2017-2018学年陕西省咸阳市高二上学期期末数学理试题（解析版）

2017-2018学年陕西省咸阳市高二上学期期末数学理试题（解析版）

咸阳市2017—2018学年度第一学期期末教学质量检测 高二数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.‎ ‎1. 设，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，‎ ‎∴，故选项A,B,C不正确，D正确．选D．‎ ‎2. 命题“若则”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据四种命题真假之间的关系进行判断即可．‎ 解：若a＞2，则a＞1，成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，‎ 逆命题为：若a＞1，则a＞2，为假命题．，当a=1.5时，满足a＞1，但a＞2不成立，‎ 则否命题为假命题，‎ 故真命题的个数为2个，‎ 故选：B．‎ 考点：四种命题的真假关系．‎ ‎3. 在等比数列中，若，则的前5项和等于（ ）‎ A. 30 B. 31 C. 62 D. 64‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知等比数列中，若， 设公比为 ，解得 ‎ 则此数列的前5项的和 ‎ 故选C ‎4. 在长方体中，为与的交点，若，则下列向量与相等的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，由向量的三角形法则可得，即 ，故选A．‎ ‎5. 如果，且，那么的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，‎ ‎∴，且．‎ 又，‎ ‎∴．选B．‎ ‎6. “”是“”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由可得，所以当成立时可得到成立，反之不成立，所以是的必要不充分条件，选B.‎ ‎7. 若不等式组有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】原不等式组即为，若使得不等式组有解，结合数轴可得，解得．选D．‎ ‎8. 已知，则函数的最小值为（ ）‎ A. 1 B. 4 C. 7 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立．选C．‎ 点睛：利用基本不等式求最值的类型及方法 ‎(1)若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．‎ ‎(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．‎ ‎(3)多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号，若等号不成立，一般利用函数单调性求解．‎ ‎9. 已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的周长为 （ ）‎ A. 15 B. 18 C. 21 D. 24‎ ‎【答案】A ‎【解析】设的三边长分别为，‎ 由题意得，‎ 解得，‎ ‎∴三角形的周长为．选A．‎ ‎10. 方程的两根分别在与内，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，‎ ‎∵方程的两根分别在与内，‎ ‎∴，解得．选A．‎ ‎11. 设双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，得，即，‎ 故双曲线的渐近线方程为．‎ 由题意得，整理得，‎ ‎∴．选B．‎ 点睛：‎ 求双曲线的离心率时，将条件中给出的提供的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．‎ ‎12. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”.意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等”，则其中分得的钱数最多的是（ ）‎ A. 钱 B. 1钱 C. 钱 D. 钱 ‎【答案】D ‎【解析】设5人所得钱数分别为，则成等差数列，令其公差为，‎ 由题意得，即，解得．‎ 所以数列为递减数列，最大．‎ 即分得的钱数最多的是钱．选D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知向量，若，则__________．‎ ‎【答案】-7‎ ‎【解析】∵，，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 答案：‎ ‎14. 已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若是抛物线的准线与轴的交点，则__________．‎ ‎【答案】45°或 ‎【解析】过点M作准线的垂线，垂足为N，由抛物线的定义可得,‎ 又，‎ ‎∴四边形为正方形，‎ ‎∴．‎ 答案：45°或 ‎15. 设满足的约束条件是，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．‎ 由题意可得点A的坐标为（2,2）．‎ ‎∴，即目标函数的最大值为6．‎ 答案：6‎ 点睛：利用线性规划求目标函数最值的步骤 ‎(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l；‎ ‎(2)平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数l和可行域边界的斜率的大小比较；‎ ‎(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．‎ ‎16. 如图，一个底面半径为2的圆柱被一个与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的半焦距__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，‎ 由题意可得，截面椭圆的短轴长，长轴长为，‎ ‎∴，‎ ‎∴半焦距．‎ 答案：‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知动圆在运动过程中，其圆心到点与到直线的距离始终保持相等.‎ ‎（1）求圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线与点的轨迹交于两点，且，求的值．‎ ‎【答案】(1) 圆心的轨迹方程为;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据题意及抛物线的定义可得圆心的轨迹方程为．（2）将直线方程与抛物线方程联立消元后得到一二次方程，根据二次方程根据系数的关系和弦长公式可得．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵圆心到点与到直线的距离相等，‎ ‎∴圆心的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线，‎ 设其方程为，‎ 则，解得．‎ ‎∴圆心的轨迹方程为．‎ ‎（2）由消去整理得，‎ ‎∵直线与抛物线交于两点，‎ ‎∴，解得．‎ 设，‎ 则，‎ 由题意得 ‎，‎ 解得，‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎18. 已知是等比数列，，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）设等比数列的公比为，根据条件列出关于的方程，可解得，从而可得数列的通项公式．（2）由（1）可得，由等差数列的求和公式可得．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设等比数列的公比为，‎ 则，‎ ‎∵成等差数列，‎ ‎∴，即，‎ 整理得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴． ‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎∴．‎ 即数列的前项和．‎ ‎19. 已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆；命题方程表示的曲线是双曲线．‎ ‎（1）若“”为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“”为假命题、且“”为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 的取值范围为;(2) 实数的取值范围为.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 先求出当命题、命题分别为真命题时的取值范围．（1）由“”为真命题，可得均为真命题，由此得到关于的不等式组，解不等式组可得结果．（2）由“”为假命题、且“”为真命题，则一真一假，分类讨论可得的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）若为真，即方程表示焦点在轴上的椭圆，可得；‎ 若为真，即方程表示的曲线是双曲线，‎ 可得，‎ 解得或；‎ ‎∵“”为真命题，则均为真命题，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴实数的取值范围为；‎ ‎（2）若“”为假命题、且“”为真命题，则一真一假，‎ ‎①若真假，则，解得；‎ ‎②若假真，则，解得，‎ 综上或．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ 点睛：根据命题的真假求参数的取值范围的方法 ‎(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；‎ ‎(2)判断命题p，q的真假性；‎ ‎(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．‎ ‎20. 在中，角的对边分别是，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】(1) ;(2) 的面积.‎ ‎【解析】（1）由正弦定理得： ‎ 又∵ ∴‎ 即 ‎ 又∵ ∴，又A是内角 ∴ ‎ ‎（2）由余弦定理得： ‎ ‎∴ 得： ∴ ‎ ‎∴‎ ‎21. 已知椭圆的一个焦点为，左、右顶点分别为，经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）记与的面积分别为和，求关于的表达式，并求出当为何值时有最大值．‎ ‎【答案】(1) 椭圆的方程为;(2) 当时，有最大值.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意得，又，故可得，从而可得椭圆的方程．（2）由题意可设直线方程为，与椭圆的方程联立消元后可得，由根与系数的关系可得．结合图形可得=，代入后可得，最后根据基本不等式求最大值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵椭圆的焦点为，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）依题意知，设直线方程为，‎ 由消去整理得 ‎，‎ ‎∵直线与椭圆交于C,D两点，‎ ‎∴ ‎ 且，‎ 由题意得 ‎，‎ ‎∵，当且仅当，即时等号成立，‎ ‎∴当时，有最大值．‎ 点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 ‎(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；‎ ‎(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下方面考虑：‎ ‎①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎③利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎22. 在如图所示的多面体中，平面 是的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）平面与平面所成二面角的余弦值为.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵平面平面平面，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴两两垂直，‎ 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由已知，得是平面的一个法向量，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∵，‎ 由，得，‎ 令，得.‎ ‎∴，‎ 由图形知，平面与平面所成的二面角为锐角， ‎ ‎∴平面与平面所成二面角的余弦值为．‎