2018-2019学年贵州省遵义航天高级中学高一下学期第一次（3月）月考数学试题（解析版）

2018-2019学年贵州省遵义航天高级中学高一下学期第一次（3月）月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年贵州省遵义航天高级中学高一下学期第一次（3月）月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合,,则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用数轴可得．故选A．‎ ‎2．函数的零点所在的区间是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，所以函数的零点所在的区间是 ‎【考点】函数零点存在性定理 ‎3．已知，则的值是（ ）‎ A． B． C．-2 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由已知可得,故.应选A.‎ ‎【考点】同角三角函数的关系及运用.‎ ‎4．已知向量，向量垂直，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量数量积坐标表示列方程，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为向量垂直，‎ 所以，选A.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)向量平行：，,‎ ‎(2)向量垂直：，‎ ‎(3)向量加减乘： ‎ ‎5．在中，角所对的边分别为，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据正弦定理得，再根据余弦定理列方程解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以由正弦定理得,‎ 因此，选C.‎ ‎【点睛】‎ 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎6．设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先判断各数取值范围，再根据范围确定大小关系.‎ ‎【详解】‎ ‎,选B.‎ ‎【点睛】‎ 比较函数值的大小：首先根据函数的单调性，判断函数值的取值范围，再根据范围确定大小关系.‎ ‎7．在一座50m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为( )‎ A．50(1＋) m B．50(1＋) m C．50() m D．50() m ‎【答案】B ‎【解析】根据仰角与俯角概念列式求解.‎ ‎【详解】‎ 如图,由题意得这座塔的高为,选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查仰角与俯角概念以及解三角形，考查基本求解能力，属基本题.‎ ‎8．在中，已知,则的形状是（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】由正弦定理与余弦定理化角为边得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以，‎ 因此或，即的形状是等腰三角形或直角三角形，选D.‎ ‎【点睛】‎ 判断三角形形状的方法 ‎①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．‎ ‎9．已知数列中，，又数列是等差数列，则等于（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据条件得等差数列公差以及通项公式，代入解得.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列公差为，则，‎ 从而 ‎，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式，考查基本求解能力，属基本题.‎ ‎10．在中， ， ， 是的中点， ，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设 ，则 ‎ 选B.‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎11．在等差数列中，若则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得.‎ ‎12．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为,若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据条件以及正弦定理解得值，再代入得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 从而的面积为，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理以及新定义的理解，考查基本分析化解能力，属基本题.‎ 二、填空题 ‎13．已知均为锐角，且满足则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据同角三角函数关系得，再根据两角差的余弦公式得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为均为锐角，且所以，‎ 因此 ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数关系以及两角差的余弦公式，考查基本求解能力，属基本题.‎ ‎14．已知函数，那么不等式的解集为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据分段函数分类讨论，解不等式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得或，所以或，或，即解集为.‎ ‎【点睛】‎ 分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.‎ ‎15．数列的通项公式为，则=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先确定周期，再研究一个周期内和值变化规律，最后结合周期求结果.‎ ‎【详解】‎ 因为的周期为4，‎ 所以,‎ 因此 ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数周期以及数列求和，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b=___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.‎ ‎【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式 ‎【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期.‎ ‎（2）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析：(1)利用二倍角公式，诱导公式，化一公式进行化简为,利用;‎ ‎(2)利用左加右减得到的图像，求的范围，再根据的图像，计算的值域.‎ 试题解析：解：由题设可得 ‎（1）函数最小正周期为2‎ ‎（2）易知 由 ‎ 值域为 ‎【考点】1.三角函数的化简；2.性质；3.图像变换.‎ ‎18．在中，角所对的边分别为，且满足，．‎ ‎（Ⅰ）求的面积；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式由已知可得；根据向量的数量积运算，由得，再由三角形面积公式去求的面积．（2）由（1）知，又，解方程组可得或，再由余弦定理去求的值．‎ 试题解析：（1）因为，所以 又，所以，由，得，所以 故的面积 ‎（2）由，且得或 由余弦定理得，故 ‎【考点】（1）二倍角公式及同角三角函数基本关系式；（2）余弦定理．‎ ‎19．已知数列满足令。‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题设知，于是有=+，bn﹣bn﹣1=‎ ‎，由此可知数列{bn}为等差数列．（2）由题设知bn=，于是有，两边同时取倒数后能够得到an=+2．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明：∵an＝4－ (n≥2)，‎ ‎∴an＋1－2＝2－＝ (n≥1)．‎ ‎∴＝＝＋ (n≥1)，‎ 即bn＋1－bn＝ (n≥1)．‎ ‎∴{bn}为等差数列．‎ ‎(2)解：∵为等差数列，‎ ‎∴＝＋(n－1)·＝.‎ ‎∴an＝2＋.‎ ‎∴{an}的通项公式为an＝2＋‎ ‎【点睛】‎ 本题考查判定数列是等差数列的方法，定义法的应用，注意数列n的取值，解题时要注意等差数列的性质的应用和判断．‎ ‎20．设角所对边分别为，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若的面积，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）先根据同角三角函数关系求由正弦定理求的值；（2）先根据三角形面积公式得，再根据余弦定理求，最后求的周长.‎ ‎【详解】‎ 解（1）‎ 由正弦定理,得.‎ ‎（2） .‎ 由余弦定理得，‎ 的周长为 ‎【点睛】‎ 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎21．（2015高考山东，理16）设.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；‎ 单调递减区间是 ‎（Ⅱ）面积的最大值为 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；‎ ‎（Ⅱ）首先由结合（Ⅰ）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意知 由可得 由可得 所以函数的单调递增区间是；‎ 单调递减区间是 ‎（Ⅱ）由得 由题意知为锐角，所以 由余弦定理：‎ 可得：‎ 即：当且仅当时等号成立.‎ 因此 所以面积的最大值为 ‎【考点】1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.‎ ‎22．已知指数函数满足，定义域为的函数是奇函数.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数在上有零点，求的取值范围；‎ ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）（3，+∞）；（Ⅲ） [9，+∞）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据指数函数利用待定系数法求，利用奇函数用特值法求m,n，可得到解析式；（2）根据函数零点的存在性定理求k的取值范围；（3）分析函数的单调性，转化为关于t恒成立问题，利用分离参数法求k的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设 ,则，‎ a=3, ‎ ‎，　‎ ‎ ，‎ 因为是奇函数，所以，即 , ‎ ‎∴，又，‎ ‎；‎ ‎ ．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，又因在（0，1）上有零点，‎ 从而，即， ‎ ‎∴，　∴，‎ ‎∴k的取值范围为．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，‎ ‎∴在R上为减函数（不证明不扣分）． ‎ 又因是奇函数，‎ 所以=， ‎ 因为减函数，由上式得：,‎ 即对一切，有恒成立，‎ 令m(x)=,,易知m(x)在上递增，所以，‎ ‎∴，即实数的取值范围为． ‎ 点睛：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题．‎