数学文卷·2018届云南省绥江县第一中学高二4月月考（2017-04）
绥江一中2017年春季学期高二年级第一次月考试卷
（文科数学）
班级： 姓名：
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1、下列求导运算正确的是( )
A(x+)′=1+ B(log2x)′=
C(3x)′=3xlog3e D(x2cos x)′=-2xsin x
2、命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( )
A ∀x∈R,|x|+x2<0 B ∀x∈R,|x|+x2≤0
C x0∈R,|x0|+<0 D x0∈R,|x0|+≥0
3、已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为3x+4y=0,则双曲线离心率e等于( )
A B C D
4、已知条件p:|x+1|>2,条件q:5x-6> x2,则﹁q是﹁p的( )
A充分不必要条件 B必要不充分条件
C充要条件 D既不充分也不必要条件
5、已知两点F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是( )
A +=1 B +=1
C +=1 D +=1
6、若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-1时取得极值,则a等于( )
A 1 B 2 C 3 D 4
7、设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A (1,2] B [4,+∞) C (-∞,2] D (0,3]
8、设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为( )
A B 2 C D
9、“3
b>0)的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F1PF2=60°,则椭圆离心率e的取值范围是( )
A [,1) B (0,) C [,1) D [,)
11、若函数f(x)在R上可导，且满足f(x) < x f′(x),则（ ）
A 2 f(1) < f(2) B 2 f(1) > f(2)
C 2 f(1) = f(2) D f(1) = f(2)
12、设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13、过椭圆+=1的一个焦点作垂直于长轴的弦,则此弦长为
14、函数y=x2++1在x=1处的切线方程是
15、抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为 .
16.在下列四个结论中,正确的是
①“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件;
②已知a,b∈R,则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是ab>0;
③“a>0,且Δ=b2-4ac≤0”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要
条件;
④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分10分)
(1)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=。求此椭圆的方程;
(2) 过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程；
18、(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值.
(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=ax+ln x(a∈R).
(1)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=x2-2x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)f(2)=2+c.
解得c<-1或c>2。即c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).
19、(本小题满分12分)解:(1)当a=-1时,f′(x)=2x-1-==(x>0)
所以f(x)在区间(0,1) 内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,
于是f(x)有极小值f(1)=0,无极大值.
(2)易知f′(x)=2x+a-在区间(,1)内单调递增,
所以由题意可得f′(x)=2x+a-=0在(,1)内无解,
即f′()≥0或f′(1)≤0,
解得实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
20、(本小题满分12分)
解:(1)由题意,设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).
由△BF1F2是正三角形,得F1F2=BF1=BF2,
即2c=a,所以e==.b2=a2-c2=(2c)2-c2=3c2,
所以椭圆方程为+=1(c>0).
又椭圆C经过点(1,),所以+=1.解得c2=1.
故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)由题可知,直线l过F2(1,0),且与BF1垂直.
因为B(0,),F1(-1,0),所以=.于是kl=-,
直线l的方程为y=-(x-1).
设直线l与椭圆C交于M,N两点,且M(x1,y1),N(x2,y2).
由
消去y,可得13x2-8x-32=0.
由韦达定理,x1+x2=,x1·x2=-.
|MN|=×
=×=×=
21、(本小题满分12分)
解:(1)由题意有=1,解得a2=8,b2=4.
所以C的方程为=1.
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
将y=kx+b代入=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM=,yM=k·xM+b=.
于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
22.(本小题满分12分) 解:(1)由已知f′(x)=2+(x>0),则f′(1)=2+1=3.
故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3.
(2)f′(x)=a+=(x>0).
①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f′(x)>0,
所以,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a<0时,由f′(x)=0,得x=-.
在区间(0,-)上,f′(x)>0,在区间(-,+∞)上f′(x)<0,
所以,函数f(x)的单调递增区间为(0,-),单调递减区间为(-,+∞).
(3)由已知,转化为f(x)max-1-ln(-a),解得a<-,即a的取值范围为(-∞,-)
