【数学】2020届一轮复习人教B版 导数在研究函数中的应用学案
考查角度5 导数在研究函数中的应用
分类透析一 求函数的单调性
例1 (1)已知函数f(x)=xln x,则f(x)( ).
A.在(0,+∞)上单调递增
B.在(0,+∞)上单调递减
C.在上单调递增
D.在上单调递减
(2)已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsin x+cos x,则f(x)的单调递增区间为 .
解析 (1)因为函数f(x)=xln x的定义域为(0,+∞),
所以f'(x)=ln x+1(x>0).
令f'(x)>0,解得x>,
即函数的单调递增区间为.
令f'(x)<0,解得0
0,
则其在区间(-π,π)上的解集为或,
即f(x)的单调递增区间为和.
答案 (1)D (2)和
方法技巧 确定函数单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求f'(x);
(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
分类透析二 函数单调性的应用
例2 (1)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f'(x),且对于任意的x∈,都有f'(x)sin xf B.f>f(1)
C.f0时,有<0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是 .
解析 (1)令g(x)=,
则g'(x)=,
所以g'(x)<0在上恒成立,
则g(x)在上单调递减,
∴g>g,即>,
∴f>f.
(2)∵当x>0时,'<0,
∴令φ(x)=,则φ(x)在(0,+∞)上为减函数,
又φ(2)=0,
∴在(0,+∞)上,当且仅当00,此时x2f(x)>0.
又f(x)为奇函数,
∴h(x)=x2f(x)也为奇函数.
故x2f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).
答案 (1)A (2)(-∞,-2)∪(0,2)
方法技巧 利用导数比较大小或解不等式的常用技巧:利用题目条件构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式.
分类透析三 根据极值求参数
例3 若函数f(x)=-x2+x+1在区间上有极值点,则实数a的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
解析 函数f(x)在区间上有极值点等价于f'(x)=0有零点,且零点不是f'(x)图象的顶点的横坐标.
因为f'(x)=x2-ax+1,所以Δ=a2-4,
由题意可知Δ≠0,所以a≠±2.
由f'(x)=0在内有根,
得a=x+在内有解,
又x+∈,且a≠±2,所以21 C.a≤1 D.02时,f'(x)>0.
∴当x=2时,f(x)有极小值f(2)=+1.
若函数f(x)没有零点,则f(2)=+1>0,
解得a>-e2,因此-e2f(x)+1,则下列结论正确的是( ).
A.f(2018)-ef(2017)>e-1
B.f(2018)-ef(2017)e+1
D.f(2018)-ef(2017)f(x)+1,∴f'(x)-f(x)-1>0,
∴g'(x)>0在R上恒成立,
∴g(x)=在R上单调递增.
∴g(2018)>g(2017),
∴>,
∴f(2018)+1>ef(2017)+e,
∴f(2018)-ef(2017)>e-1.
答案 A
3.(2018年江西月考)若f(x)=-(x-2)2+bln x在(1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是( ).
A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
解析 由题意知f'(x)=-(x-2)+≤0在x∈(1,+∞)上恒成立,即b≤x(x-2)在x∈(1,+∞)上恒成立.令φ(x)=x(x-2)=(x-1)2-1,因为φ(x)在(1,+∞)上的值域是(-1,+∞),所以b≤-1,故选B.
答案 B
4.(四川省绵阳2018届高三“二诊”热身考试)在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,若函数f(x)=x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1有极值点,则sin的最小值是( ).
A.0 B.- C. D.-1
解析 ∵f(x)=x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1,
∴f'(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac).
又∵f(x)=x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1有极值点,
∴x2+2bx+(a2+c2-ac)=0有两个不同的根,
∴Δ=(2b)2-4(a2+c2-ac)>0,
即ac>a2+c2-b2,∴ac>2accos B,∴cos B<,
故角B的取值范围是,∴2B-∈,
当2B-=,即B=时,sin取得最小值,最小值是-1.
答案 D
5.(浙江省杭州二中2018届高三热身考试)如图,可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x),设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是( ).
A.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点
B.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点
C.h'(x0)≠0,x=x0不是h(x)的极值点
D.h'(x0)=0,x=x0不是h(x)的极值点
解析 由题设有g(x)=f'(x0)(x-x0)+f(x0),
故h(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0)-f(x0),
所以h'(x)=f'(x)-f'(x0),
所以h'(x0)=f'(x0)-f'(x0)=0.
