2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 抛物线y2=-8x的准线方程为（　　）‎ A. x=-2‎ B. x=-1‎ C. y=1‎ D. ‎x=2‎ 2. 已知△ABC的顶点B，C在椭圆x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎9‎=1‎上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，则△ABC的周长是（　　）‎ A. 8 B. ‎8‎‎3‎ C. 16 D. 24‎ 3. 从标号分别为1、2、3、4的四个红球和标号分别为1、2、3的三个黑球及标号分别为1、2的两个白球中取出不同颜色的两个小球，不同的取法种数共有（　　）‎ A. 24种 B. 9种 C. 10种 D. 26种 4. 如果椭圆x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（　　）‎ A. x+2y-3=0‎ B. ‎2x-y-3=0‎ C. ‎2x+y-3=0‎ D. ‎x+2y+3=0‎ 5. 已知直线l1：x+2ay-1=0，与l2：（2a-1）x-ay-1=0平行，则a的值是（　　）‎ A. 0或1 B. 1或‎1‎‎4‎ C. 0或‎1‎‎4‎ D. ‎‎1‎‎4‎ 6. 过抛物线x2=y的焦点F的直线交抛物线于不同的两点A、B，则‎1‎‎|AF|‎‎+‎‎1‎‎|BF|‎的值为（　　）‎ A. 2 B. 1 C. ‎1‎‎4‎ D. 4‎ 7. 已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为（　　）‎ A. ‎(0,‎5‎‎2‎)‎ B. ‎[1,‎5‎‎2‎]‎ C. ‎(-‎5‎‎2‎,‎5‎‎2‎)‎ D. ‎‎(1,‎5‎‎2‎)‎ 8. 直线4x+3y+12=0分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P在圆（x-2）2+y2=4上，则△ABP面积的取值范围是（　　）‎ A. ‎[10,30]‎ B. ‎[10,15]‎ C. ‎[5,15]‎ D. ‎‎[5,10]‎ 9. 正△ABC中，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（　　）‎ A. ‎3‎ B. 1 C. ‎2‎‎3‎ D. 2‎ 10. 已知椭圆y‎2‎‎5‎+x2=1与抛物线x2=ay有相同的焦点F，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（　　）‎ A. ‎2‎‎13‎ B. ‎4‎‎2‎ C. ‎3‎‎13‎ D. ‎‎4‎‎6‎ 11. 已知a，b∈（-1，0，1，2），关于x的方程ax2+2x+b=0=0有实数解的有序实数对（a，b）的个数为（　　）‎ A. 12 B. 13 C. 11 D. 14‎ 12. 已知直线l与椭圆E：x‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(0＜b＜1)‎相切于第一象限的点P（x0，y0），且直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，当△AOB（O为坐标原点）的面积最小时，‎∠F‎1‎PF‎2‎=‎π‎3‎（F1、F2是椭圆的两个焦点），则此时△F1PF2中∠F1PF2的平分线的长度为（　　）‎ A. ‎2‎‎3‎‎5‎ B. ‎4‎‎3‎‎5‎ C. ‎2‎‎3‎‎15‎ D. ‎‎4‎‎3‎‎15‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 已知实数x、y满足x-y≤1‎x-2y≥0‎‎2x+y≥2‎，若z=2x+3y，则z的最大值是______．‎ 2. 与双曲线x‎2‎‎2‎‎-y‎2‎=1‎有相同的渐近线，并且过点（2，3）的双曲线的标准方程是________．‎ 3. 若直线y=x+b与曲线y=3-‎4x-‎x‎2‎有公共点，则b的取值范围是______．‎ 4. 已知双曲线E：x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a＞0，b＞0)‎的左、右顶点分别为A、B，M是E上一点，△ABM为等腰三角形，且外接圆面积为4πa2，则双曲线E的离心率为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 5. 已知A（-2，0），P（1，3），直线x+2y=5交x轴于点B． （1）求过点B且与直线AP垂直的直线方程； （2）经过点P的直线l把△PAB的面积分割成3：4两部分，求直线l的方程． ‎ 6. 