2018-2019学年吉林省长春市第十一高中高一上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年吉林省长春市第十一高中高一上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年吉林省长春市第十一高中高一上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设P是△ABC所在平面内的一点，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由向量的加减法运算化简即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎,移项得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的加减法运算，属于基础题.‎ ‎2．设函数，x∈R，则f（x）是（　　）‎ A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数 ‎【答案】B ‎【解析】,故选B ‎3．函数在区间上的所有零点之和等于（ ）‎ A．-2 B．0 C．3 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先确定函数的零点，然后求解零点之和即可.‎ 详解：函数的零点满足：，‎ 解得：，‎ 取可得函数在区间上的零点为：，‎ 则所有零点之和为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查三角函数的性质，函数零点的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4．已知是以为圆心的圆上的动点，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】运用勾股定理的逆定理，可得可得△OAB为等腰直角三角形，则的夹角为45°，再由向量的数量积的定义计算即可得到．‎ ‎【详解】‎ 由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且，‎ 即有||2+||2＝||2，‎ 可得△OAB为等腰直角三角形，‎ 则的夹角为45°，‎ 即有＝||•||•cos45°＝1××＝1．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积公式的应用，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎5．函数的最大值为（ ）‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据两角和的正弦公式得到函数的解析式，结合函数的性质得到结果.‎ ‎【详解】‎ 函数根据两角和的正弦公式得到，因为x根据正弦函数的性质得到最大值为.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了三角函数的两角和的正弦公式的应用，以及函数的图像的性质的应用，题型较为基础.‎ ‎6．函数的图像大致为 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.‎ 详解：为奇函数，舍去A,‎ 舍去D;‎ ‎，‎ 所以舍去C；因此选B.‎ 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． ‎ ‎7．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】根据诱导公式将函数变为正弦函数，再减去得到.‎ ‎【详解】‎ 函数 ‎ 故将函数图像上的点向右平移个单位得到。‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.‎ ‎8．实数满足，则下列关系正确的是( ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数和对数的运算公式得到 ‎【详解】‎ 实数满足，故得到再由换底公式得到和的值.‎ ‎ = 故A正确.‎ ‎ 故B不正确；‎ ‎ 故C，D不正确.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了指数和对数的公式的互化，以及换底公式的应用，较为简单.‎ ‎9．函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先求得函数的解析式，然后求解的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由函数的最小值可知：，‎ 函数的周期：，则，‎ 当时，，‎ 据此可得：，令可得：，‎ 则函数的解析式为：，‎ ‎.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：‎ ‎(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.‎ ‎(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.‎ ‎10．已知函数，且，则（ ）‎ A．3 B． C．9 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用函数的奇偶性以及已知条件转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 函数g（x）＝ax3+btanx是奇函数，且,‎ 因为函数f（x）＝ax3+btanx+6（a，b∈R），且，可得＝﹣3，‎ 则＝﹣g（）+6＝3+6＝9．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．已知函数解析式求函数值，可以直接将变量直接代入解析式从而得到函数值，直接代入较为繁琐的题目，可以考虑函数的奇偶性的应用，利用部分具有奇偶性的特点进行求解，就如这个题目.‎ ‎11．已知定义在R上的奇函数f(x)满足，当时,,则（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意得，因为，则，‎ 所以函数表示以为周期的周期函数，‎ 又因为为奇函数，所以，‎ 所以，，‎ ‎，‎ 所以，故选B.‎ ‎12．已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，‎ 由图可知，得或，所以和各有两个解。‎ 当有两个解时，则，‎ 当有两个解时，则或，‎ 综上，的取值范围是，故选D。‎ 点睛：本题考查函数性质的应用。本题为嵌套函数的应用，一般的，我们应用整体思想解决问题，所以令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，再结合图象逐步分析，解得答案。‎ 二、填空题 ‎13．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．‎ ‎【答案】二 ‎【解析】试题分析：由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．‎ 解：因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以，tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，‎ 故答案为：二．‎ 点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号．‎ ‎14．在△ABC中，已知CB＝8，CA＝5，△ABC的面积为12，则cos2C＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：在三角形中，因为，所以，从而，故答案填.‎ ‎【考点】1、三角形的面积；2、二倍角公式.‎ ‎15．在正方形ABCD中,E是线段CD的中点,若,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图可知，，‎ 所以 ‎)‎ ‎)‎ 所以，‎ 故，即，‎ 即得 ‎16．