数学文卷·2018届湖北省荆门市高二上学期期末考试（2017-01）

数学文卷·2018届湖北省荆门市高二上学期期末考试（2017-01）

荆门市2016-2017学年度上学期期末质量检测 高二数学（文科）‎ 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.‎ ‎3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．在复平面内，复数对应的点的坐标为 ‎ A. (3，1 ) B. (,3) C. (1，3) D. (3，)‎ ‎2．把二进制数化为十进制数为 ‎ A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 ‎ ‎3．抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为 ‎ A．至多有1件次品 B．至多有2件次品 ‎ C．至多有1件正品 D．至多有2件正品 ‎4．用反证法证明命题：“已知为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是 ‎ A．方程至多有一个实根. B．方程没有实根.‎ ‎ C．方程至多有两个实根. D．方程恰好有两个实根.‎ ‎5．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 6. 已知，，，…，依此规律，若，‎ ‎ 则a，b的值分别是 ‎ A．65，8 B．63，8 C．61，7 D．48，7‎ ‎7．运行如下程序框图输出的S是 ‎ 否 是 输出S 开始 S=2‎ k=1‎ 结束 ‎ A．2 B． C． D．-3‎ ‎8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入（万元）‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出 （万元）‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ 根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为 ‎ ‎ A. 10.8 B. 11.8 C. 12.8 D. 9.8‎ ‎9．已知定义在上的函数满足，当时，设在上的最大值为，则等于 ‎ A． 7 B． C. D．14‎ ‎10．设P为直线上的动点，过点P作圆C：‎ 的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为 ‎ A．1 B． C． D．   ‎ ‎11．设复数，若，则的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知等边△ABC的边长为，动点P、M满足，，则的最小值是 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分）‎ ‎13．关于x的方程有实根，则实数m的值是 ▲ .‎ ‎14. 已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，若 l1⊥l2， 则a的值 ▲ .‎ ‎15．以点为圆心且与直线相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程为 ▲ .‎ ‎16．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则．拓展到空间，在四面体A-BCD中，DA⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在面BCD内，类比平面三角形射影定理，得出 ▲ .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若A,B,C又成等差数列，求证△ABC为等边三角形．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知△ABC中，，BC边所在的直线方程为，‎ AB边上的中线所在的直线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求B、C点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求△ABC的外接圆方程．‎ ‎19．（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，我市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（I）求直方图中a的值；‎ ‎（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由. 注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差.‎ 20. ‎（本小题满分12分）在数列中，，（n∈N+）．‎ ‎ （I）求出数列的前3项，试猜想并证明数列的通项公式；‎ ‎ （II）记，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ 21. ‎（本小题满分12分）某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或 ‎ 反对），进行了如下的调查研究：全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按分层抽 ‎ 样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为，通过对被抽取学生的问卷调查，得到 支持 反对 总计 男生 ‎30‎ 女生 ‎25‎ 总计 ‎ 如下列联表：‎ ‎（I）完成列联表，并判断能否有99.9%的把握认为态度与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因．求其中恰有一人支持一人反对的概率？‎ ‎ 参考公式及临界表： ‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 22． ‎（本小题满分12分）已知长为2的线段A B两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线 ‎ 段AB的中点M的轨迹为曲线C．