已知圆C过点P（2，1），圆心为C（5，-3）． （1）求圆C的标准方程； （2）如果过点A（O，1）且斜率为k的直线l与圆C没有公共点，求实数k的取值范围． ‎ 7. 已知椭圆C‎1‎‎：x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a＞b＞0)‎的焦点是双曲线C‎2‎‎：x‎2‎-y‎2‎‎3‎=1‎的顶点，椭圆C1的顶点是双曲线C2的焦点． （1）求椭圆C1的离心率； （2）若A、B分别是椭圆C1的左、右顶点，P为椭圆C1上异于A、B的一点． 求证：直线PA和直线PB的斜率之积为定值． ‎ 1. 已知抛物线C的顶点是坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，直线4x+4y+1=0与抛物线C相切． （1）求抛物线C的标准方程； （2）点M（0，m）在y轴负半轴上，若存在经过F的直线l与抛物线C交于A、B两点，使得∠AMB是钝角，求实数m的取值范围． ‎ 2. 已知椭圆C：x‎2‎t+y‎2‎t-1‎=1(t＞1)‎的两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆C的一个短轴顶点，∠PF1F2=60°． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C左焦点的直线l交椭圆C于A、B两点，Q为椭圆C的右顶点，求△ABQ面积的最大值． ‎ 3. 已知动点P到点F（1，0）与到直线x=2的距离比为‎2‎‎2‎． （1）求动点P的轨迹方程； （2）设动点P的轨迹为C，直线l：y=kx-1（k＞0）关于直线y=x-1对称的直线为l1，直线l、l1与轨迹C分别交于点A、M和A、N，记直线l1的斜率为k1： ①求证k•k1为定值； ②当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D 【解析】‎ ‎【分析】 抛物线y2=-8x的开口向左，2p=8，从而可得抛物线y2=-8x的准线方程． 本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 【解答】 解：抛物线y2=-8x的开口向左，2p=8， ∴抛物线y2=-8x的准线方程为x==2 故选：D．‎ ‎2.【答案】C 【解析】‎ 解：△ABC的顶点B，C在椭圆上， 顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上， 由椭圆的定义可得：△ABC的周长是4a=4×4=16． 故选：C． 利用椭圆的定义转化求解即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎3.【答案】D 【解析】‎ 解：红球和黑球中各取一个，共有4×3=12种， 红球和白球中各取一个，共有4×2=8种， 白球和黑球中各取一个，共有2×3=6种， 根据分类计数原理，共有12+8+6=26中， 故选：D． 根据分类计数原理即可求出． 本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题 ‎4.【答案】A 【解析】‎ 解：设过点A（1，1）的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2）， 由中点坐标公式可知：， 则，两式相减得：+=0， ∴=-， ∴直线EF的斜率k==-， ‎ ‎∴直线EF的方程为：y-1=-（x-1），整理得：2y+x-3=0， 故选：A． 由题意可知：将E，F代入椭圆方程，由中点坐标公式，做差求得直线EF的斜率公式，由直线的点斜式方程，即可求得条弦所在的直线方程． 本题考查直线的点斜式方程，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎5.【答案】C 【解析】‎ 解：当a=0时，两直线的斜率都不存在， 它们的方程分别是x=1，x=-1，显然两直线是平行的． 当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等， 由≠，解得：a=． 综上，a=0或， 故选：C． 先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由≠，解得a的值． 本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．‎ ‎6.【答案】D 【解析】‎ 解：设过抛物线x2=y的焦点F的直线方程为y=kx+． 由⇒， ，， ∴则===． 故选：D． 