数学文卷·2019届湖南省双峰一中高二12月月考（2017-12）
双峰一中 2017 年高二第三次月考试题
文科数学
一． 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5，共 60 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合 U＝{小于 7 的正整数}，A＝{1,2,5}，B＝{x|
3
2－x
＋1 ≤ 0，x ∈ N}，
则 A∩(∁UB)＝( )
A．{1} B．{2} b C．{1,2} D．{1,2,5}
2．已知 p：x2－x<0，那么命题 p 的一个必要不充分条件是( )
A．0
2f（1）
7．已知 sinx＝2cosx，则 sin2x＋1＝( )
A.6
5 B.9
5
C.4
3 D.5
3
8．有一笔统计资料，共有 11 个数据如下(不完全依大小排列)
2、4、4、5、5、6、7、8、9、11、x，
已知这组数据的平均数为 6，则这组数据的方差为
OA OB OC
2 6 10 14 3 2 7 2
f x′（ ）
( )
A．6 B. 6 C．66 D．6.5
9．若椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1 过抛物线 y2＝8x 的焦点， 且与双曲线 x2－y2＝1 有相同的
焦点，则该椭圆的方程是( )
A.x2
4
＋y2
2
＝1 B.x2
3
＋y2＝1 C.x2
2
＋y2
4
＝1 D．x2＋
y2
3
＝1
10．方程为x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的椭圆的左顶点为 A，左、右焦点分别为 F1、F2，
D 是它短轴上的一个端点，若 3 ＝ ＋2 ，则该椭圆的离心率为( )
A.1
2 B.1
3
C.1
4 D.1
5
11．如下图，在直角坐标系内，射线 落在 的终边上，任作一条射线 ，
则射线落在∠ 内的概率是（ ）．
A． B． C． D．以上全不对
12 若函数 y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数 F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是 ( )
A．[－5，－1] B．[－2,0]
C．[－6，－2] D．[1,3]
二．填空题：(把答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 20 分)
13 ． 命 题 “ ” 为 假 命 题 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围
为 ．
14．已知关于 x 的不等式ax－1
x＋1
＜0 的解集是(－∞，－1)∪(－1
2
，＋∞)，则 a＝
1DF DA
2DF
OT 60 OA
xOT
1
6
1
5
1
4
x
y
O
A T
2,2 3 9 0x x ax∃ ∈ − + > 5
3 (2,0)M
1B 2B 1 2MB MB⊥
C
M 0 C A B x
P PM APB∠ P
{ }na 1
2
3a = n N ∗∈
1
2
1
n
n
n
aa a+ = +
1{ 1}
na
−
n N ∗∈ 1n na pa+ < p
3( ) ln , ( ) 2
af x x g x x
= = − a
a ( ) ( ) ( )x f x g xϕ = − [4, )x∈ +∞
2 ( ) ( )f xe g x= 1 ,12
求实数 的取值范围；a
文科数学参考答案：
一.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B D C C C B A A D A A
二. 13． ． 14. a＝－2. 15.k＝1 或 k＝－2(舍)．
16.－5
17.解(1) 则 .
(2) 由(1)得 ,由面积可得 bc=6①,则根据余弦定理
则 ②,
①②两式联立可得 或 .
18 解：(1)一共有 8 种不同的结果，列举如下：
(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、
(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)．
(2)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A.
事件 A 包含的基本事件为：(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，
事件 A 包含的基本事件数为 3.
由(1)可知，基本事件总数为 8，所以事件 A 的概率为 P(A)＝3
8.
19 解：(1)证明：设点 P 为 AD 的中点，连结 MP、NP，
∵点 M 是 BC 的中点，∴MP∥CD.
∵CD⊂平面 A1CD，MP⊄平面 A1CD，
∴MP∥平面 A1CD.
∵点 N 是 AA1 的中点，
]22,22[−
3(cos cos sin sin ) 1 6cos cos
3cos cos 3sin sin 1
3cos( ) 1
1cos( ) 3
B C B C B C
B C B C
B C
Aπ
+ − =
− = − + = −
− = −
1cos 3A =
2 2sin 3A =
2 2 2 2 2 9 1cos 2 12 3
b c a b cA bc
+ − + −= = = 2 2 13b c+ =
3
2
b
a
=
=
3
2
a
b
=
=
∴NP∥A1D.
∵A1D⊂平面 A1CD，NP⊄平面 A1CD，
∴NP∥平面 A1CD.
∵MP∩NP＝P，MP⊂平面 MNP，NP⊂平面 MNP，
∴平面 MNP∥平面 A1CD.∵MN⊂平面 MNP，
∴MN∥平面 A1CD.
(2)取 BB1 的中点 Q，连结 NQ、CQ、ND，
∵点 N 是 AA1 的中点，
∴NQ∥AB.
