2017-2018学年内蒙古集宁一中(西校区)高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年内蒙古集宁一中(西校区)高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

集宁一中西校区2017-2018学年第二学期期末考试 高二年级理科数学试题 本试卷满分150分，考试时间为120分钟 ‎ ‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的。每小题5分， 共60分。）‎ ‎1.若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|=(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎C. D. ‎ ‎2.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(　　)‎ A.若K2的观测值为6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99个患有肺病 B.由独立性检验知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患肺病 C.若统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误 D.以上三种说法都不正确 ‎3.已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中 的系数(　　)‎ A.5 B‎.40 ‎C.20 D.10‎ ‎4.若曲线 在点P(0,b)处的切线方程是 ,则(　　)‎ A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1‎ C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1‎ ‎5.函数f(x)= (e为自然对数的底数)在区间[-1,1]上的最大值是(　　)‎ A.1+ B‎.1 ‎C.e+1 D.e-1‎ ‎6.已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2),若P(X>2)=0.023,则P(-2≤X≤2)=(　　)‎ A.0.477 B.‎0.628 ‎C.0.954 D.0.977‎ ‎7.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它是被甲击中的概率为(　　)‎ A.0.45 ‎B.‎0.6 ‎C.0.65 D.0.75‎ ‎8.从8名女生4名男生中,选出3名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为(　　)‎ A.112种 B.100种 C.90种 D.80种 ‎9.从装有3个白球,4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球,1个红球的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ X ‎4‎ a ‎9‎ P ‎0.5‎ ‎0.1‎ b ‎10.已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为(　　)‎ A.5 B‎.6 ‎C.7 D.8‎ ‎11.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为 ,乙、丙去北京旅游的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为(　　)‎ A.400 B‎.460 ‎C.480 D.496‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.某单位为了了解用电量y千瓦时与气温x℃之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:‎ 气温/℃‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎-1‎ 用电量/千瓦时 ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据得回归直线方程x+=-2,预测当气温为‎-4 ℃‎时,用电量的度数约为　　　　　. ‎ ‎14. 　　　　　.  ‎ ‎15.已知随机变量X的分布列为P(X=i)= (i=1,2,3),则P(X=2)=　　　　　. ‎ ‎16.设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为 ,则事件A恰好发生一次的概率为　　　　　. ‎ 三、 解答题、(本大题共6小题满分70分)‎ ‎17(10分).以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线 的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,求直线被圆C截得的弦长.‎ ‎18(12分).如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,‎ ‎∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6.‎ ‎(1)求证:BD⊥平面PAC; (2)求二面角P-BD-A的大小.‎ ‎19（12分）.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:‎ 降水量X X<300‎ ‎300≤X<700‎ ‎700≤X<900‎ X≥900‎ 工期延误天数Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.‎ 求:工期延误天数Y的均值与方差;‎ ‎20（12分）四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.‎ ‎(1)若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法?‎ ‎(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?‎ ‎21（12分）.某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4 500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法.收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).‎ ‎(1)应收集多少位女生的样本数据?‎ ‎(2)根据这300‎ 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率;‎ ‎(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附K2=‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎22(12分).已知函数 ‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.‎ ‎1.C 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C 7.D 8.A 9.C 10.C 11.B 12.C ‎ ‎13.68 14.π 15. 16. ‎ ‎17.解:由题意得直线l的方程为x-y-4=0,圆C的方程为(x-2)2+y2=4.‎ 则圆心到直线的距离d=,故弦长=2=2.‎ ‎18. 解：(1)证明:如图,建立空间直角坐标系,‎ 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3),∴=(0,0,3),=(2,6,0),=(-2,2,0).‎ ‎∴=0,=0.∴BD⊥AP,BD⊥AC.又∵PA∩AC=A,∴BD⊥面PAC.‎ ‎(2)平面ABD的法向量为m=(0,0,1),设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),‎ 则n·=0,n·=0.∵=(-2,0,3),∴解得 令x=,则n=(,3,2),∴cos=.∴二面角P-BD-A的大小为60°.‎ ‎19.解:(1)由已知条件和概率的加法公式有:‎ P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0. 3=0.4,‎ P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2.‎ Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ P ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0. 2‎ ‎0.1‎ P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.‎ 所以Y的分布列为:‎ 于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;‎ D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.‎ 故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.‎ ‎20.解:(1)每个盒子放一个球,共有=24种不同的放法.‎ ‎ (2)先选后排,分三步完成:‎ 第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;‎ 第二步:选两球为一个元素,有种选法;‎ 第三步:三个元素放入三个盒中,有种放法.‎ 故共有4×=144种放法.‎ ‎21.解:(1)300×=90,所以应收集90位女生的样本数据.‎ ‎(2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,‎ 所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.‎ ‎(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:‎ 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 每周平均体育运动时间超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300[]‎ ‎ ‎ 结合列联表可算得k=≈4.762>3.841.所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ ‎22.解:(1)f'(x)=3x2‎-3a=3(x2-a),‎ 当a<0时,对x∈R,有f'(x)>0,∴当a<0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).‎ 当a>0时,由f'(x)>0,解得x<-或x>.由f'(x)<0,解得-0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-),(,+∞),单调减区间为(-).‎ ‎(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,∴f'(-1)=3×(-1)2‎-3a=0,∴a=1.∴f(x)=x3-3x-1,‎ f'(x)=3x2-3.由f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1.由(1)中f(x)的单调性可知f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,‎ ‎ ‎