2014浙江（理科数学）高考试题

2014浙江（理科数学）高考试题

2014·浙江卷(理科数学) 1．[2014·浙江卷] 设全集 U＝{x∈N|x≥2}，集合 A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝( ) A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5} 1．B [解析] ∁UA＝{x∈N|2≤x< 5}＝{2}，故选 B. 2．、[2014·浙江卷] 已知 i 是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．A [解析] 由 a，b∈R，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i, 得 a2－b2＝0， 2ab＝2， 所以 a＝1， b＝1 或 a＝－1， b＝－1. 故选 A. 3．[2014·浙江卷] 几何体的三视图(单位：cm)如图 11 所示，则此几何体的表面积是 ( ) 图 11 A．90 cm2 B．129 cm2 C．132 cm2 D．138 cm2 3．D [解析] 此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其直观图如图， 所以该几何体的表面积为 2(4×3＋6×3＋6×4)＋2×1 2 ×3×4＋4×3＋3×5－3×3＝ 138(cm2)，故选 D. 4．[2014·浙江卷] 为了得到函数 y＝sin 3x＋cos 3x 的图像，可以将函数 y＝ 2cos 3x 的 图像( ) A．向右平移π 4 个单位 B．向左平移π 4 个单位 C．向右平移π 12 个单位 D．向左平移π 12 个单位 4．C [解析] y＝sin 3x＋cos 3x＝ 2cos 3x－π 4 ＝ 2cos 3 x－π 12 ，所以将函数 y＝ 2cos 3x 的图像向右平移π 12 个单位可以得到函数 y＝sin 3x＋cos 3x 的图像，故选 C. 5．[2014·浙江卷] 在(1＋x)6(1＋y)4 的展开式中，记 xmyn 项的系数为 f(m，n)，则 f(3，0) ＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( ) A．45 B．60 C．120 D．210 5．C [解析] 含 xmyn 项的系数为 f(m，n)＝Cm6 Cn4，故原式＝C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝ 120，故选 C. 6．[2014·浙江卷] 已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且 09 6．C [解析] 由 f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得 －1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c， －8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c ⇒ －7＋3a－b＝0， 19－5a＋b＝0 ⇒ a＝6， b＝11， 则 f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，而 00)，g(x)＝logax 的图像可能是 ( ) A B C D 图 12 图 12 7．D [解析] 只有选项 D 符合，此时 0p2，E(ξ1)E(ξ2) C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p1p2；E(ξ1)＝1×3 6 ＋2×3 6 ＝3 2 ，E(ξ2)＝1×C23 C26 ＋2×C13C13 C26 ＋3×C23 C26 ＝2，则 E(ξ1)0； E(ξ1)＝1× n m＋n ＋2× m m＋n ＝2m＋n m＋n ， E(ξ2)＝1× C2n C2m＋n ＋2×C1mC1n C2m＋n ＋3× C2m C2m＋n ＝ 3m2－3m＋4mn＋n2－n （m＋n）（m＋n－1） ， E(ξ1)－E(ξ2)＝ －m2＋m－mn （m＋n）（m＋n－1）<0，故选 A. 10．[2014·浙江卷] 设函数 f1(x)＝x2，f2(x)＝2(x－x2)，f3(x)＝1 3|sin 2πx|，ai＝ i 99 ，i＝0， 1，2，…，99.记 Ik＝|fk(a1)－fk(a0)|＋|fk(a2)－fk(a1)|＋…＋|fk(a99)－fk(a98)|，k＝1，2，3，则( ) A．I11.故 I2n，输出 i＝6. 12．[2014·浙江卷] 随机变量ξ的取值为 0，1，2.若 P(ξ＝0)＝1 5 ，E(ξ)＝1，则 D(ξ)＝________． 12.2 5 [解析] 设 P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝y， 则 x＋y＝4 5 ， x＋2y＝1 ⇒ x＝3 5 ， y＝1 5 ， 所以 D(ξ)＝(0－1)2×1 5 ＋(1－1)2×3 5 ＋(2－1)2×1 5 ＝2 5. 13． [2014·浙江卷] 当实数 x，y 满足 x＋2y－4≤0， x－y－1≤0， x≥1 时，1≤ax＋y≤4 恒成立，则实 数 a 的取值范围是________． 13. 1，3 2 [解析] 实数 x，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，图中 A(1，0)，B(2， 1)，C 1，3 2 .当 a≤0 时，0≤y≤3 2 ，1≤x≤2，所以 1≤ax＋y≤4 不可能恒成立；当 a>0 时， 借助图像得，当直线 z＝ax＋y 过点 A 时 z 取得最小值，当直线 z＝ax＋y 过点 B 或 C 时 z 取 得最大值，故 1≤a≤4， 1≤2a＋1≤4， 1≤a＋3 2 ≤4， 解得 1≤a≤3 2.