∵AB∥CD，∴NQ∥CD，
∴过 N、C、D 三点的平面 NQCD 把长方体 ABCD－A 1B1C1D1 截成两部分
几何体，其中一部分几何体为直棱柱 QBC－NAD，另一部分几何体为直四棱柱
B1QCC1－A1NDD1，
∴S△QBC＝
1
2·QB·BC＝
1
2×1×1＝
1
2，
∴直三棱柱 QBC－NAD 的体积 V1＝S△QBC·AB＝
1
2.
∵长方体 ABCD－A1B1C1D1 的体积 V＝1×1×2＝2，
∴直四棱柱 B1QCC1－A1NDD1 的体积 V2＝V－V1＝
3
2，
∴
V1
V2＝
3
2＝
1
3，
∴所截成的两部分几何体的体积的比值为
1
3.
20. 解:(1) 由 ,得 .
又由 ,得 .
因此, 是以 为首项,以 为公比的等比数列.………5 分
（2）由(1)可得：
即 , ,
于是所求的问题：“对任意的 都有 成立”可以等价于问题:
1
2
1
n
n
n
aa a+ = + 1
1 11 1 11 1 ( 1)2 2 2
n n
n n n n
a a
a a a a+
+ −− = − = = −
1
2
3a =
1
1 11 02a
− = ≠
1{ 1}
na
−
1
1 11 2a
− = 1
2
11 1 1 11 ( )2 2 2
n
n
na
−− = × =
2
2 1
n
n na = +
1
1 1
2
2 1
n
n na
+
+ += +
n N+∈ 1n na pa+ <
“对任意的 都有 成立”.
若记 ,则 显然是单调递减的,
故 .
所以,实数 的取值范围为 .………………………12 分
21.（Ⅰ）解：由 ， 得 .
依题意△ 是等腰直角三角形，从而 ，故 .
所以椭圆 的方程是 . ……5 分
（Ⅱ）解：设 ， ，直线 的方程为 .
将直线 的方程与椭圆 的方程联立，
消去 得 .
所以 ， . ……8 分
若 平分 ，则直线 ， 的倾斜角互补，
所以 . …………9 分
设 ，则有 .
将 ， 代入上式，
整理得 ，
所以 . 将 ， 代
入上式，
整理得 .
由于上式对任意实数 都成立，所以 .
2 2 2
2
2 2
5 19
a b be a a
−= = = − 2
3
b
a
=
1 2MB B 2b = 3a =
C
2 2
19 4
x y+ =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y AB 2x my= +
AB C
x 2 2(4 9) 16 20 0m y my+ + − =
1 2 2
16
4 9
my y m
−+ = + 1 2 2
20
4 9y y m
−= +
PF APB∠ PA PB
0=+ PBPA kk
( ,0)P a 1 2
1 2
0y y
x a x a
+ =− −
1 1 2x my= + 2 2 2x my= +
1 2 1 2
1 2
2 (2 )( ) 0( 2 )( 2 )
my y a y y
my a my a
+ − + =+ − + −
1 2 1 22 (2 )( ) 0my y a y y+ − + = 1 2 2
16
4 9
my y m
−+ = + 1 2 2
20
4 9y y m
−= +
( 2 9) 0a m− + ⋅ =
m 9
2a =
*Nn∈
1 1
1
1 1 1
2 2 1 2 2 112 1 2 2 1 2 1
n n n
n
n n n n
n
ap a
+ +
+
+ + +
+ +> = ⋅ = = ++ + +
1
1( ) 1 2 1nf n += + + ( )f n
1 1
1 6( ) (1) 1 2 1 5f n f +≤ = + =+
p 6
5p >
综上，存在定点 ，使 平分 . ………………12 分
22.解：（1）当 时， ，则
∵在区间（0，1]上， ，在区间[1，+∞）上，
∴ 在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增
∴在 x∈[4，+∞）上， 的最小值为 ．
（2）∵方程 在区间 上有解
即 在区间 上有解即 在区间 上有解
令 ，x∈ ∴
∵在区间 上， ，在区间 上，
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又 ∴
即 故
9( ,0)2P PM APB∠
1a = 1 3( ) ( ) ( ) ln 2x f x g x x x
ϕ = − = + − '
2 2
1 1 1( ) xx x x x
ϕ −= − =
' ( ) 0xϕ ≤ ' ( ) 0xϕ ≥
( )xϕ
( )xϕ 5(4) ln 4 4
ϕ = −
2 ( ) ( )f xe g x= 1 ,12
2ln 3
2
x ae x
= − 1 ,12
33
2a x x= − 1 ,12
33( ) 2h x x x= − 1 ,12
' 23( ) 32h x x= −
1 2,2 2
' ( ) 0h x ≥ 2 ,12
' ( ) 0h x ≤
( )h x 1 2,2 2
2 ,12
1 1 5(1) , ( )2 2 8h h= = 2(1) ( ) ( )2h h x h≤ ≤
1 2( )2 2h x≤ ≤ 1 2,2 2a
∈