2017-2018学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（实验班）下学期期末考试数学（理）试题（Word版）
滁州市定远县育才学校 2017-2018 学年度第二学期期末考试卷
高二（实验班）理科数学
第 I 卷（选择题 60 分）
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。)
1.已知全集 U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0
0，
则使函数 g(x)＝f(x)＋x－m 有零点的实数 m 的取值范围是
( )
A.[0，1) B.(－∞，1)
C.(－∞，1]∪(2，＋∞) D.(－∞，0]∪(1，＋∞)
11.下面为函数 y＝xsin x＋cos x 的递增区间的是( )
A.
π
2
，3π
2 B.(π，2π)
C.
3π
2
，5π
2 D.(2π，3π)
12.已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y＝f′(x)的
图象如图所示，则该函数的图象是( )
第 II 卷（非选择题 90 分）
二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。)
13.设函数 f(x)＝
1，x>0，
0，x＝0，
－1，x<0，
g(x)＝x2f(x－1)，则函数 g(x)的递减区间是________.
14.设集合 A＝ x∈N|1
4
≤2x≤16 ，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，则 A∩B 中元素的个数是
________.
15.已知命题 p：
∃
x∈R，ex－mx＝0，q：
∀
x∈R，x2－2mx＋1≥0，若 p∨( q)为假命
题，则实数 m 的取值范围是________.
16.设函数 f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的 x∈R，不等式 f(x)≥g(x)恒成立，则实
数 a 的取值范围是________.
三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分。)
17. (本小题 12 分)已知幂函数 f(x)＝x(m2＋m)
－1
(m∈N*)的图象经过点(2， 2)，试确定 m
的值，并求满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围.
18. (本小题 12 分)已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R).
(1)若函数 f(x)的最小值是 f(－1)＝0，且 c＝1，
F(x)＝ f（x），x>0，
－f（x），x<0，
求 F(2)＋F(－2)的值；
(2)若 a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1 在区间(0，1]上恒成立，试求 b 的取值范围.
19. (本小题 12 分)已知 f(x)＝
1
ax－1
＋1
2 x3(a>0，且 a≠1).
(1)讨论 f(x)的奇偶性；
(2)求 a 的取值范围，使 f(x)>0 在定义域上恒成立.
20. (本小题 12 分)设 f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且 f(1)＝2.
(1)求 a 的值及 f(x)的定义域；
(2)求 f(x)在区间 0，3
2 上的最大值.
21. (本小题 12 分)设函数 f(x)＝ax－b
x
，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 7x－
4y－12＝0.
(1)求 f(x)的解析式；
(2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成的三角形面积为定值，
并求此定值.
22. (本小题 10 分)已知 f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数 f(x)的图象；
(2)求函数 f(x)的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合 M＝{m|使方程 f(x)＝m 有四个不相等的实根}.
育才学校 2017-2018 学年度第二学期期末考试卷
高二(理)数学答案解析
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。)
1. 答案 D
2. 答案 B
3. 答案 B
4. 答案 D
解析 因为 f
－π
3 ＝f
π
3 ＝2sinπ
3
＝ 3，f(4)＝log24＝2，所以 f
－π
3 ＋f(4)＝ 3＋2.
5. 答案 C
解析 由 f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.
当 a<1 时，有 3a－1≥1，∴a≥2
3
，∴2
3
≤a<1.
当 a≥1 时，有 2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥2
3.
6. 答案 B
解析 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由 f(x)＋f(x－8)≤2，可得 f[x(x－8)]≤f(9)，因为 f(x)
是定义在(0，＋∞)上的增函数，
所以有
x>0，
x－8>0，
x（x－8）≤9，
解得 82
5
，∴b2
5
，
∴a>c，∴b0
的大致图象(图略).
观察它与直线 y＝m 的交点，得知当 m≤0 或 m>1 时，有交点，即函数 g(x)＝f(x)＋x
－m 有零点.
11. 答案 C
12. 答案 B
二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。)
13. 答案 [0，1)
解析 由题意知 g(x)＝
x2 （x>1），
0 （x＝1），
－x2 （x<1），
函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的减区间是[0，1).
14. 答案 1
解析 由1
4
≤2x≤16，x∈N，
∴x＝0，1，2，3，4，即 A＝{0，1，2，3，4}.