定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为相连不等式．如果不等式与不等式为相连不等式，且，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设的解集为，的解集为，由二次方程根与系数的关系可得，‎ ‎【考点】三个二次关系及三角函数化简 点评：二次不等式的解的边界值等于与之对应的二次方程的根，本题由不等式的解转化为方程的根，进而利用根与系数的关系找到有关于的关系式 三、解答题 ‎17．已知向量的夹角为.‎ ‎（1）求 ；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）-12；（2）12.‎ ‎【解析】(1)按照向量的点积公式得到，再由向量运算的分配律得到结果；（2）根据向量垂直得到，按照运算公式展开得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，‎ ‎∴‎ ‎（2）∵，∴，∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了向量的点积运算，以及向量垂直的转化；向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎18．已知,‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的值；‎ ‎(3)求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)4;(3) .‎ ‎【解析】（1）根据同角函数关系得到正弦值，结合余弦值得到正切值；（2）‎ 根据诱导公式化简，上下同除余弦值即可；（3）结合两角和的正弦公式和二倍角公式可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵， ,∴∴ ‎ ‎（2）.‎ ‎（3）=，根据二倍角公式得到; 。‎ 代入上式得到=.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了三角函数的同角三角函数的诱导公式和弦化切的应用，以及二倍角公式的应用，利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.‎ ‎19．已知A(2,0)，B(0,2)，，O为坐标原点．‎ ‎（1），求sin 2θ的值；‎ ‎（2）若，且θ∈(－π,0)，求与的夹角．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：(1) 先根据向量数量积得sin θ＋cos θ值，再平方得结果，(2)先根据向量的模得cos θ，即得C点坐标，再根据向量夹角公式求结果.‎ 详解：(1)∵＝(cos θ，sinθ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)，‎ ‎＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)，‎ ‎＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)＝cos2θ－2cos θ＋sin2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－‎ ‎∴sin θ＋cos θ＝，‎ ‎∴1＋2sin θcos θ＝，‎ ‎∴sin 2θ＝－1＝－.‎ ‎(2)∵＝(2,0)，＝(cos θ，sin θ)，‎ ‎∴＋＝(2＋cos θ，sin θ)，‎ ‎∵|＋|＝，所以4＋4cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝7，‎ ‎∴4cos θ＝2，即cos θ＝.‎ ‎∵－π＜θ＜0，∴θ＝－，‎ 又∵＝(0,2)，＝，‎ ‎∴cos〈，〉＝，∴〈，〉＝.‎ 点睛：向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，通过解三角求得结果.‎ ‎20．已知函数为偶函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）记集合，，判断与的关系；‎ ‎（3）当时，若函数值域为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由恒成立，可得恒成立，进而得实数的值；（2）化简集合 ，得；（3）先判定的单调性，再求出时的范围，与等价即可求出实数的值.‎ 试题解析：（1）为偶函数，.‎ ‎（2）由（1）可知：，当时，；当时，.‎ ‎ ，.‎ ‎（3）.‎ 在上单调递增，，‎ 为的两个根，又由题意可知：，且.‎ ‎【考点】1、函数的奇偶性及值域；2、对数的运算.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若函数在区间是单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若关于的方程在区间内有两个实数根，记，求实数的取值范围 .‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】分析：(1)先根据二倍角公式以及配角公式化为基本三角函数，再代入求的值；(2)根据正弦函数性质确定单调性递增区间，再根据区间之间包含关系列不等式，解得实数的取值范围；(3)先根据正弦函数图像确定a的取值范围，再根据对称性得 ‎，最后代入求实数的取值范围.‎ 详解： ‎ ‎（Ⅰ）∵‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）由，‎ 得，‎ ‎∴在区间上是增函数 ‎∴当时，在区间上是增函数 若函数在区间上是单调递增函数，则 ‎∴，解得 ‎（Ⅲ）方程在区间内有两实数根等价于直线与曲线 有两个交点.‎ ‎∵当时，由（Ⅱ）知在上是增函数，在上是减函数，且，，，‎ ‎∴‎ 即实数的取值范围是 ‎∵函数的图像关于对称 ‎∴，∴‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ 点睛:函数的性质 ‎(1).‎ ‎(2)周期 ‎(3)由 求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，‎ ‎(4)由求增区间;‎ ‎ 由求减区间 ‎22．（附加题，本小题满分10分，该题计入总分）‎ 已知函数，若在区间内有且仅有一个，使得成立，则称函数具有性质．‎ ‎（1）若，判断是否具有性质，说明理由；‎ ‎（2）若函数具有性质，试求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）具有性质; （Ⅱ）或或 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）具有性质．若存在，使得，解方程求出方程的根，即可证得；（Ⅱ）依题意，若函数 具有性质，即方程在上有且只有一个实根．设，即在上有且只有一个零点．讨论的取值范围，结合零点存在定理，即可得到的范围．‎ 试题解析：（Ⅰ）具有性质．‎ 依题意，若存在 ，使，则 时有，即，，．由于 ，所以．又因为区间内有且仅有一个，使成立，所以具有性质5分 ‎（Ⅱ）依题意，若函数具有性质，即方程在上有且只有一个实根．‎ 设，即在上有且只有一个零点．‎ 解法一：‎ ‎（1）当时，即时，可得在上为增函数，‎ 只需解得交集得．‎ ‎（2）当时，即时，若使函数在上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：‎ ‎（ⅰ）时，在上有且只有一个零点，符合题意．‎ ‎（ⅱ）当即时，需解得交集得．‎ ‎（ⅲ）当时，即时，需解得交集得．‎ ‎（3）当时，即时，可得在上为减函数 只需解得交集得．‎ 综上所述，若函数具有性质，实数的取值范围是或或14分 解法二：‎ 依题意，‎ ‎（1）由得，，解得或．‎ 同时需要考虑以下三种情况：‎ ‎（2）由解得．‎ ‎（3）由解得不等式组无解．‎ ‎（4）由解得解得．‎ 综上所述，若函数具有性质，实数的取值范围是或 或14分．‎ ‎【考点】1．零点存在定理；2．分类讨论的思想．‎