‎ ‎ （Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎ （Ⅱ）点是曲线C上的动点，求的取值范围；‎ ‎ （Ⅲ）已知定点，探究是否存在定点和常数满足：对曲线C上任 ‎ 意一点，都有成立？若存在，求出和；若不存在，请说明理由．‎ 荆门市2016-2017学年度上学期期末质量检测 高二数学（文科）参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ CBABD BDBAC DA ‎12．提示：由题△ABC为边长为的正三角形，如图建立平面坐标系，‎ x O y A B C 第12题图 ‎ ,‎ ‎ 由得点P的轨迹方程为①，‎ ‎ 设，由得，‎ ‎ 代入①式得M的轨迹方程为 ‎ 记圆心为，，‎ ‎ 故选A 二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14．或 15．； 16．‎ ‎16．由已知在平面几何中，若△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，则，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（Ⅰ）∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac．…………………………………………………………1分 ‎ 由余弦定理得 ， ………………………………3分 ‎ ∴，当且仅当a＝c时等号成立，‎ ‎ ∴． ……………………………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）∵角A,B,C成等差数列，,‎ ‎∴. ………………………………………………………………………6分 ‎∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac．‎ 又, ……………………………………8分 ‎∴, ,‎ 所以△ABC为等边三角形. …………………………………………………………………10分 ‎18．（Ⅰ）由解得； ………………………………………………………3分 ‎ 设，则AB的中点，由点D在AB边的中线上得，‎ ‎ 解得 ……………………………………………………………………………………6分 ‎ （Ⅱ）法一：易知，故△ABC的外接圆的直径为BC，圆心为BC的中点，‎ ‎ ……………………………………………………………………………………8分 ‎ 又半径，……………………………………………………………………………10分 ‎ ∴所求外接圆的方程为 ……………………………………………12分 法二：设△ABC的外接圆方程为则将 ‎ 三点的坐标代入可得 …………………………………………8分 ‎ 解得， …………………………………………………………………10分 ‎ 即△ABC的外接圆方程为. ……………………………12分 ‎19.（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1 ∵频率=(频率/组距)组距 ‎ ∴‎ ‎ 得 ……………………………………………………………………………………4分 ‎ （II）由图，不低于3吨人数所占百分比为 ‎ ∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：(万)……………………………………8分 ‎ （III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：‎ ‎ ‎ ‎ 即的居民月均用水量小于2.5吨,‎ ‎ 同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故 ‎ 假设月均用水量平均分布，则（吨）…………12分 ‎20．（I）在数列中，∵，‎ ‎∴，…，，‎ ‎∴可以猜想，这个数列的通项公式 …………………………………………3分 证明：∵，∴，‎ ‎ ∴，∴是以1为首项，为公差的等差数列,‎ ‎ ∴，∴． ………………………………………………………6分 ‎（II）由（I）得． …………………………………………………………7分 ‎ 假设数列中存在三项（p，q，r是互不相等正整数）成等比数列，则，‎ ‎ 即， ……………………………………………………………8分 ‎ ∴．‎ ‎ ∵p，q，r是互不相等正整数，∴，………………………………………10分 ‎ ∴， ‎ ‎ 与矛盾．∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列． ………………12分 支持 反对 总计 男生 ‎30‎ ‎50‎ ‎80‎ 女生 ‎45‎ ‎25‎ ‎………………2分 ‎70‎ 总计 ‎75‎ ‎75‎ ‎150‎ ‎21．（Ⅰ）列联表如下：‎ ‎ 计算得， ………………………………………4分 ‎ 因为10.71410.828，所以没有99.9%的把握认为态度与性别有关 ……………………6分 ‎（Ⅱ）抽取的6名男生中支持2人记为A,B,反对4人记为1，2，3，4，女生中支持2人记为a,b, 反对2人记为5,6则随机抽取一男一女的基本事件有：‎ ‎ （A，a），（A，b），（A，5），（A，6），（B，a），（B，b），（B，5），（B，6）‎ ‎ （1，a），（1，b），（1，5），（1，6）, （2，a），（2，b），（2，5），（2，6）‎ ‎ （3，a），（3，b），（3，5），（3，6）, （4，a），（4，b），（4，5），（4，6）…………9分 随机抽取一男一女所有可能的情况有24种，其中恰有一人支持一人反对的可能情况有2×2+4×2=12种，所以概率为． ……………………………………………………………12分 ‎22．（Ⅰ）法一：设，则 ①‎ ‎∵点M为线段AB的中点 ∴m=2x，n=2y；代入①式得，‎ 即点M的轨迹曲线C的方程为． ………………………………………………3分 法二：设O为坐标原点，则，故点M的轨迹曲线C是以原点O为圆心， 半径等于1的圆，其方程为． ………………………………………………3分 ‎ ‎（Ⅱ）法一；∵，∴可令，‎ ‎ .………………………………7分 ‎ 法二：设，则由题直线与圆C：有公共点，‎ ‎ ∴，解得 ………………………………………7分 ‎（Ⅱ）假设存在满足题意的和，则设，由得：‎ ‎ ，展开整理得：‎ ‎ ，又，故有 ‎ ， ……………………………9分 ‎ 由题意此式对满足的任意的y都成立，‎ ‎ ∴且，解得：（）‎ ‎ 所以存在满足题意要求. …………………………………………………………12分 ‎ 命题：王成钧 邓金辉 ‎ ‎ 审校：方延伟 郑 胜 王玉龙