【数学】浙江省宁波市五校（奉化中学、宁波中学、北仑中学等）2020届高三适应性考试试题

【数学】浙江省宁波市五校（奉化中学、宁波中学、北仑中学等）2020届高三适应性考试试题

浙江省宁波市五校（奉化中学、宁波中学、北仑中学等）‎ ‎2020届高三适应性考试数学试题 参考公式：‎ 若事件，互斥，则 柱体的体积公式 若事件，相互独立，则 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 若事件在一次试验中发生的概率是，则次 锥体的体积公式 独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 ‎ 球的表面积公式 台体的体积公式 球的体积公式 ‎ 其中分别表示台体的上、下底面积，表示 其中表示球的半径 台体的高 ‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知全集，集合则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若展开式的各项二项式系数和为512，则展开式中的常数项（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若，则“”是“且”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎4.已知函数若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知某函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是（其中为自然对数的底）（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎6.已知非零实数的绝对值全不相等，那么满足“”的（ ）‎ A.仅有一组 B.仅有二组 C.仅有三组 D.有无穷多组 ‎7.已知是等比数列，，那么其前5项和的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.一个袋子中放有大小、形状均相同的小球，其中红球个、黑球个，现从袋子里随机等可能取出小球.当有放回依次取出个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出2个小球时，记取出的红球数为.则（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ，‎ ‎9.设函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知点为抛物线的焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与抛物线交于两点，为坐标原点的面积为，线段的垂直平分线与轴交于点，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，共36分。多空题每小题6分，单空题每小题4分。‎ ‎11.已知复数(其中为虚数单位)，那么______，______.‎ ‎12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________.‎ ‎13.有标号分别为1，2，3，4，5，6的6张抗疫宣传海报，要求排成2行3列，则共有_______种不同的排法，如果再要求每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小，则共有_______种不同的排法.‎ ‎14.在中，，以为边在平面内向外作正方形，使在的两侧.（1）当时，________；（2）的最大值为_______.‎ ‎15.若过双曲线焦点且与渐近线垂直的弦的长等于焦点到渐近线距离的倍，则此双曲线的离心率为__________.‎ ‎16.以点为圆心作圆，过点作圆的切线，切线长为，直线（其中为坐标原点）交圆于两点，当点在优弧上运动时，的最大值为_________.‎ ‎17.已知所在平面内的两点，满足：，‎ ‎，是边上的点，若，，，，则__________.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎18.（本小题满分14分）‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)求的振幅、最小正周期和初相位；‎ ‎(Ⅱ)将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，求的取值范围.‎ ‎19.（本小题满分15分）‎ 如图，平面平面，四边形是梯形，//,四边形是矩形，，，是上的动点. ‎ ‎(Ⅰ)试确定点的位置，使//平面；‎ ‎(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.（本小题满分15分）‎ 已知数列的前项积为，为等差数列，且.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ ‎ ‎ ‎21.已知离心率为的椭圆的短轴的两个端点分别为，为椭圆上异于的动点，且的面积最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）射线与椭圆交于点，过点作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点和点，求的面积的最大值.‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若的值域为，求实数的取值范围.‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C A A B C D C B D A 二、填空题：本大题共7小题，共36分。多空题每小题6分，单空题每小题4分。‎ ‎11. 1 12 . 13. 720 90 ‎ ‎14. 15. 16. 17. ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎18.（本小题满分14分）‎ 解：(Ⅰ) ‎ ‎，--------------4分 所以的振幅为，最小正周期为，初相位为. ---------------------------------------7分 ‎(Ⅱ),-------------------------------10分 当时，，，所以.----------14分 ‎19.（本小题满分15分）‎ ‎(Ⅰ)当时，//平面.---------------------------------1分 ‎ 证明如下：‎ 连结交于，连结，由于，所以,所以，‎ 所以//，又平面，又平面，所以//平面.‎ ‎ -----------------------------------------------------------------------------6分 ‎(Ⅱ)因为平面平面，，平面平面，‎ 所以平面， ------------------------------------------------7分 以为原点，，的方向为轴的正方向，建立如图空间直角坐标系.‎ ‎-------------------------------------------------------------------------------------8分 设，则，，，，，则，，，---------------10分 设平面的一个法向量为，则由得，取得，--------------------------------------------------------12分 设直线与平面所成的角为，则 ‎，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为. ----------------------------15分 ‎20.（本小题满分15分）‎ ‎（Ⅰ）由题意知，，又因为为等差数列，且，所以公差，‎ ‎--------------------------------------------------------------------------------2分 所以. ----------------------------------------------------------4分 由知，当时，, ---------------------6分 又，满足上式，所以. --------------------------------------7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，， -------------------------9分 下面证明 . ----------------------------------------------10分 令，则.令，则，当时，，所以在上单调递增，所以，即.‎ 所以. ----------------------------------------------------13分 所以，，‎ 即. -------------------------------------15分 ‎21.（本小题满分15分）‎ ‎（Ⅰ）因为的面积最大值为， 所以，即 因为椭圆的离心率为，所以，‎ 又，求得，----------------4分 所以椭圆的方程为.--- -------------------5分 ‎（Ⅱ）由求得，-----------------------------------------------------6分 设与联立消去，整理得 ‎，---------------------------------------------7分 因为和是上述方程的两个根，所以，‎ 所以，-----------------------------8分 同理可求得，，-------------------9分 所以直线的斜率，设，与联立，消去得，，-------------------------------10分 由，解得，-------------11分 ‎，点到直线的距离，所以的面积 ‎，------14分 当且仅当时取等号，此时的面积的最大值为. ----------------15分 ‎22.（本小题满分15分）‎ ‎（Ⅰ）当时，，所以， -----------------1分 当时，，单调递减，此时，，则单调递增； -----------------------------------------------------------------------2分 当时，，单调递增，‎ ‎①当时，，，则单调递减；‎ ‎②当时，，，则单调递增；-----------------4分 综上所述，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎------------------------------------------------------------------------------------5分 ‎（Ⅱ）由题意知必有解，即有解，即有解，‎ ‎-------------------------------------------------------------------------------6分 设，则，------------------7分 令得或，令得或，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减；在上单调递减，在上单调递增，且，， ------------------------------------------9分 当时，恒成立，所以，当时，，‎ 所以；当时，，所以.‎ 所以或，所以或.--------------------------11分 下面证明，先证，设，则，‎ 当时，，递减；当时，，递增.‎ 所以，所以. --------------------------------------12分 当时，若，则，而的值域是，且连续，所以；----------13分 当时,‎ 若,,‎ 由于时，，当时，，，又因为连续，所以 .------------------------------------ ------------------14分 综上所述，或.-----------------------------------------15分 试题卷勘误:‎ 第9题，“”改为“”.‎ 第15题，“…与渐近线垂直…”改为“…与实轴垂直…”.‎ 参考答案勘误：‎ 第5题正确答案：答案C.‎ 第17题正确答案：.‎ 第22题，倒数第6行中的“…，”改为“…，”‎ 倒数第2行与倒数第5行中的“”均改为“”.‎