又 x2－3x>0，知 B＝{x|x>3 或 x<0}，
∴A∩B＝{4}，即 A∩B 中只有一个元素.
15. 答案 [0，1]
解析 若 p∨( q)为假命题，则 p 假 q 真.
由 ex－mx＝0 得 m＝ex
x
，设 f(x)＝ex
x
，
则 f′(x)＝ex·x－ex
x2
＝（x－1）ex
x2 .
当 x＞1 时，f′(x)＞0，此时函数单调递增；
当 0＜x＜1 时，f′(x)＜0，此时函数单调递减；
当 x＜0 时，f′(x)＜0，此时函数单调递减.
由 f(x)的图象及单调性知当 x＝1 时，f(x)＝ex
x
取得极小值 f(1)＝e，所以函数 f(x)＝ex
x
的
值域为(－∞，0)∪[e，＋∞)，所以若 p 是假命题，则 0≤m＜e；
命题 q 为真命题时，有Δ＝4m2－4≤0，则－1≤m≤1.
所以当 p∨( q)为假命题时，m 的取值范围是[0，1].
16. 答案 [－1，＋∞)
解析 如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，
即 a≥－1 时，不等式 f(x)≥g(x)恒成立，因此 a 的取值范围是[－1，＋∞).
三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分。)
17. 解 幂函数 f(x)的图象经过点(2， 2)，
∴ 2＝2(m2＋m)
－1，即 2
1
2
＝2(m2＋m)
－1
.
∴m2＋m＝2.解得 m＝1 或 m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.∴f(x)＝x
1
2
，
则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数.
由 f(2－a)>f(a－1)得
2－a≥0，
a－1≥0，
2－a>a－1，
解得 1≤a<3
2.∴a 的取值范围为 1，3
2 .
18. 解 (1)由已知 c＝1，a－b＋c＝0，且－ b
2a
＝－1，
解得 a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
（x＋1）2，x>0，
－（x＋1）2，x<0.
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由 a＝1，c＝0，得 f(x)＝x2＋bx，
从而|f(x)|≤1 在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1 在区间(0，1]上恒成立，
即 b≤1
x
－x 且 b≥－1
x
－x 在(0，1]上恒成立.
又1
x
－x 的最小值为 0，－1
x
－x 的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.
故 b 的取值范围是[－2，0].
19. 解 (1)由于 ax－1≠0，则 ax≠1，得 x≠0，
所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}.
对于定义域内任意 x，有
f(－x)＝
1
a－x－1
＋1
2 (－x)3
＝
ax
1－ax
＋1
2 (－x)3
＝
－1－ 1
ax－1
＋1
2 (－x)3
＝
1
ax－1
＋1
2 x3＝f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)由(1)知 f(x)为偶函数，
∴只需讨论 x>0 时的情况，当 x>0 时，要使 f(x)>0，即
1
ax－1
＋1
2 x3>0，
即 1
ax－1
＋1
2>0，即 ax＋1
2（ax－1）>0，则 ax>1.
又∵x>0，∴a>1.
因此 a>1 时，f(x)>0.
20. 解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，
∴a＝2.
由 1＋x>0，
3－x>0，
得－1＜x＜3，
∴函数 f(x)的定义域为(－1，3).
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当 x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当 x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数 f(x)在 0，3
2 上的最大值是 f(1)＝log24＝2.
21. 解 (1)方程 7x－4y－12＝0 可化为 y＝7
4x－3，
当 x＝2 时，y＝1
2.又 f′(x)＝a＋b
x2
，于是
2a－b
2
＝1
2
，
a＋b
4
＝7
4
，
解得 a＝1，
b＝3.
故 f(x)＝x－3
x.
(2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点，
由 y′＝1＋3
x2
知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝ 1＋3
x20 (x－x0)，即 y－ x0－3
x0
＝ 1＋3
x20 (x－x0).令 x＝0，得 y＝－6
x0
，从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标为 0，－6
x0 .
令 y＝x，得 y＝x＝2x0，从而得切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x0，2x0).
所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形的面积为 S＝1
2
|－6
x0||2x0|
＝6.
故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为定值，且此
定值为 6.
22. 解 (1)当 x2－4x＋3≥0 时，x≤1 或 x≥3，
∴f(x)＝ x2－4x＋3，x≤1 或 x≥3，
－x2＋4x－3，1
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