2018-2019学年辽宁省凤城市高二5月联考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年辽宁省凤城市高二5月联考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 辽宁省凤城市2018-2019学年高二5月联考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数满足,则=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由得，故选D．‎ 考点：复数运算．‎ ‎2．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　)‎ A．假设都是偶数 B．假设都不是偶数 C．假设至多有一个偶数 D．假设至多有两个偶数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，‎ 所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设都不是偶数”，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎3．（2015高考山东，理8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）‎ ‎（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，‎ ‎。）‎ A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意 故选B．‎ 考点：正态分布 ‎4．的展开式中的系数是（ ）‎ A．56 B．84 C．112 D．168‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，所以的系数为.故选D.‎ ‎【考点定位】二项式定理 视频 ‎5．为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知 ,选C.‎ ‎【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．‎ ‎6．函数的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算函数与y轴的交点坐标，再判断函数的单调性，即可判断出答案．‎ ‎【详解】‎ 当x＝0时，y＝4﹣1＝3＞0，排除C，当>x>0时，是单调递减的，当x>时，导函数为-4sinx-<0,所以也是单调递减的，又函数连续，故当x>0时，函数时递减的，故选A.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．‎ ‎7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由题意可得： ，三角形的面积：‎ ‎ ，当且仅当 时等号成立，‎ 综上可得，此三角形面积的最大值为 .‎ 本题选择B选项.‎ ‎8．用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）．‎ A、24 B、36 C、72 D、84‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：选两色有种，一色选择对角有种选法，共计种；‎ 选三色有种，其中一色重复有种选法，该色选择对角有种选法，另两色选位有种，共计种；四色全用有种（因为固定位置），合计种．‎ 考点：排列组合．‎ ‎9．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）‎ A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：记 “一天的空气质量为优良”， “第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.‎ 考点：条件概率．‎ 视频 ‎10．已知定义在上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和已知条件，通过导函数判断函数的单调性，利用函数的奇偶性和 单调性解不等式即可．‎ ‎【详解】‎ 是奇函数，‎ 不等式，等价为，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即当，时，，函数为减函数，‎ 是奇函数，‎ 为偶数，且当为增函数．‎ 即不等式（3）等价为（3），‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 即实数的取值范围是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系的应用，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，‎ 是解决本题的关键，综合考查了函数性质的应用．‎ ‎11．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是（ ）‎ A．跑步比赛 B．跳远比赛 C．铅球比赛 D．不能判定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.‎ 详解：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；‎ 再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力.‎ ‎12．已知函数的导函数满足对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可得．可得在，递减，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由，，，‎ 得，‎ 令，则．‎ 故在，递减；‎ ‎（e）（1），即（e）（1）．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．‎ 解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，‎ 可得np=30，npq=20，q=，则p=，‎ 故答案为：．‎ 点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．‎ ‎14．计算得__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 根据定积分的几何意义及定义，可知，故答案为.‎ ‎15．已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点 ‎，代入切线方程即可求得.‎ 考点：导函数的运用.‎ ‎【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．‎ ‎16．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若函数有三个不同的零点，则在时与x轴只能有一个交点,又指数函数恒过点(0,1),即函数图象向下平移不超过一个单位, 即,解得;当时,函数的对称轴为,此时函数与x轴有两个交点,只需,即,解得或,综上可得, ,故应填.‎ 点睛: 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．为等比数列的前项和，已知，，且公比.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）是否存在常数，使得数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得列出关于和的方程组，解得，，根据通项公式和求和公式即可求出；（2）假设存在常数，使得数列是等比数列，分别令，2，3，根据等比数列的性质求出的值，再根据定义证明即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意得，解得，‎ 所以，.‎ ‎（2）假设存在常数，使得数列是等比数列，‎ 因为，，，‎ 又因为，‎ 所以，所以，‎ 此时，，‎ 则，‎ 故存在，使得数列是以为首项，公比为3的等比数列.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的性质与判断，等比数列的通项公式，属于中档题．‎ ‎18．