又当xx0时,有h'(x)>0,
所以x=x0是h(x)的极小值点,故选B.
答案 B
6.(2018河南一模)已知函数f(x)=ln x-x+,若a=-f,b=f(π),c=f(5),则( ).
A.cf(π)>f(5),
∴a>b>c.故选A.
答案 A
7.(河南安阳2018届高三毕业班第二次模拟考试)设函数f(x)=ln x+a(x2-3x+2),若f(x)>0在区间(1,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是( ).
A.[0,1] B.[-1,0] C.[0,2] D.[-1,1]
解析 由f(x)>0得a(x2-3x+2)>-ln x(x>1),
令h(x)=-ln x,g(x)=x2-3x+2,其图象如图所示,
为了满足不等式恒成立,则a≥0,且在x=1处的切线斜率h'(1)≤g'(1),
所以h'(x)=-,g'(x)=a(2x-3),
所以h'(1)≤g'(1),得a≤1.
综上,a的取值范围是[0,1].
答案 A
8.(河南省濮阳市2018届高三毕业班第二次模拟考试)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)>f(x)恒成立(其中f'(x)为函数f(x)的导函数),对于任意实数x1>0,x2>0,下列不等式一定正确的是( ).
A.f(x1)f(x2)≥f(x1x2)
B.f(x1)f(x2)≤f(x1x2)
C.f(x1)+f(x2)>f(x1+x2)
D.f(x1)+f(x2)f(x)恒成立,即f(x)-xf'(x)<0.
设函数h(x)=,则h'(x)=>0,
所以函数h(x)为增函数.
不妨设0,
即f(x1+x2)>f(x2)=f(x2)+f(x2)>f(x2)+x1=f(x1)+f(x2),
故选D.
答案 D
9.(陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期第七次模拟考试)函数f(x)=在区间∪[2,4]上的值域是( ).
A. B.
C. D.
解析 f'(x)=,
令g(x)=-ln x+1-,
则g'(x) =-+=,
故g(x)在上单调递增,在[2,4]上单调递减,
所以当x∈时,g(x)max=g=ln 2-3<0.
所以f(x)在上单调递减,f=-,f=-,
所以f(x)∈.
当x∈[2,4]时,g(x)max=g(2)=-ln 2<0,
所以f(x)在[2,4]上单调递减,f(2)=0,f(4)=-,
所以f(x)∈.
求并集即得f(x)=在区间∪[2,4]上的值域是.
答案 D
10.(大庆市高三年级第二次教学质量检测试题)已知函数f(x)=,下列关于f(x)的四个命题:
①函数f(x)在[0,1]上是增函数;
②函数f(x)的最小值为0;
③若x∈[0,t],f(x)max=,则t的最小值为2;
④函数f(x)有2个零点.
其中真命题的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ∵函数f(x)=,
∴f'(x)=x(2-x)e-x.
令f'(x)>0,得02,即函数f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减.
∵函数f(x)=≥0在R上恒成立,∴当x=0时,f(x)min=f(0)=0,且函数f(x)的零点个数只有一个.
当x>0时,f(x)max=f(2)=,则要使当 x∈[0,t]时,f(x)max=,则t的最小值为2.
综上,①②③正确.
答案 C
11.(河北衡水中学2018届高三三轮复习)函数f(x)=的图象在点(e2,f(e2))处的切线与直线y=-x平行,则f(x)的极值点是 .
解析 f'(x)=,
故f'(e2)=-=-,解得a=1,
故f(x)=,f'(x)=,
令f'(x)=0,解得x=e.
因为当00,当x>e时,f'(x)<0,
所以x=e是函数的极值点.
答案 e
12.(河北省廊坊市第八高级中学2018届高三模拟试题)已知函数f(x)=2x3+3mx2+3(m+n)x+1的两个极值点分别为x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),若存在点P(m,n)在函数y=loga(x+4)(a>1)的图象上,则实数a的取值范围是 .
解析 f'(x)=6x2+6mx+3(m+n),
因为x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),
所以故不等式表示的平面区域如图所示.
因为存在点P(m,n)在y=loga(x+4)的图象上,故点A(-1,1)在函数y=loga(x+4)的图象的下方,
所以解得10在(0,+∞)上恒成立,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)=0不可能有两个正根(舍去).
当a<0时,令g'(x)>0,得0-,
即g(x)在上单调递增,在上单调递减,
若g(x)=2ax+1+ln x=0有两个不同的正根,则g=ln>0,解得-
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