故 a∈ 1，3 2 . 14．[2014·浙江卷] 在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖．将这 8 张 奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答) 14．60 [解析] 分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有 C23A24 ＝36 种；另一种是三人各获得一张奖券，有 A34＝24 种．故共有 60 种获奖情况． 15．[2014·浙江卷] 设函数 f(x)＝ x2＋x，x<0， －x2， x≥0. 若 f[f(a)]≤2，则实数 a 的取值范围是________． 15．(－∞， 2] [解析] 函数 f(x)的图像如图所示，令 t＝f(a)，则 f(t)≤2，由图像知 t≥ －2，所以 f(a)≥－2，则 a≤ 2. 16．[2014·浙江卷] 设直线 x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的两条渐 近线分别交于点 A，B.若点 P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________． 16. 5 2 [解析] 双曲线的渐近线为 y＝±b ax，渐近线与直线 x－3y＋m＝0 的交点为 A －am a＋3b ， bm a＋3b ，B －am a－3b ，－bm a－3b .设 AB 的中点为 D，由|PA|＝|PB|知 AB 与 DP 垂直，则 D －a2m （a＋3b）（a－3b） ， －3b2m （a＋3b）（a－3b） ，kDP＝－3，解得 a2＝4b2，故该 双曲线的离心率是 5 2 . 17．[2014·浙江卷] 如图 14，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击 训练．已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确 瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角θ的大小．若 AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM ＝30°，则 tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线 AP 与平面 ABC 所成角) 图 14 17.5 3 9 [解析] 由勾股定理得 BC＝20 m．如图，过 P 点作 PD⊥BC 于 D，连接 AD, 则 由点 A 观察点 P 的仰角θ＝∠PAD，tan θ＝PD AD.设 PD＝x，则 DC＝ 3x，BD＝20－ 3x， 在 Rt△ABD 中，AD＝ 152＋（20－ 3x）2＝ 625－40 3x＋3x2， 所以 tan θ＝ x 625－40 3x＋3x2 ＝ 1 625 x2 －40 3 x ＋3 ＝ 1 625 1 x －20 3 625 2 ＋27 25 ≤5 3 9 ，故 tan θ的最大值为5 3 9 . 18． [2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 a≠b， c＝ 3，cos2A－cos2B＝ 3sin Acos A－ 3sin Bcos B. (1)求角 C 的大小； (2)若 sin A＝4 5 ，求△ABC 的面积． 18．解：(1)由题意得1＋cos 2A 2 －1＋cos 2B 2 ＝ 3 2 sin 2A－ 3 2 sin 2B，即 3 2 sin 2A－1 2cos 2A ＝ 3 2 sin 2B－1 2cos 2B，sin 2A－π 6 ＝sin 2B－π 6 . 由 a≠b，得 A≠B，又 A＋B∈(0，π)，得 2A－π 6 ＋2B－π 6 ＝π， 即 A＋B＝2π 3 ，所以 C＝π 3 . (2)由 c＝ 3，sin A＝4 5 ， a sin A ＝ c sin C ，得 a＝8 5. 由 a0，c3>0，c4>0， 当 n≥5 时，cn＝ 1 n（n＋1） n（n＋1） 2n －1 ， 而n（n＋1） 2n －（n＋1）（n＋2） 2n＋1 ＝（n＋1）（n－2） 2n＋1 >0， 得n（n＋1） 2n ≤5×（5＋1） 25 <1， 所以，当 n≥5 时，cn<0. 综上，若对任意 n∈N*恒有 Sk≥Sn，则 k＝4. 20．、[2014·浙江卷] 如图 15，在四棱锥 A BCDE 中，平面 ABC⊥平面 BCDE，∠CDE ＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面 ACD； (2)求二面角 B AD E 的大小． 图 15 20．解：(1)证明：在直角梯形 BCDE 中，由 DE＝BE＝1，CD＝2，得 BD＝BC＝ 2， 由 AC＝ 2，AB＝2， 得 AB2＝AC2＋BC2，即 AC⊥BC. 又平面 ABC⊥平面 BCDE，从而 AC⊥平面 BCDE， 所以 AC⊥DE.又 DE⊥DC，从而 DE⊥平面 ACD. (2)方法一： 过 B 作 BF⊥AD，与 AD 交于点 F，过点 F 作 FG∥DE，与 AE 交于点 G，连接 BG.由(1) 知 DE⊥AD，则 FG⊥AD.所以∠BFG 是二面角 B AD E 的平面角． 在直角梯形 BCDE 中，由 CD2＝BC2＋BD2， 得 BD⊥BC. 又平面 ABC⊥平面 BCDE，得 BD⊥平面 ABC，从而 BD⊥AB.由 AC⊥平面 BCDE，得 AC⊥CD. 在 Rt△ACD 中，由 DC＝2，AC＝ 2，得 AD＝ 6. 在 Rt△AED 中，由 ED＝1，AD＝ 6，得 AE＝ 7. 