2016年普通高等学校招生全国统一考试天津文科数学

2016年普通高等学校招生全国统一考试天津文科数学

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 天津文科数学 ‎1.(2016天津,文1)已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.{1,3} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}‎ 答案A　由题意知,当x=1时,y=2×1-1=1;当x=2时,y=3;当x=3时,y=5.因此,集合B={1,3,5}　.故A∩B={1,3}.‎ ‎2.(2016天津,文2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是‎1‎‎2‎,甲获胜的概率是‎1‎‎3‎,则甲不输的概率为(　　)‎ A.‎5‎‎6‎ B.‎2‎‎5‎ C.‎1‎‎6‎ D.‎‎1‎‎3‎ 答案A　令A=“甲、乙下成和棋”,B=“甲获胜”,C=“甲输”,则C=“甲不输”.‎ ‎∵P(A)=‎1‎‎2‎,P(B)=‎1‎‎3‎,∴P(C)=1-‎1‎‎2‎‎-‎1‎‎3‎=‎‎1‎‎6‎　 .‎ ‎∴P(C)=1-‎1‎‎6‎‎=‎‎5‎‎6‎.‎ 故甲不输的概率为‎5‎‎6‎.‎ ‎3.(2016天津,文3)‎ 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为(　　)‎ 答案B　由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示:‎ 易知其左视图为B项中图.故选B.‎ ‎4.(2016天津,文4)已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的焦距为2‎5‎,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎4‎-y2=1 B.x2-y‎2‎‎4‎=1‎ C.‎3‎x‎2‎‎20‎‎-‎‎3‎y‎2‎‎5‎=1 D.‎3‎x‎2‎‎5‎‎-‎‎3‎y‎2‎‎20‎=1‎ 答案A　∵双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的焦距为2‎5‎,‎ ‎∴c=‎5‎　.‎ 又∵该双曲线的渐近线与直线2x+y=0垂直,∴渐近线方程为y=‎1‎‎2‎x　.‎ ‎∴ba‎=‎‎1‎‎2‎　,即a=2b.‎ ‎∴a2=4b2.∴c2-b2=4b2.∴c2=5b2.‎ ‎∴5=5b2.∴b2=1.‎ ‎∴a2=c2-b2=5-1=4.‎ 故所求双曲线的方程为x‎2‎‎4‎-y2=1.‎ ‎5.(2016天津,文5)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的(　　)‎ A.充要条件 B.充要而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案C　当x=1,y=-2,1>-2,但1<|-2|,∴x>y　x>|y|　,∴x>y不是x>|y|的充分条件.对于x>|y|,若y≥0　,则x>|y|⇒x>y;若y<0　,∵x>0,则x>y,∴x>|y|⇒x>y　.∴x>y是x>|y|的必要条件.∴“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件.故选C.‎ ‎6.(2016天津,文6)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-‎2‎),则a的取值范围是(　　)‎ A.‎-∞,‎‎1‎‎2‎ B.‎‎-∞,‎‎1‎‎2‎‎∪‎‎3‎‎2‎‎,+∞‎ C.‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎‎,+∞‎ 答案C　∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减　.‎ ‎∴由f(2|a-1|)>f(-‎2‎)=f(‎2‎)　可得2|a-1|<‎2‎‎=‎‎2‎‎1‎‎2‎.‎ ‎∴|a-1|<‎1‎‎2‎.∴-‎1‎‎2‎0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎1‎‎8‎ B.‎‎0,‎‎1‎‎4‎‎∪‎‎5‎‎8‎‎,1‎ C.‎0,‎‎5‎‎8‎ D.‎‎0,‎‎1‎‎8‎‎∪‎‎1‎‎4‎‎,‎‎5‎‎8‎ 答案D　f(x)=‎1-cosωx‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎sin ωx-‎1‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎sin ωx-‎1‎‎2‎cos ωx=‎2‎‎2‎sinωx-‎π‎4‎.‎ 由f(x)=0　,得ωx-π‎4‎=kπ,k∈Z,x=kπω‎+‎π‎4ω,k∈Z.‎ ‎∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点,‎ ‎∴有T‎2‎≥2π-π=π　,且kπω‎+π‎4ω≤π,‎‎(k+1)πω‎+π‎4ω≥2π,‎　由T‎2‎≥π,得T≥2π,0<ω≤1　.