数学理卷·2017届北京市西城区高三4月统一测试（一模）（2017

数学理卷·2017届北京市西城区高三4月统一测试（一模）（2017

‎ 西城区高三统一测试 ‎ 数学（理科） 2017.4‎ ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知全集，集合，，那么 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2．在复平面内，复数的对应点位于 ‎（A）第一象限 ‎（B）第二象限 ‎（C）第三象限 ‎（D）第四象限 ‎3．函数的最小正周期是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎4．函数的零点个数为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎5．在中，点满足，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎6．在正方形格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎ ‎ ‎7．数列的通项公式为．则“”是“为递增数列”的 ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎8．将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2．考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为，则的最大值为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．在的展开式中，的系数为____．（用数字作答）‎ ‎10．设等比数列的前项和为．若，，则____；____．‎ ‎11．执行如右图所示的程序框图，输出的值为____． ‎ ‎12．曲线（为参数）与直线相交于两点， ‎ 则____．‎ ‎13．实数满足，．若，则的取值范围是____． ‎ ‎14． 如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动．‎ 平面区域由所有满足的点组成，则的面积是____；四面体的 体积的最大值是____．‎ ‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 在△中，角的对边分别为，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点． ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）若平面与棱交于点，求的值．‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．‎ 现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 考前预估难度 ‎0.9‎ ‎0.8‎ ‎0.7‎ ‎0.6‎ ‎0.4‎ 测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 实测答对人数 ‎16‎ ‎16‎ ‎14‎ ‎14‎ ‎4‎ ‎（Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；‎ ‎（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 已知函数．设为曲线在点处的切线，其中． ‎ ‎（Ⅰ）求直线的方程（用表示）；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，直线分别与直线和轴交于两点,求△的面积的最小值．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 如图，已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点．， ．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，为椭圆上一点，的中点为．直线与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点．求证：．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 如图，将数字全部填入一个行列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为，第二行填入的数字依次为．‎ 记．‎ ‎（Ⅰ）当时，若，，，写出的所有可能的取值；‎ ‎（Ⅱ）给定正整数．试给出的一组取值，使得无论填写的顺序如何，都只有一个取值，并求出此时的值；‎ ‎（Ⅲ）求证：对于给定的以及满足条件的所有填法，的所有取值的奇偶性相同．‎ ‎ 西城区高三统一测试 ‎ 高三数学（理科）参考答案及评分标准 ‎ 2017.4‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．A 2．A 3．B 4．C ‎ ‎5．D 6．C 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9． 10．； 11．‎ ‎12． 13． 14．；‎ 注：第10，14题第一空2分，第二空3分. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. ‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ） 由 ，‎ 得 ． [ 1分]‎ 由正弦定理得 ． [ 3分]‎ ‎ 所以 ． [ 4分]‎ 因为 ， [ 5分]‎ 所以 ． [ 6分]‎ ‎（Ⅱ） [ 7分]‎ ‎ [ 8分]‎ ‎． [ 9分]‎ 因为 ， 所以 ， [10分]‎ 所以 ， [11分]‎ 所以 ， [12分]‎ 所以 的取值范围是． [13分]‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）设，则为底面正方形中心．