2018-2019学年福建省龙岩市非一级达标校高二上学期期末教学质量检查数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年福建省龙岩市非一级达标校高二上学期期末教学质量检查数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省龙岩市非一级达标校高二上学期期末教学质量检查数学（文）试题 一、单选题 ‎1．下列命题中，正确的是　　‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】利用不等式的性质进行判断，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 对于A，同向不等式，只能相加，不能相减，故不正确；‎ 对于B，同向不等式均为正时，才能相乘，故不正确；‎ 对于C，c的符号不定，故不正确；‎ 对于D，，故正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．‎ ‎2．一个命题与它们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）‎ A．真命题与假命题的个数不同 B．真命题的个数一定是偶数 C．真命题的个数一定是奇数 D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 ‎【答案】B ‎【解析】根据互为逆否命题的真假性是一致的，得到原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，真命题是成对出现的．‎ ‎【详解】‎ 解：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题，‎ 原命题与逆否命题具有相同的真假性，‎ 否命题与逆命题具有相同的真假性，‎ 真命题是成对出现的，‎ 真命题的个数一定是一个偶数．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的四种形式，是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，是一个比较简单的问题，若出现是一个送分题目．‎ ‎3．若点P到直线的距离比它到点的距离小1，则点P的轨迹为（ ）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，点P到直线的距离和它到点的距离相等，故点P的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，，写出抛物线的方程．‎ ‎【详解】‎ 解：点P到直线的距离比它到点的距离小1，‎ 点P到直线的距离和它到点的距离相等，‎ 故点P的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，‎ 即，则点P的轨迹方程为，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，判断点P的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，是解题的关键．‎ ‎4．等差数列中，若，则（ ）‎ A．256 B．512 C．1024 D．2048‎ ‎【答案】C ‎【解析】运用等差数列的性质和指数的运算性质，结合等差数列的求和公式，计算可得所求值．‎ ‎【详解】‎ 解：等差数列中，若，‎ 可得，‎ 则 ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质和求和公式，以及指数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎5．已知函数既存在极大值又存在极小值，那么实数m的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出函数的导函数，根据已知条件，令导函数的判别式大于0，求出m的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：函数既存在极大值，又存在极小值 有两异根，‎ ‎，‎ 解得或，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用导数研究极值问题，利用导数求函数的极值问题，要注意极值点处的导数值为0，极值点左右两边的导函数符号相反．‎ ‎6．下面四个条件中，使成立的一个必要不充分的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】欲求成立的必要而不充分的条件，即选择一个“”能推出的选项，但不能推出，对选项逐一分析即可．‎ ‎【详解】‎ 解：“”能推出“”，但“”不能推出“”，故满足题意；‎ ‎“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意；B不正确．‎ ‎“”能推出“”，且“”能推出“”，故是充要条件，不满足题意；C不正确；‎ ‎“”不能推出“”，故选项C不是“”的必要条件，不满足题意；D不正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是理解必要而不充分的条件，属于基础题．‎ ‎7．若，则的最小值为（ ）‎ A． B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三角函数的有界性得：，因为，则，‎ 由对勾函数的单调性得：在为减函数，可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：设，因为，则，‎ 则，‎ 由“对勾函数”的性质可得：‎ 在为减函数，‎ 即，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的有界性及对勾函数的单调性，属中档题．‎ ‎8．平面四边形ABCD中，若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由平面几何知识，不难算出，从而求得AC，AD即可．‎ ‎【详解】‎ 解：中，，，‎ ‎，得．‎ ‎，，．‎ ‎ ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直角三角形中三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础．‎ ‎9．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则（ ）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由抛物线与过其焦点的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出、两点坐标，由向量的数量积的坐标运算得，由韦达定理可以求得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知，抛物线的焦点坐标，直线AB的方程为，‎ 由，得，设，，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决．‎ ‎10．若函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据导函数的零点和函数值的符号，判断出的图象.‎ ‎【详解】‎ 由于的图象可知是的零点，所以的零点为和.当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以.由此可知正确的的图象为D.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查主要考查导函数图象的运用，属于基础题.‎ ‎11．若P是椭圆上的点，点Q，R分别在圆：和圆：上，则的最大值为（ ）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】椭圆中，，故椭圆两焦点，恰为两圆和的圆心，连接，，并延长，分别交两圆于，，则，由此能求出的最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：椭圆中，，‎ 椭圆两焦点，恰为两圆和的圆心，‎ 椭圆中，‎ 连接，，并延长，分别交两圆于，，‎ 则．