‎ 由kπω‎+π‎4ω≤π,‎‎(k+1)πω‎+π‎4ω≥2π,‎解得‎4k+1‎‎4‎≤ω≤‎4k+5‎‎8‎　.‎ 当k=-1时,-‎3‎‎4‎≤ω≤‎1‎‎8‎,∵ω>0,∴0<ω≤‎1‎‎8‎;‎ 当k=0时,‎1‎‎4‎≤ω≤‎5‎‎8‎;‎ 当k≤-2或k≥1,k∈Z时,不满足0<ω≤1.‎ 综上,ω的取值范围是‎0,‎‎1‎‎8‎‎∪‎‎1‎‎4‎‎,‎‎5‎‎8‎.‎ ‎9.(2016天津,文9)i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为　　　　　. ‎ 答案1　因为(1+i)z=2,所以z=‎2‎‎1+i=1-i.所以z的实部　为1.‎ ‎10.(2016天津,文10)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为　　　　　. ‎ 答案3　∵f'(x)=(2x+3)ex,∴f'(0)=3.‎ ‎11.(2016天津,文11)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为　　　　　. ‎ 答案4‎ 解析第一次循环:S=8,n=2;第二次循环:S=2,n=3;第三次循环:S=4,n=4,满足条件,结束循环,输出S=4.‎ ‎12.(2016天津,文12)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,‎5‎)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为‎4‎‎5‎‎5‎,则圆C的方程为　　　　　. ‎ 答案(x-2)2+y2=9‎ 解析设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),则‎|2a|‎‎5‎‎=‎‎4‎‎5‎‎5‎⇒a=2.又点M(0,‎5‎)在圆C上,则圆C的半径r=‎2‎‎2‎‎+5‎=3.故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.‎ ‎13.(2016天津,文13)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为　　　　　. ‎ 答案‎2‎‎3‎‎3‎ 解析 设CE=x,如图,连接AC,BC,AD,则由相交弦定理　得DE·CE=AE·BE,DE=‎2‎x,又BD=DE=‎2‎x,所以AC=AE=1.因为AB是直径,所以BC=‎3‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎=2‎2‎,AD=‎9-‎‎4‎x‎2‎.由题意可知,△BCE∽△DAE,则BCAD‎=‎ECAE,即‎2‎‎2‎‎9-‎‎4‎x‎2‎‎=‎x‎1‎,解得x=‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎14.(2016天津,文14)已知函数f(x)=x‎2‎‎+(4a-3)x+3a,x<0,‎loga(x+1)+1,x≥0‎(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x‎3‎恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是　　　　　. ‎ 答案‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎ 解析由函数f(x)在R上单调递减可得‎00时,解得a>‎17‎‎12‎或a<‎2‎‎3‎.‎ 又∵a∈‎1‎‎3‎‎,‎‎3‎‎4‎,∴a∈‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎.‎ ‎①方程有一负根x0和一零根,则有x0·0=3a-2=0,解得a=‎2‎‎3‎.‎ 显然与a≠‎2‎‎3‎矛盾.‎ ‎②方程有一正根x1和一负根x2,‎ 则有x1·x2=3a-2<0,解得a<‎2‎‎3‎.‎ 又a∈‎1‎‎3‎‎,‎‎3‎‎4‎,所以a∈‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎.‎ 由(1)(2)可知,a的取值范围为‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎.‎ ‎15.(2016天津,文15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=‎3‎bsin A.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)若cos A=‎1‎‎3‎,求sin C的值.‎ 解(1)在△ABC中,由asinA‎=‎bsinB,可得asin B=bsin A,‎ 又由asin 2B=‎3‎bsin A,得2asin Bcos B=‎3‎bsin A=‎3‎asin B,所以cos B=‎3‎‎2‎,得B=π‎6‎.‎ ‎(2)由cos A=‎1‎‎3‎,可得sin A=‎2‎‎2‎‎3‎,则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinA+‎π‎6‎‎=‎‎3‎‎2‎sin A+‎1‎‎2‎cos A=‎2‎6‎+1‎‎6‎.‎ ‎16.