在 Rt△ABD 中，由 BD＝ 2，AB＝2，AD＝ 6，得 BF＝2 3 3 ，AF＝2 3AD.从而 GF＝2 3ED ＝2 3. 在△ABE，△ABG 中，利用余弦定理分别可得 cos∠BAE＝5 7 14 ，BG＝2 3. 在△BFG 中，cos∠BFG＝GF2＋BF2－BG2 2BF·GF ＝ 3 2 . 所以，∠BFG＝π 6 ，即二面角 B AD E 的大小是π 6 . 方法二： 以 D 为原点，分别以射线 DE，DC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 D xyz， 如图所示． 由题意知各点坐标如下： D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)， A(0，2， 2)，B(1，1，0)． 设平面 ADE 的法向量为 m＝(x1，y1，z1)， 平面 ABD 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)． 可算得 AD＝(0，－2，－ 2)，AE＝(1，－2，－ 2)，DB→ ＝(1，1，0)． 由 m·AD＝0， m·AE→＝0， 即 －2y1－ 2z1＝0， x1－2y1－ 2z1＝0， 可取 m＝(0，1，－ 2)． 由 n·AD→ ＝0， n·DB→ ＝0， 即 －2y2－ 2z2＝0， x2＋y2＝0， 可取 n＝(1，－1， 2)． 于是|cos〈m，n〉|＝|m·n| |m|·|n| ＝ 3 3×2 ＝ 3 2 . 由题意可知，所求二面角是锐角， 故二面角 B AD E 的大小是π 6 . 21．、[2014·浙江卷] 如图 16，设椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)，动直线 l 与椭圆 C 只有一 个公共点 P，且点 P 在第一象限． (1)已知直线 l 的斜率为 k，用 a，b，k 表示点 P 的坐标； (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直，证明：点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a－b. 图 16 21．解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由 y＝kx＋m， x2 a2 ＋y2 b2 ＝1，消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx ＋a2m2－a2b2＝0. 由于 l 与 C 只有一个公共点，故Δ＝0，即 b2－m2＋a2k2＝0，解得点 P 的坐标为 － a2km b2＋a2k2 ， b2m b2＋a2k2 . 又点 P 在第一象限，故点 P 的坐标为 P －a2k b2＋a2k2 ， b2m b2＋a2k2 . (2)由于直线 l1 过原点 O 且与 l 垂直，故直线 l1 的方程为 x＋ky＝0，所以点 P 到直线 l1 的距离 d＝ | －a2k b2＋a2k2 ＋ b2k b2＋a2k2| 1＋k2 ， 整理得 d＝ a2－b2 b2＋a2＋a2k2＋b2 k2 . 因为 a2k2＋b2 k2 ≥2ab，所以 a2－b2 b2＋a2＋a2k2＋b2 k2 ≤ a2－b2 b2＋a2＋2ab ＝a－b， 当且仅当 k2＝b a 时等号成立． 所以，点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a－b. 22．、[2014·浙江卷] 已知函数 f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R)． (1)若 f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为 M(a)，m(a)，求 M(a)－m(a)； (2)设 b∈R，若[f(x)＋b]2≤4 对 x∈[－1，1]恒成立，求 3a＋b 的取值范围． 22．解：(1)因为 f(x)＝ x3＋3x－3a，x≥a， x3－3x＋3a，xa， 3x2－3，x0，t(a)在 0，1 3 上是增函数，故 t(a)>t(0)＝－2， 因此－2≤3a＋b≤0. (iii)当1 32 时，2(x－2)－(x＋1)＞3，得 x>8，此时 x>8. 综上所述，原不等式的解集是(－∞，0)∪(8，＋∞)． (2)证明：由 abc＝a＋b＋c，得 1 ab ＋ 1 bc ＋ 1 ca ＝1. 由柯西不等式，得 (ab＋4bc＋9ac) 1 ab ＋ 1 bc ＋ 1 ca ≥(1＋2＋3)2， 所以 ab＋4bc＋9ac≥36，当且仅当 a＝2，b＝3，c＝1 时，等号成立． 2．[2014·浙江卷] (1)在极坐标系 Ox 中，设集合 A＝{(ρ，θ)|0≤θ≤π 4 ，0≤ρ≤cos θ}， 求集合 A 所表示区域的面积； (2)在直角坐标系 xOy 中， 直线 l： x＝－4＋tcosπ 4 ， y＝tsinπ 4 (t 为参数)， 曲线 C： x＝acos θ， y＝2sin θ (θ为参数)，其中 a＞0. 若曲线 C 上所有点均在直线 l 的右下方，求 a 的取值范围． 解：(1)在ρ＝cos θ两边同乘ρ，得 ρ2＝ρcos θ. 化成直角坐标方程，得 x2＋y2＝x， 即 x－1 2 2 ＋y2＝1 4. 所以集合 A 所表示的区域为：由射线 y＝x(x≥0)，y＝0(x≥0)，圆 x－1 2 2 ＋y2＝1 4 所围成 的区域，如图所示的阴影部分，所求面积为π 16 ＋1 8. (2)由题意知，直线 l 的普通方程为 x－y＋4＝0. 因为曲线 C 上所有点均在直线 l 的右下方，故对θ∈R，有 acos θ－2sin θ＋4＞0 恒 成立， 即 a2＋4cos(θ＋φ)＞－4 其中 tan φ＝2 a 恒成立， 所以 a2＋4＜4.又 a＞0，得 0＜a＜2 3.