由抛物线x2=y与过其焦点F（0，）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，再依据抛物线的定义得出|AF|=y1+，|BF|=y2+，由韦达定理可以求得答案． 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题．‎ ‎7.【答案】D 【解析】‎ 解：双曲线的渐近线方程为y=±x， ∴当-1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点， 当k≤-1时，直线与双曲线右支没有交点， 把y=kx-1代入x2-y2=4得：（1-k2）x+2kx-5=0， 令△=4k2+20（1-k2）=0，解得k=或k=-（舍）． ∴1＜k＜． 故选：D． 根据双曲线的渐近线和切线的方程得出k的范围． 本题考查了双曲线的性质，切线方程的求解，属于中档题．‎ ‎8.【答案】C 【解析】‎ 解：∵直线4x+3y+12=0分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴A（-3，0），B（0，-4）， AB=5 如图，圆心（2，0）到直线4x+3y+12=0的距离d=． ∴点P到AB的距离h，4-2≤h≤4+2，则S=， 则△ABP面积的取值范围是[5，15]． 故选：C． 求出A，B坐标，圆心（2，0）到直线4x+3y+12=0的距离d=．可得点P到AB的距离h，利用S=即可求解． 本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式，是中档题．‎ ‎9.【答案】A 【解析】‎ 解：设椭圆长、短半轴分别为a，b，双曲线的实、虚轴分别为m ， 设正△ABC的边长为2，则2a=+1，2m=， ∴以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分别为，‎ ‎． ∴． 故选：A． 设椭圆长、短半轴分别为a，b，双曲线的实、虚轴分别为m ， 设正△ABC的边长为2，则2a=+1，2m=，可得椭圆与双曲线的离心率分别为，．即可求解． 本题考查椭圆、双曲线的几何性质，及离心率的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎10.【答案】A 【解析】‎ 解：∵椭圆+x2=1，∴c2=5-1=4，即c=2，则椭圆的焦点为（0，±2）， 不妨取焦点（0，2）， ∵抛物线x2=ay=4（）y， ∴抛物线的焦点坐标为（0，）， ∵椭圆+x2=1与抛物线x2=ay有相同的焦点F， ∴=2，即a=8，则抛物线方程为x2=8y，准线方程为y=-2， ∵|AF|=4，由抛物线的定义得， ∴A到准线的距离为4，y+2=4， 即A点的纵坐标y=2， 又点A在抛物线上， ∴x=±4，不妨取点A的坐标A（4，2）； A关于准线的对称点的坐标为B（4，-6） 则|PA|+|PO|=|PB|+|PO|≥|OB|， 即O，P，B三点共线时，有最小值， 最小值为|AB|==． 故选：A． 利用抛物线的定义由|AF|=4得到A到准线的距离为4，即可求出点A的坐标，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值． 本题主要考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题．‎ ‎11.【答案】B 【解析】‎ 解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解； 此时b=-1，0，1，2； 即（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2）四种． （2）当a≠0时，方程为一元二次方程， ∴△=4-4ab≥0， ‎ ‎∴ab≤1．所以a=-1，1，2，此时a，b的对数为： （-1，0），（-1，2），（-1，-1），（-1，1）， （1，-1），（1，0），（1，1），（2，-1）， （2，0），共9种， 关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种， 故选：B． 由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解． 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用．考查分类讨论思想．‎ ‎12.【答案】A 【解析】‎ 解：由题意，切线方程为xx0+=1， ∵直线l与x、y轴分别相交于点A、B， ∴A（，0），B（0，）， ∴S△AOB=•， ∵1=+≥ ∴≥， ∴S△AOB≥b，当且仅当x0==时，△AOB（O为坐标原点）的面积最小， 设|PF1|=x，|PF2|=y，则x+y=2a=2，由余弦定理可得4c2=x2+y2-xy，∴xy=b2， ∴△PF1F2的面积S=xysin=b2， ∴×2c•y0=b2， ∴y0==b， ∴c=b， ∵c2+b2=a2=1， ∴b=， 设△F1PF2中∠F1PF2的平分线的长度为m， 则|PF1|•m•sin+|PF1|•m•sin=（x+y）==×， ‎ ‎∴m=， 故选：A． 