(2016天津,文16)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:‎ ‎　　原料 肥料　　‎ A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.‎ ‎(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.‎ 解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为‎4x+5y≤200,‎‎8x+5y≤360,‎‎3x+10y≤300,‎x≥0,‎y≥0.‎ 该二元一次不等式组所表示的平面区域　为图1中的阴影部分:‎ 图1‎ 图2‎ ‎(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.‎ 考虑z=2x+3y,将它变形为y=-‎2‎‎3‎x+z‎3‎,这是斜率为-‎2‎‎3‎,随z变化的一族平行直线,z‎3‎为直线在y轴上的截距,当z‎3‎取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距z‎3‎最大,即z最大.‎ 解方程组‎4x+5y=200,‎‎3x+10y=300,‎得点M的坐标为(20,24).‎ 所以zmax=2×20+3×24=112.‎ 答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.‎ ‎17.(2016天津,文17)‎ 如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=‎6‎,DE=3,∠BAD=60°,G为BC的中点.‎ ‎(1)求证:FG∥平面BED;‎ ‎(2)求证:平面BED⊥平面AED;‎ ‎(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明取BD中点O,连接OE,OG.在△BCD中,因为G是BC中点,所以OG∥DC且OG=‎1‎‎2‎DC=1,又因为EF∥AB,AB∥DC,所以EF∥OG且EF=OG,即四边形OGFE是平行四边形,所以FG∥OE.‎ 又FG⊄平面BED,OE⊂平面BED,所以,FG∥平面BED.‎ ‎(2)证明 在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由余弦定理　可得BD=‎3‎,进而∠ADB=90°,即BD⊥AD.又因为平面AED⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,所以BD⊥平面AED.又因为BD⊂平面BED,所以,平面BED⊥平面AED.‎ ‎(3)解因为EF∥AB,所以直线EF与平面BED所成　的角　即为直线AB与平面BED所成的角.过点A作AH⊥DE于点H,连接BH.又平面BED∩平面AED=ED,由(2)知AH⊥平面BED.所以,直线AB与平面BED所成的角即为∠ABH.‎ 在△ADE中,AD=1,DE=3,AE=‎6‎,由余弦定理　得cos∠ADE=‎2‎‎3‎,所以sin∠ADE=‎5‎‎3‎,因此,AH=AD·sin∠ADE=‎5‎‎3‎.‎ 在Rt△AHB中,sin∠ABH=AHAB‎=‎‎5‎‎6‎.‎ 所以,直线EF与平面BED所成角的正弦值为‎5‎‎6‎.‎ ‎18.(2016天津,文18)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且‎1‎a‎1‎‎-‎1‎a‎2‎=‎‎2‎a‎3‎,S6=63.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)nbn‎2‎}的前2n项和.‎ 解(1)设数列{an}的公比为q.由已知,有‎1‎a‎1‎‎-‎1‎a‎1‎q=‎‎2‎a‎1‎q‎2‎,解得q=2,或q=-1.‎ 又由S6=a1·‎1-‎q‎6‎‎1-q=63,知q≠-1,‎ 所以a1·‎1-‎‎2‎‎6‎‎1-2‎=63,得a1=1.所以an=2n-1.‎ ‎(2)由题意,得bn=‎1‎‎2‎(log2an+log2an+1)=‎1‎‎2‎(log22n-1+log22n)=n-‎1‎‎2‎,‎ 即{bn}是首项为‎1‎‎2‎,公差为1的等差数列.‎ 设数列{(-1)nbn‎2‎}的前n项和为Tn,则T2n=(-b‎1‎‎2‎‎+‎b‎2‎‎2‎)+(-b‎3‎‎2‎‎+‎b‎4‎‎2‎)+…+(-b‎2n-1‎‎2‎‎+‎b‎2n‎2‎)=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n=‎2n(b‎1‎+b‎2n)‎‎2‎=2n2.‎ ‎19.(2016天津,文19)设椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1(a>‎3‎)的右焦点为F,右顶点为A.已知‎1‎‎|OF|‎‎+‎1‎‎|OA|‎=‎‎3e‎|FA|‎,其中O为原点,e为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.‎ 解(1)设F(c,0).由‎1‎‎|OF|‎‎+‎1‎‎|OA|‎=‎‎3e‎|FA|‎,即‎1‎c‎+‎1‎a=‎‎3ca(a-c)‎,可得a2-c2=3c2,‎ 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.