数学理卷·2018届山东省济南外国语学校高三12月考试（2017

数学理卷·2018届山东省济南外国语学校高三12月考试（2017

高三数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.定义一种运算如下：，则复数（是虚数单位）的模长为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（ ）‎ A．逆命题为：若，中至少有一个不小于1，则，为假命题 B．否命题为：若，则，都小于1，为假命题 C．逆否命题为：若，都小于1，则，为真命题 D．“”是“，中至少有一个不小于1”的必要不充分条件 ‎ ‎4.“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若不存在所出的拳相同，则为和局．小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知函数，则是（ ）‎ A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递增 ‎ ‎7.设等差数列的前项和为，点在直线上，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.若，则，，，的大小关系为（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎9.函数的图象向左平移（）个单位后关于对称，且两相邻对称中心相距，则函数在上的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知定义在上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知是定义在上的函数，是的导函数，且满足，，则的解集为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.某程序框图如图所示，若，则该程序运行后，输出的值为 ．‎ ‎14.已知函数（为常数），且，则 ．‎ ‎15.在中，角，，的对边分别是，，，若，，则面积是 ．‎ ‎16.若函数满足：对图象上任意点总存在点，也在图象上，使得成立，称函数是“特殊对点函数”．给出下列五个函数：‎ ‎①；②；③；④；⑤．‎ 其中是“特殊对点函数”的序号是 ．（写出所有正确的序号）‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令设数列的前项和，求．‎ ‎18.在，已知，．‎ ‎（1）求与角的值；‎ ‎（2）若角，，的对边分别为，，，且，求，的值．‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）若函数的图象关于直线对称，且，求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．‎ ‎20.某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：‎ 课程 数学1‎ 数学2‎ 数学3‎ 数学4‎ 数学5‎ 合计 选课人数 ‎180‎ ‎540‎ ‎540‎ ‎360‎ ‎180‎ ‎1800‎ 为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取10人进行分析．‎ ‎（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率；‎ ‎（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为，选择数学1的人数为，设随机变量，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎21.设是数列（）的前项和，已知，，设．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．‎ 高三数学试题（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.③④⑤ ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）设数列的公差为，数列的公比为，‎ 由，，‎ 得解得 ‎∴，．‎ ‎（2）由，，得，‎ 则为奇数时，，为偶数时，，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎18.解：（1）∵，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∵，且，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由正弦定理得，∴，‎ 另由，得 ，‎ 解得或（舍去），‎ ‎∴，．‎ ‎19.解：（1）函数，‎ ‎∵函数的图象关于直线对称，‎ ‎∴且，∴（），‎ 由解得（），‎ 函数的单调增区间为（）．‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，即函数单调递增；‎ ‎，即函数单调递减．‎ 又，∴当或时，函数有且只有一个零点，‎ 即或，‎ ‎∴．‎ ‎20.解：抽取的10人中选修数学1的人数应为人，‎ 选修数学2的人数应为人，选修数学3的人数应为人，‎ 选修数学4的人数应为人，选修数学5的人数应为人．‎ ‎（1）从10人中选3人共有种选法，并且这120种选法出现的可能性是相同的，有2人选择数学2的选法共有种，有3人选择数学2的选法有种，所以至少有2人选择数学2的概率为．‎ ‎（2）的可能取值为0,1,2,3，的可能取值为0,1，‎ 的可能取值为，0,1,2,3．‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，‎ ‎∴的分布列 ‎∴．‎ ‎21.解：（1）∵，∴，‎ 即，则，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴是首项为1，公比为2的等比数列，‎ 故数列的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 设，①‎ 则，②‎ ‎①②得：，‎ 所以，‎ ‎∴．‎ ‎22.解：（1）函数定义域为，．‎ ‎，解得，，‎ 列表：‎ 极大值 极小值 所以时，取极大值；当时，取极小值．‎ ‎（2），‎ 当时，易知函数只有一个零点，不符合题意；‎ 当时，在上，，单调递减；‎ 在上，，单调递增；‎ ‎，且，→，→，‎ 所以函数有两个零点．‎ 当时，在和上，，单调递增；在上，单调递减；‎ ‎，函数至多有一个零点，不符合题意．‎ 当时，在和上，单调递增；在上，单调递减；‎ ‎，函数至多有一个零点，不符合题意．‎ 综上：实数的取值范围是．‎