由题意，切线方程为xx0+=1，利用基本不等式，结合△AOB（O为坐标原点）的面积最小，可得切点坐标，利用三角形的面积公式，建立方程，即可求出实数m的值． 本题考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆的位置关系，考查余弦定理的运用，属于难题．‎ ‎13.【答案】7 【解析】‎ 解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分） 由z=2x+3y，得y=-x+， 平移直线y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点A时， 直线y=-x+的截距最大，此时z最大． 由，解得A（2，1）． 此时z的最大值为z=2×2+3×1=7， 故答案为：7． 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．‎ ‎14.【答案】y‎2‎‎7‎-x‎2‎‎14‎=1 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查双曲线方程的求法，考查双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题，设双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为=λ，（λ≠0），把点（2，3）代入，求出λ=-7，由此能求出双曲线方程． 【解答】 解：设双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为=λ（λ≠0）， 把点（2，3）代入，得： =-7， ∴λ=-7， ∴所求双曲线方程为-=1， 故答案为：-=1．‎ ‎15.【答案】[1-‎2‎‎2‎，3] 【解析】‎ 解：如图所示：曲线y=3-，即y-3=-， 平方可得（x-2）2+（y-3）2=4（ 1≤y≤3，0≤x≤4）， 表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆． 由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+，或b=1-． 结合图象可得1-≤b≤3， 故答案为：[1-，3]． 曲线即（x-2）2+（y-3）2=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得b=1+b=1-．结合图象可得b的范围． 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎16.【答案】‎2‎ 【解析】‎ 解：设M在双曲线的右支上 ∵外接圆面积为4πa2，∴4πa2=πR2，⇒R=2a． MA=AB=2a，∠MAB=θ， ∴=2R=4a，⇒sinθ=， 则M的坐标为（2a，a）， 代入双曲线方程可得，可得a=b， 即有e=． 故答案为：． 设M在双曲线的右支上，由题意可得M的坐标为（2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值． 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的知识，求得M的坐标是解题的关键．‎ ‎17.【答案】解：（1）kAP=‎0-3‎‎-2-1‎=1，∴过点B且与直线AP垂直的直线方程为：y=-（x-5），化为：x+y-5=0； （2）直线x+2y=5交x轴于点B（5，0）． 设直线l与x轴相交于点M（x，0）． ‎ ‎∵经过点P的直线l把△PAB的面积分割成3：4两部分， ∴x-(-2)‎‎5-x=‎3‎‎4‎，解得x=1． ∴直线l的方程为：x=1． 【解析】‎ ‎ （1）利用斜率计算公式可得：kAP，即可得出过点B且与直线AP垂直的直线方程． （2）直线x+2y=5交x轴于点B（5，0）．设直线l与x轴相交于点M（x，0）．根据经过点P的直线l把△PAB的面积分割成3：4两部分，可得=，解得x，即可得出直线l的方程． 本题考查了斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎18.【答案】解：（1）由已知可得圆的半径r=|PC|=‎(5-2‎)‎‎2‎+(-3-1‎‎)‎‎2‎‎=5‎． ∴圆C的标准方程（x-5）2+（y+3）2=25； （2）由题意可知，直线方程为y=kx+1，即kx-y+1=0． 