‎ 所以,椭圆的方程　为x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎y=k(x-2)‎消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.‎ 解得x=2,或x=‎8k‎2‎-6‎‎4k‎2‎+3‎,由题意得xB=‎8k‎2‎-6‎‎4k‎2‎+3‎,从而yB=‎-12k‎4k‎2‎+3‎.‎ 由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF‎=‎‎9-4‎k‎2‎‎4k‎2‎+3‎‎,‎‎12k‎4k‎2‎+3‎.由BF⊥HF,得BF‎·‎FH=0,所以‎4k‎2‎-9‎‎4k‎2‎+3‎‎+‎‎12kyH‎4k‎2‎+3‎=0,解得yH=‎9-4‎k‎2‎‎12k.因此直线MH的方程为y=-‎1‎kx+‎9-4‎k‎2‎‎12k.‎ 设M(xM,yM),由方程组y=k(x-2),‎y=-‎1‎kx+‎‎9-4‎k‎2‎‎12k消去y,解得xM=‎20k‎2‎+9‎‎12(k‎2‎+1)‎.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM‎2‎‎=xM‎2‎+‎yM‎2‎,化简得xM=1,即‎20k‎2‎+9‎‎12(k‎2‎+1)‎=1,解得k=-‎6‎‎4‎,或k=‎6‎‎4‎.‎ 所以,直线l的斜率　为-‎6‎‎4‎或‎6‎‎4‎.‎ ‎20.(2016天津,文20)设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;‎ ‎(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于‎1‎‎4‎.‎ ‎(1)解由f(x)=x3-ax-b,可得f'(x)=3x2-a.‎ 下面分两种情况讨论:‎ ‎①当a≤0时,有f'(x)=3x2-a≥0恒成立.‎ 所以f(x)的单调递增区间　为(-∞,+∞).‎ ‎②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=‎3a‎3‎,或x=-‎3a‎3‎.‎ 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎ ‎‎-∞,‎ ‎-‎‎3a‎3‎‎ ‎ ‎-‎‎3a‎3‎ ‎-‎3a‎3‎,‎ ‎3a‎3‎ ‎3a‎3‎ ‎3a‎3‎‎,+∞‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 单调 递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以f(x)的单调递减区间　为‎-‎3a‎3‎,‎‎3a‎3‎,单调　递增区间　为‎-∞,-‎‎3a‎3‎‎,‎‎3a‎3‎‎,+∞‎.‎ ‎(2)证明因为f(x)存在极值点　,所以由(1)知a>0,且x0≠0.由题意,得f'(x0)=3x‎0‎‎2‎-a=0,即x‎0‎‎2‎‎=‎a‎3‎,进而f(x0)=x‎0‎‎3‎-ax0-b=-‎2a‎3‎x0-b.‎ 又f(-2x0)=-8x‎0‎‎3‎+2ax0-b=-‎8a‎3‎x0+2ax0-b=-‎2a‎3‎x0-b=f(x0),且-2x0≠x0,由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0.‎ 所以x1+2x0=0.‎ ‎(3)证明设g(x)在区间[-1,1]上的最大值　为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:‎ ‎①当a≥3时,-‎3a‎3‎≤-1<1≤‎3a‎3‎,由(1)知,f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(1),f(-1)],因此M=max{|f(1)|,|f(-1)|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}=‎a-1+b,b≥0,‎a-1-b,b<0.‎ 所以M=a-1+|b|≥2.‎ ‎②当‎3‎‎4‎≤a<3时,-‎2‎‎3a‎3‎≤-1<-‎3a‎3‎‎<‎‎3a‎3‎<1≤‎2‎‎3a‎3‎,由(1)和(2)知f(-1)≥f‎-‎‎2‎‎3a‎3‎=f‎3a‎3‎,f(1)≤f‎2‎‎3a‎3‎=f‎-‎‎3a‎3‎,‎ 所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为f‎3a‎3‎,f‎-‎‎3a‎3‎,‎ 因此M=maxf‎3a‎3‎‎,‎f‎-‎‎3a‎3‎ ‎=max‎-‎2a‎9‎‎3a-b‎,‎‎2a‎9‎‎3a‎-b ‎=max‎2a‎9‎‎3a‎+b‎,‎‎2a‎9‎‎3a‎-b ‎=‎2a‎9‎‎3a+|b|≥‎2‎‎9‎‎×‎3‎‎4‎×‎3×‎‎3‎‎4‎=‎‎1‎‎4‎.‎ ‎③当0f‎2‎‎3a‎3‎=f‎-‎‎3a‎3‎,‎ 所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(-1),f(1)],因此M=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|-1+a-b|,|1-a-b|}=max{|1-a+b|,|1-a-b|}=1-a+|b|>‎1‎‎4‎.‎ 综上所述,当a>0时,g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于‎1‎‎4‎.‎