的取值范围即可．‎ ‎【详解】函数是上的增函数，‎ ‎，解不等式组得：.‎ 所以的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查逻辑思维能力，属于常考题.‎ ‎12.已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. 或 C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据幂函数定义解得m,再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果.‎ ‎【详解】由题意，则，即，当时， ，又当时， ，∴，解得，故选D．‎ ‎【点睛】对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.已知函数，若，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设2x﹣1＝t，推导出f（t）＝2t+5，由此利用f（t）＝11，能求出t的值．‎ ‎【详解】设2x﹣1＝t，则x，‎ ‎∴f（t）＝2（t+1）+3＝2t+5‎ ‎∵f（t）＝11，∴2t+5＝11，‎ 解得t＝3．‎ 故答案为3．‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查换元方法，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎14.是定义在上的奇函数，当时，，则时,________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，，根据当时，，可得的表达式，进而根据是定义在上的奇函数，，得到结果.‎ ‎【详解】当时，，当时，，‎ 所以，‎ 又是定义在上的奇函数， ‎ 所以，‎ 故答案是.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关奇函数的解析式的求解问题，在解题的过程中，需要借助于题中所给的条件，以及奇函数的定义，从而求得结果，属于中档题目.‎ ‎15.已知函数的值域为，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，由题意函数的值域为，则可得可以取遍所有的正实数，可得，解不等式即可求解．‎ ‎【详解】函数的值域为，‎ 令，‎ 真数部分可以取遍所有的正实数，‎ ‎，可得，解得或，‎ 实数的取值范围是；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查由二次函数与对数函数复合的复合函数，解题的关键是要熟悉对数函数的性质，注意区别与函数定义域为的限制条件的不同，属于中档题．‎ ‎16.已知定义在上的函数，若函数有零点，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则，则有零点等价于在上有解，结合函数图象，可得的取值范围．‎ ‎【详解】作出函数的图象，如图所示：‎ 令，则，‎ 故有零点在上有解，结合函数图象可知，‎ 的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查函数零点的应用，考查逻辑思维能力，考查数形结合思想，属于常考题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.计算下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对数的性质和运算法则进行计算；‎ ‎（2）利用实数幂运算法则进行计算.‎ 详解】（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎；‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查对数的性质、对数运算法则和实数幂运算法则，考查运算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知集合，.‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若 ，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，，且，作出数轴，数轴上的点在的左侧（包含点），能求出的取值范围；‎ ‎（2）由，，且，数轴上的点在和之间（不包含点，包含点），由此能求出的取值范围．‎ ‎【详解】（1）如下图所示，，，且，‎ 数轴上的点在的左侧（包含点），‎ ‎，即的取值范围为；‎ ‎（2）如下图所示，，，且，‎ 数轴上的点在和之间（不包含点，包含点），‎ ‎，即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查交集及其运算、并集及其运算，熟练掌握交集和并集的定义是解题的关键，属于常考题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）作出函数的图象；‎ ‎（2）求函数的单调区间，并指出其单调性；‎ ‎（3）求（）的解的个数.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）在，上单调递减，在，上单调递增；（3）当时，有两个解；当时，有三个解；当时，有四个解；当时，有两个解；当时，无解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）借助对称性作的图象即可，‎ ‎（2）由图象写出函数的单调区间即可；‎ ‎（3）（）的解的个数与图象的交点个数，作出与（）的图象，讨论的位置得到解的个数.‎ ‎【详解】（1）作的图象如下，‎ ‎，‎ ‎（2）由图象可知，在，上单调递减，在，上单调递增；‎ ‎（3）（）的解的个数与图象的交点个数，‎ 在同一坐标系下作与的图象，易知直线有如下几种位置（虚线部分），‎ ‎① 当时，与的图象有两个交点，两个解；‎ ‎② 当时，与的图象有三个交点，三个解；‎ ‎③ 当时，与的图象有四个交点，四个解；‎ ‎④ 当时，与的图象有两个交点，两个解；‎ ‎⑤ 当时，与的图象有无交点，无解；‎ ‎【点睛】本题考查函数图象和函数零点的应用，考查数形结合思想，考查转化思想，考查逻辑思维能力，正确作出函数图象是解题的关键，属于中档题.‎ ‎20. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．‎ ‎（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；‎ ‎（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）3333辆/小时 ‎【解析】‎ ‎（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b 再由已知得，解得 故函数v（x）的表达式为 ‎（2）依题并由（1）可得 当0≤x＜20时，f（x）增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200‎ 当20≤x≤200时，‎ 当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．‎ 所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．‎ 综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．‎ 答：（1）函数v（x）的表达式 ‎（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．‎ ‎21.已知定义域为的函数是奇函数.‎ ‎（1）求值；‎ ‎（2）判断的单调性，并证明；‎ ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为函数是奇函数，故，建立方程关系求解即可；‎ ‎（2）利用定义法证明函数的单调性；‎ ‎（3）由函数的奇偶性将不等式转化为，然后再利用单调性求的取值范围．‎ ‎【详解】（1）是上的奇函数， ‎ ‎，即，解之得；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 设任意的，，满足，则，，， ‎ ‎，即，所以在上是减函数；‎ ‎（3），‎ ‎，‎ 为奇函数，‎ ‎，‎ 由（2）知，在上是减函数，‎ ‎，即恒成立，‎ ‎，解得，‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查奇偶性的应用、定义法证明单调性、利用单调性和奇偶性解抽象不等式，考查逻辑思维能力和转化思想，属于中档题.‎ ‎22.已知,函数=.‎ ‎(1)求的最大值:‎ ‎(2)若关于的方程有实数解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）①时,==②当时,==.；（2）的取值范围为..‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)===在上单调递增,‎ 所以,根据二次函数求最值的方法解答;‎ ‎(2)关于x的方程有解.即关于的方程=在上有解.可知2的取值范围即为函数=在上的值域,根据单调性求出值域.‎ 试题解析：‎ ‎(1)=,‎ ‎=‎ 令=在上单调递增,‎ 所以,于是,‎ ‎===‎ ‎①时,==‎ ‎②当时,==.‎ ‎(2)关于x的方程有解.‎ 即关于的方程在上有解,‎ 显然,不是上述方程的解.于是转化为关于t的方程,‎ ‎=在上有解,‎ ‎,‎ 可知2的取值范围即为函数在上的值域.‎ 注意到可证明在上递减,在上递增,且为奇函数.‎ 从而可得到当时,‎ 所以,‎ 故的取值范围为.‎