连接．‎ 因为 为正四棱锥，‎ 所以 平面． [ 1分]‎ 所以 ． [ 2分]‎ 又 ，且， [ 3分]‎ 所以 平面． [ 4分]‎ ‎（Ⅱ）因为，，两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系． [ 5分]‎ 因为 ，所以 ．‎ 所以 ． [ 6分]‎ 设 ．‎ 所以 ，，，，，，．‎ 所以 ，． [ 7分]‎ 所以 ． ‎ 即 异面直线与所成角的余弦值为． [ 9分]‎ ‎（Ⅲ）连接．‎ 设 ，其中 ，则 ， ‎ ‎ [10分]‎ 所以 ．‎ 设平面的法向量为，又，所以 ‎ 即 ‎ 所以 ．令，，所以． [12分]‎ 因为 平面，所以， [13分]‎ 即 ，‎ 解得 ， 所以． [14分]‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为． [ 2分]‎ 所以，估计240人中有人实测答对第5题． [ 3分]‎ ‎（Ⅱ）的可能取值是0，1，2． [ 4分]‎ ‎； ； ． [ 7分]‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ [ 8分]‎ ‎． [10分]‎ ‎（Ⅲ）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．‎ ‎ 定义统计量，其中为第题的预估难度．并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理． [11‎ 分]‎ ‎ ． [12分]‎ 因为 ，‎ 所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]‎ 注：本题答案不唯一，学生可构造其它统计量和临界值来进行判断．如“预估难度与实测 难度差的平方和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的和”，“预估难度与实测难度差的绝 对值的平均值”等，学生只要言之合理即可．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）对求导数，得， [ 1分]‎ 所以切线的斜率为， [ 2分]‎ 由此得切线的方程为：， ‎ 即. [ 4分]‎ ‎（Ⅱ）依题意，切线方程中令，‎ 得 . [ 5分]‎ 所以 ，.‎ 所以 ‎ ‎，. [ 7分]‎ 设 ，. [ 8分]‎ 则 . [10分]‎ 令 ，得或． ‎ ‎，的变化情况如下表：‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以 在单调递减；在单调递增， [12分]‎ 所以 ， ‎ 从而 △的面积的最小值为1． [13分]‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．依题意，得 ‎ ‎，． [ 2分]‎ 解得 ，．‎ 所以 ， ‎ 所以椭圆的方程是 ． [ 4分]‎ ‎（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 ．设的中点，．‎ 设直线的方程为：，将其代入椭圆方程，整理得 ‎， [ 6分]‎ 所以 ． [ 7分]‎ 所以 ，，‎ 即 ． [ 8分]‎ 所以直线的斜率是 ， [ 9分]‎ 所以直线的方程是 ．令，得． [10分]‎ 直线的方程是 ．令，得． [11分]‎ 由，得直线的斜率是 ，所以，记垂足为；‎ 因为直线的斜率是 ，所以，记垂足为． [13分]‎ 在和中，和都与互余，‎ ‎ 所以 ． [14分]‎ 解法二：由（Ⅰ）得 ．设，其中．‎ 因为的中点为，所以 ． [ 6分]‎ 所以直线的斜率是 ， [ 7分]‎ 所以直线的方程是 ．令，得． [ 8分]‎ 直线的方程是 ．令，得． [ 9分]‎ 由，得直线的斜率是 ， [10分]‎ 因为 ，‎ 所以，记垂足为； [12分]‎ 同理可得 ，‎ 所以，记垂足为． [13分]‎ 在和中，和都与互余，‎ ‎ 所以 ． [14分]‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ） 的所有可能的取值为3，5，7，9. [ 3分]‎ ‎（Ⅱ） 令 ，则无论填写的顺序如何，都有．‎ ‎ [ 5分]‎ 因为 ，‎ 所以 ，． [ 6分]‎ 因为 ，‎ 所以 ． [ 8分]‎ 注：，或均满足条件．‎ ‎（Ⅲ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变． ‎ 不妨设，记，，其中．‎ 则 ． [ 9分]‎ 因为 ，‎ 所以 与具有相同的奇偶性． [11分]‎ 又因为 与具有相同的奇偶性，‎ 所以 与的奇偶性相同，‎ 所以 的所有可能取值的奇偶性相同． [13分]‎ 解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变． ‎ 考虑如下表所示的任意两种不同的填法，，，不妨设，，其中 ． [ 9分]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 对于任意，‎ ① 若在两种填法中都位于同一行，‎ 则在的表达式中或者只出现在中，或只出现在 中，且出现两次，‎ 则对而言，在的结果中得到． [11分]‎ ② 若在两种填法中位于不同行，‎ 则在的表达式中在与中各出现一次，‎ 则对而言，在的结果中得到．‎ 由 ① ② 得，对于任意，必为偶数．‎ 所以，对于表格的所有不同的填法，所有可能取值的奇偶性相同． [13分]‎