由‎|5k+3+1|‎k‎2‎‎+1‎＞5，解得k＞‎9‎‎40‎． ∴实数k的取值范围是（‎9‎‎40‎，+∞）． 【解析】‎ ‎ （1）由已知求出圆的半径，然后直接写出圆的标准方程； （2）写出过A的直线方程，由圆心到直线的距离大于半径求得实数k的取值范围． 本题库存车圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．‎ ‎19.【答案】解：（1）双曲线C‎2‎‎：x‎2‎-y‎2‎‎3‎=1‎的顶点为（±1，0），焦点为（±2，0）； 则椭圆C1的焦点是（±1，0），顶点是（±2，0）； ∴a=2，c=1， ∴椭圆C1的离心率e=ca=‎1‎‎2‎； （2）证明：b2=a2-c2=3， ∴椭圆C1的标准方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1， 则椭圆的左、右顶点为A（-2，0）、B（2，0）， 设点P（x1，y1），x1≠±2， ∴x‎1‎‎2‎‎4‎+y‎1‎‎2‎‎3‎=1， ∴y‎1‎‎2‎=3（1-x‎1‎‎2‎‎4‎）=‎3‎‎4‎（4-x‎1‎‎2‎）； ∴kPA=‎0-‎y‎1‎‎-2-‎x‎1‎=y‎1‎‎2+‎x‎1‎，kPB=‎0-‎y‎1‎‎2-‎x‎1‎=y‎1‎x‎1‎‎-2‎， ∴kPA•kPB=y‎1‎‎2‎x‎1‎‎2‎‎-4‎=‎3‎‎4‎‎(4-x‎1‎‎2‎)‎x‎1‎‎2‎‎-4‎=-‎3‎‎4‎， ∴直线PA 和直线PB的斜率之积为定值． 【解析】‎ ‎ （1）根据双曲线与椭圆的定义和性质，求出椭圆C1的离心率； （2）写出椭圆C1的标准方程，设出点P的坐标， 计算直线PA和直线PB的斜率，求斜率之积即可． 本题考查了椭圆与双曲线的定义和简单几何性质的应用问题，是基础题．‎ ‎20.【答案】解：（1）设抛物线方程为x2=2py（p＞0）， 联立x‎2‎‎=2py‎4x+4y+1=0‎，可得2x2+4px+p=0． 由△=16p2-8p=0，得p=‎1‎‎2‎． ∴抛物线C的标准方程为x2=y； （2）如图，由抛物线C的标准方程为x2=y，得F（0，‎1‎‎4‎）， 直线l的方程为y=kx+‎1‎‎4‎， 联立y=kx+‎‎1‎‎4‎x‎2‎‎=y，得4x2-4kx-1=0． 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=k，x‎1‎x‎2‎‎=-‎‎1‎‎4‎， y‎1‎‎+y‎2‎=k(x‎1‎+x‎2‎)+‎‎1‎‎2‎=k‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎，y1y2=‎1‎‎16‎． MA‎=(x‎1‎，y‎1‎-m)‎，MB‎=(x‎2‎，y‎2‎-m)‎， 由∠AMB是钝角，得： MA‎⋅MB=x‎1‎x‎2‎+(y‎1‎-m)(y‎2‎-m)‎=x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎-m(y‎1‎+y‎2‎)+‎m‎2‎ =‎-‎1‎‎4‎+‎1‎‎16‎-m(k‎2‎+‎1‎‎2‎)+‎m‎2‎＜0． 则关于k的不等式-16mk2+16m2-8m-3＜0有解， ∴16m2-8m-3＜0，解得-‎1‎‎4‎＜m＜‎3‎‎4‎． ∴实数m的取值范围是（‎-‎1‎‎4‎，‎‎3‎‎4‎）． 【解析】‎ ‎ （1）设抛物线方程为x2=2py（p＞0），联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式为0求得p，则抛物线方程可求； （2）由抛物线C的标准方程为x2=y，得F（0，），得到直线l的方程为y=kx+，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系可得A，B的横 纵坐标的和与积，再由∠AMB是钝角，得：，由此可得实数m的取值范围． 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎21.【答案】解：（1）∵椭圆C：x‎2‎t+y‎2‎t-1‎=1(t＞1)‎的两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆C的一个短轴顶点，∠PF1F2=60°． ∴a=2c，a2=t，b2=t-1，c2=a2-b2， 联立解得c=1，a=2，b2=3， ∴椭圆C的标准方程为：x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1． （2）由题意可得：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：ty=x+1．