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义和圆的简单性质，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．‎ ‎12．已知函数的图象过点， 为函数的导函数，e为自然对数的底数若 恒成立，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】构造函数设确定在R单调递增，即可求出不等式的解集．‎ ‎【详解】‎ 解：设，‎ 则，‎ 恒成立，‎ 恒成立，‎ 单调递增，‎ ‎，‎ ‎，‎ 不等式，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．‎ 二、填空题 ‎13．已知双曲线C的离心率为，那么它的两条渐近线所成的角为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，由离心率，可求得，从而可求双曲线的两条渐近线所成的角．‎ ‎【详解】‎ 解：设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，‎ 离心率，‎ ‎，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴双曲线的两条渐近线方程为，‎ 双曲线的两条渐近线互相垂直所成的角是；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质，求得是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．‎ ‎14．若x，y满足约束条件，则的最小值为______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得，‎ 化目标函数为，‎ 由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎15．数列1，3，1，3，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，1，3，依此规律，这个数列前44项之和为______．‎ ‎【答案】116‎ ‎【解析】由题意可得该数列规律为1后接着3，到第几个1后接几个3，当第8个1后结8个3时，项数为44，计算可得所求和．‎ ‎【详解】‎ 解：数列1，3，1，3，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，1，3，‎ 规律为1后接着3，到第几个1后接几个3，‎ 当第8个1后接8个3时，共有，‎ 则前44项之和为．‎ 故答案为：116．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的求和，注意总结数列的规律，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎16．若长度为，4x，的三条线段可以构成一个钝角三角形，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，可得为最大边，由于此三角形为钝角三角形，可得，解出，根据三角形两边之和大于第三边可求，即可得解 ‎【详解】‎ 解：，可得为最大边．‎ 由于此三角形为钝角三角形，‎ ‎，化为：，‎ 由，解得．‎ 又，解得：，‎ 的取值范围为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理、不等式的解法、钝角三角形的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知命题p：函数在定义域上单调递增；命题q：不等式对任意实数x恒成立．‎ ‎（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若“”为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2），‎ ‎【解析】（1）分类讨论恒成立和时，，结果求并集；‎ 为真时，；为真，即q为假时，或，结果再相交．‎ ‎【详解】‎ 解（1）因为命题q：不等式对任意实数x恒成立为真命题，‎ 所以或 综上所述：‎ ‎（2）因为“为真命题，故p真q假．‎ 因为命题p：函数在定义域上单调递增，所以 q假，由可知或 所以 所以实数a的取值范围为，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合命题及其真假，属基础题．‎ ‎18．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）方法一：由已知结合正弦定理及两角和的正弦公式可求，进而可求A；‎ 方法二：由余弦定理对已知进行化简可得，然后再由余弦定理可求，进而可求A；‎ ‎（2）由已知结合余弦定理可得，结合已知，可求b，c 代入三角形面积可求．‎ ‎【详解】‎ 解（1）．‎ 由正弦定理，得 整理得，‎ 因为，所以，‎ 又，所以  ‎ 方法二：由余弦定理得：‎ 化简整理得：‎ 即，‎ 又，所以  ‎ ‎（2）由余弦定理得：，‎ ‎ ，即，‎ 又，‎ 解得，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理余弦定理，三角形的面积公式及两角和的正弦公式，诱导公式等知识的综合应用，数中档试题 ‎19．设函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求b，c的值；‎ ‎（2）若，求函数的极值．‎ ‎【答案】（1），（2）极大值为，的极小值为 ‎【解析】（1）求出函数的导数，利用已知条件推出方程，然后求解 b，c的值；‎ ‎（2）若，判断导函数的符号，然后求解函数的极值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1） ‎ 由题意得解得：， ‎ ‎（2）依题意，由得，‎ 所以当时，，单调递增；‎ 时，，单调递减；‎ 时，，单调递增 故的极大值为，的极小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的极值，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎20．已知函数，数列的前n项和为，点在曲线上．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）（2），‎ ‎【解析】（1）利用点在曲线上，通过通项公式与数列的和关系，然后求解数列的通项公式；‎ ‎（2）化简数列，利用数列的裂项相消法，求解数列的前n项和．‎ ‎【详解】‎ 解（1）因为点在曲线上，所以，‎ 当时，‎ 时，，满足上式， ‎ 所以  ‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法，考查裂项相消法求和，考查递推关系式的应用，数列与曲线相结合，考查计算能力．‎ ‎21．椭圆C：的离心率为，且过点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点M作两条互相垂直的直线，，椭圆C上的点P到，的距离分别为，，求的最大值，并求出此时P点坐标．‎ ‎【答案】（1）（2）最大值为，点 ‎【解析】（1）利用椭圆的离心率，然后求解a，b，即可得到椭圆C的方程；‎ ‎（2）设，结合，然后求解的表达式，然后求解表达式的最大值，然后求解求解P点坐标．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意知，，‎ 所以椭圆方程为：‎ ‎（2）设，因为，则 因为，所以 因为，‎ 所以当时，取得最大值为，此时点 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）求出函数的导数，通过a的值，当时，导函数的符号，推出的单调性；‎ ‎（2）当时，求出导函数，然后判断导函数的符号，推出单调区间．‎ ‎【详解】‎ 解（1），‎ 当时，．‎ 令得；令，得；‎ 所以在单调递增，在单调递减 当时，令，得；‎ 令，得或；‎ 所以在单调递增，在和单调递减 ‎ 综上，当时，在单调递增，在单调递减；‎ 当时，在单调递增，在和单调递减 ‎（2）当时，  ‎ 令，则．‎ 当时，，单调递减；‎ 当时,，单调递增；‎ 所以因此 ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的应用，考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．‎