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：）某频率分布直方图如下：‎ ‎ ‎ ‎（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件：“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计的概率；‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量 箱产量 旧养殖法 新养殖法 ‎（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）0.4092 （2）见解析（3）52.35千克 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先利用独立事件概率公式求得事件的概率估计值；（2）写出列联表计算即可确定有的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）结合频率分布直方图估计中位数为.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”，‎ 由题意知，‎ 旧养殖法的箱产量低于的频率为 ‎，‎ 故的估计值为0.62.‎ 新养殖法的箱产量不低于的频率为 ‎，‎ 故的估计值为0.66.‎ 因此，事件的概率估计值为.‎ ‎（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 箱产量 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ ‎.‎ 由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ ‎（3）因为新养殖法的箱产量的频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为 ‎，‎ 箱产量低于的直方图面积为，‎ 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立事件的概率的求法，考查独立性检验，考查频率分布直方图的中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19．如图，矩形所在平面，，、分别是、的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过证明面，可证得面面垂直；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，设由向量的夹角公式先求解线面角得，再利用面的法向量求解二面角即可.‎ ‎【详解】‎ 如图，取中点，连接，.‎ ‎（1）证明：∵，，为中点，‎ ‎∴，，‎ ‎∴是平行四边形，，‎ 又∵，，‎ ‎∴面，∴面面.‎ ‎∵，为中点，面，‎ ‎∴面，∵面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）建立如图所示坐标系，‎ ‎，，，，，，.‎ 由（1）知面，‎ ‎∴，.‎ ‎∵直线与平面所成角的正弦值为，‎ ‎∴由得.‎ 设为面的法向量，则，.‎ 由得，，‎ ‎∵面，，设二面角为，为锐角，‎ 则，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.‎ ‎20．动点满足.‎ ‎（1）求点的轨迹并给出标准方程；‎ ‎（2）已知，直线：交点的轨迹于，两点，设且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为.（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可得故点的轨迹为椭圆，且，，即可求出标准方程，‎ ‎（2）设，，，，求出，，根据可得，令，可得，根据函数的单调性即可求出的范围，则可求出的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由动点满足，‎ 可得动点到点，，，的距离之和为常数，且，‎ 故点的轨迹为椭圆，且，，‎ 则，，‎ 则，‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（3）设，，，，‎ 联立方程组，消可得，‎ 则△，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即 令，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在上为减函数，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 或，‎ 故的范围为，，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥曲线的性质和综合应用，考查向量知识的运用，函数的单调性，属于中档题．‎ ‎21．已知函数． （Ⅰ）若f（1）=0，求函数f（x）的最大值； （Ⅱ）令，讨论函数g（x）的单调区间； （Ⅲ）若a=2，正实数x1，x2满足证明 ‎【答案】（1）f（x）的最大值为f（1）=0．（2）见解析（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）代入求出值，利用导数求出函数的极值，进而判断最值；（Ⅱ）求出，求出导函数，分别对参数分类讨论，确定导函数的正负，得出函数的单调性；（Ⅲ）整理方程，观察题的特点，变形得，故只需求解右式的范围即可，利用构造函数，求导的方法求出右式的最小值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，所以a=-2，此时f（x）=lnx-x2+x， ‎ f'（x）=-2x+1， ‎ 由f'（x）=0，得x=1， ‎ ‎∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ‎ 故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f（x）的最大值为f（1）=0．  ‎ ‎（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2-ax+1， ‎ ‎∴g（x）=lnx-ax2-ax+x+1 ， ‎ 当a=0时，g'（x）＞0，g（x）单调递增； ‎ 当a＞0时，x∈（0，）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；x∈（，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减； ‎ 当a＜0时，g'（x）＞0，g（x）单调递增； ‎ ‎（Ⅲ）当a=2时，f（x）=lnx+x2+x，x＞0，． ‎ 由f（x1）+f（x2）+x1x2=0，即 ‎ lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=0． ‎ 从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2），． ‎ 令t=x2x1，则由φ（t）=t-lnt得，φ'（t）=． ‎ 可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥1， ‎ 所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，正实数x1，x2， ‎ ‎∴． ‎ ‎22．已知曲线的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）射线与曲线交于点M，射线与曲线交于点N，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）的极坐标方程为，的直角方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用三种方程的互化方法求出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程即可；‎ ‎（2）设点和点的极坐标分别为，，其中，可得，的值，代入可得其取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由曲线的参数方程(为参数)得：，即曲线的普通方程为 又，‎ 曲线的极坐标方程为，即 曲线的极坐标方程可化为，‎ 故曲线的直角方程为 ‎（2）由已知，设点和点的极坐标分别为，，其中 则，‎ 于是 由，得 故的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单曲线的极坐标方程、参数方程化为普通方程及极坐标方程的简单应用，需熟练掌握三种方程的互化方法.‎ ‎23．设函数．‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【答案】（1）;（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)，可得a的取值范围，即为的解集；‎ ‎(2)可得的解析式，，可得证明.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，所以，‎ 即或 故不等式的解集为 ‎（2）由已知得：‎ 所以在上递减，在递增 即 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查解绝对值不等式，及不等式的证明，求出的解析式与最小值是解题的关键.‎