设A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立ty=x+1‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎，化为：（3t2+4）y2-6ty-9=0， △＞0， ∴y1+y2=‎6t‎3t‎2‎+4‎，y1y2=‎-9‎‎3t‎2‎+4‎， ∴|y1-y2|=‎(y‎1‎+y‎2‎‎)‎‎2‎-4‎y‎1‎y‎2‎=‎36‎t‎2‎‎(3t‎2‎+4‎‎)‎‎2‎‎-4×‎‎-9‎‎3t‎2‎+4‎=‎12‎t‎2‎‎+1‎‎3t‎2‎+4‎． ∴S△ABQ=‎1‎‎2‎•|y1-y2|•（c+a）=‎1‎‎2‎‎×‎‎12‎t‎2‎‎+1‎‎3t‎2‎+4‎×3=‎18‎t‎2‎‎+1‎‎3t‎2‎+4‎． 令t‎2‎‎+1‎=m≥1，可得：t2=m2-1． ∴S△ABQ=‎18m‎3m‎2‎+1‎=f（m）， f′（m）=‎18(1-3m‎2‎)‎‎(3m‎2‎+1‎‎)‎‎2‎≤0， 可得m=1，即t=0时，函数f（m）取得最大值，即S△ABQ=‎9‎‎2‎， ∴△ABQ面积的最大值为‎9‎‎2‎． 【解析】‎ ‎ （1）椭圆的两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆C的一个短轴顶点，∠PF1F2=60°．可得a=2c，a2=t，b2=t-1，c2=a2-b2，联立解出，可得椭圆C的标准方程． （2）由题意可得：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：ty=x+1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立椭圆方程可得：（3t2+4）y2-6ty-9=0，利用根与系数的关系可得|y1-y2|=，利用S△ABQ=•|y1-y2|•（c+a），通过换元利用导数研究其单调性即可得出． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质 ‎、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎22.【答案】解：（1）动点P（x，y）到点F（1，0）与到直线x=2的距离比为‎2‎‎2‎， 可得‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎‎|x-2|‎=‎2‎‎2‎， 平方可得2（x2+y2-2x+1）=x2-4x+4， 即x2+2y2=2， 可得动点P的轨迹方程为x‎2‎‎2‎+y2=1； （2）①证明：设直线l上任意一点P（x，y） 关于直线y=x-1对称点为P0（x0，y0）， 直线l与直线l1的交点为（0，-1）， ∴l：y=kx-1，l1：y=k1x-1，k=y+1‎x，k1=y‎0‎‎+1‎x‎0‎， 由y+‎y‎0‎‎2‎=x+‎x‎0‎‎2‎-1，得y+y0=x+x0-2…①， 由y-‎y‎0‎x-‎x‎0‎=-1，得y-y0=x0-x…②， 由①②得y‎0‎‎=x-1‎x‎0‎‎=y+1‎， kk1=yy‎0‎+(y+y‎0‎)+1‎xx‎0‎=y(x-1)+y+x-1+1‎x(y+1)‎=1； ②设点M（x1，y1），N（x2，y2）， 由x‎2‎‎+2y‎2‎=2‎y=kx-1‎得（1+2k2）x2-4kx=0， 可得x=0或x=‎4k‎1+2‎k‎2‎， 即M（‎4k‎1+2‎k‎2‎，‎2k‎2‎-1‎‎2k‎2‎+1‎）， 由kk1=1，可将k换为‎1‎k， 可得N（‎4k‎2+‎k‎2‎，‎2-‎k‎2‎‎2+‎k‎2‎）， kMN=yM‎-‎yNxM‎-‎xN=-‎1+‎k‎2‎k， 即直线MN：y-yN=kMN（x-xN）， 可得y-‎2-‎k‎2‎‎2+‎k‎2‎=-‎1+‎k‎2‎k（x-‎4k‎2+‎k‎2‎）， 即为y=-‎1+‎k‎2‎kx+3， 则当k变化时，直线MN过定点（0，3）． 【解析】‎ ‎ （1）设P（x，y），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简即可得到所求轨迹方程； ‎ ‎（2）①设直线l上任意一点P（x，y）关于直线y=x-1对称点为P0（x0，y0），利用P与P0关于直线y=x-1对称可得关系，代入斜率乘积即可得到k•k1的值； ②设出M，N的坐标，分别联立两直线方程与椭圆方程，求出M，N的坐标，进一步求出MN所在直线的斜率，写出直线方程的点斜式，整理后由直线系方程可得当k变化时，可得直线MN过定点． 本题考查椭圆的简单性质，直线恒过定点的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．‎